精品解析：江西省丰城中学2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

丰城中学2024-2025学年上学期初二期中考试试卷 数 学 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若分式的值为整数，则整数的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 1或3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值，根据分式的值为整数，确定出整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴整数x的值为1或3， 故选：D 2. 下列多项式中，可以用完全平方式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键． 【详解】解：A、不可以用完全平方式进行因式分解，不符合题意； B、不可以用完全平方式进行因式分解，不符合题意； C、不可以用完全平方式进行因式分解，不符合题意； D、可以用完全平方式进行因式分解，符合题意； 故选：D． 3. 若关于方程无解，则的取值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并，得， 当时，方程无解， ， ． 故选：D． 4. 二次根式化成最简结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和化简．根据二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简进行计算即可得． 【详解】解：由题意得，， ， 故选：B． 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平方关系：，先代值，再开平方． 【详解】解： ， 故选C． 【点睛】本题考查了已知代数式与所求代数式关系的灵活运用，熟练掌握完全平方公式和开平方运算，开平方运算时，一般要取“”． 6. 已知实数x，y满足（x-）（y- ）=2008，则3x2-2y2+3x-3y-2007的值为（　　） A. -2008 B. 2008 C. -1 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】由（x-）（y- ）=2008，可知将方程中的x,y对换位置，关系式不变， 那么说明x=y是方程的一个解 由此可以解得x=y=，或者x=y=-， 则3x2-2y2+3x-3y-2007=1， 故选D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）） 7. 长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体纸盒内可完全放入的棍子最长是_________ cm． 【答案】13 【解析】 【详解】分析：根据题意画出图形，再两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方进行解答即可． 详解：如图所示： BC=3cm，CD=4cm，AB=12cm， 连接BD、AD， 在Rt△BCD中，BD==5cm， 在Rt△ABD中，AD==13cm． 故这个盒子最长能放13cm的棍子． 故答案为13． 点睛：本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，作出辅助线、构造出直角三角形是解答此题的关键． 8. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是___. 【答案】3 【解析】 【分析】先估算,再估算,根据6－的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2, y=,然后再代入计算即可求解. 【详解】因为, 所以, 因为6－的整数部分为x,小数部分为y, 所以x=2, y=, 所以(2x＋)y=, 故答案为:3. 【点睛】本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法. 9. 化简的结果为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，解题关键点：熟练掌握分式的基本运算法则．先算括号里面的加法运算，再算除法，除法要转化为乘法． 【详解】解： = = ； 故答案为：． 10. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0可以求出a≥2007，然后去掉绝对值号整理，再两边平方整理即可得解． 【详解】根据题意得，a−2007≥0， 解得a≥2007， ∴原式可化为：a−2006+=a， 即=2006， 两边平方得，a−2007=20062， ∴=. .故答案为. 【点睛】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 11. 已知：x：y：z=2：3：4，则的值为______． 【答案】． 【解析】 【详解】根据分式的性质（分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变）解答． 解：∵x：y：z=2：3：4， ∴可设x=2k、y=3k、z=4k， ∴， 故答案为． 12. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度（0＜α ≤180°）得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．在四边形OABC旋转过程中，若BP＝BQ，则点P的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】过点Q画QH⊥OA′于H,连接OQ,则QH=OC′=OC， ∵S△POQ=PQ⋅OC,S△POQ=OP⋅QH， ∴PQ=OP. 设BP=x,∵BP=BQ， ∴BQ=2x， 如图1,当点P在点B左侧时, OP=PQ=BQ+BP=3x， 在Rt△PCO中，(8+x)2+62=(3x)2， 解得x1=1+，x2=1− (不符实际,舍去). ∴PC=BC+BP=9+， ∴P1(−9−，6). 如图2，当点P在点B右侧时， ∴OP=PQ=BQ−BP=x，PC=8−x. 在Rt△PCO中,(8−x)2+62=x2， 解得x=. ∴PC=BC−BP=8−=， ∴P2(−，6)， 综上可知,点P1(−9−，6)，P2(−，6)，使BP=BQ. 故答案为P1(−9−，6)，P2(−，6). 点睛：此题考查了坐标与图形的变化---旋转，特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解. 三、解答题（共5小题，每小题6分） 13. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题： （1）线段AB的长为________，BC的长为________，CD的长为________； （2）连接AC，通过计算说明△ACD和△ABC各是什么特殊三角形． 【答案】（1），5，；（2）为等腰三角形，为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）把线段AB、BC、CD、放在一个直角三角形中利用勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出AC=AD，即可判断△ACD的形状；由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形． 【详解】解：（1）由勾股定理得AB＝＝，BC＝＝5，CD＝＝2； 故答案为：，5，； （2）∵AC＝＝2，AD＝＝2， ∴AC＝AD， ∴△ACD是等腰三角形； ∵AB2＋AC2＝5＋20＝25＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的判定；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 14. 已知化简： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及完全平方公式的运算、二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先化简绝对值以及二次根式，再运算二次根式的加减运算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 15. ，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】先将通分成，然后利用对应相等建立方程组，解方程组即可得到答案． 详解】解：， ∵， ， 解得：， 即，． 【点睛】本题主要考查了异分母分式的加法，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16. （1）若，，则的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）50；（2）2 【解析】 【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案； （2）利用完全平方公式将原式变形得出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ， ， ∴． 解得：． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及完全平方公式，正确将原式变形是解题关键． 17. 已知． （1）求代数式的值； （2）求代数式﹣的值． 【答案】（1）（2）1 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质求得的值，代入代数式求解即可； （2）先化简二次根式里面的分式，再根据（1）中的值，代入求解即可． 【详解】， ，， ， ， （1）当，时， ， （2）﹣ ， 原式 【点睛】本题考查了二次根式的性质，分式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 四、解答题（共3题，每小题8分） 18. 仔细阅读下面的例题，解答问题： 例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， 解得 ∴另一个因式为的值为． 仿照以上方法解答问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值； （2）若二次三项式可分解为，求的值； （3）若二次三项式可分解为，求的值． 【答案】（1）另一个因式为的值为3；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）设另一个因式为（x+t），得2x2-5x+k=（2x-3）（x+t）=2x2+（2t-3）x-3t，可知2t-3=-5，k=-3t，继而求出t和k的值及另一个因式． （2）将（x-2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （3）（2x-1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； 【详解】（1）设另一个因式为，得 ， 则 解得 故另一个因式为的值为3． （2）， 解得． （3）， ． 【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 19. 观察下列等式：， ， （1）直接写出下列各式的计算结果： . （2）猜想并写出 . （3）探究并解方程：. 【答案】（1）；（2）；（3）2 【解析】 【分析】（1）根据给出的材料，将每一个分式都化成两个式子相减的形式，再将中间的数全部消去，化简即可得出答案； （2）因猜想得出结论； （3）由（2）的结论可以推出，进一步解方程，即可得出答案. 【详解】解：（1） （2） （3） ∴x(x+9)=2x+18 解得：=2，(舍去，不合题意) 故答案为2. 【点睛】本题考查的是探索规律与分数的应用，根据所给的等式规律，探索式子的变化规律；此类题目具有一定的代表性，培养学生的观察能力和探索精神. 20. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【答案】（1）A城受到台风的影响；（2）4. 【解析】 【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BC作垂线，垂足为M，若AM＞500则A城不受影响，否则受影响； （2）点A到直线BC的长为500千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AM⊥BC，则M是DG的中点，在Rt△ADM中，解出MD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间． 【详解】解： （1）A城受到这次台风的影响， 理由：由A点向BC作垂线，垂足为M， 在Rt△ABM中，∠ABM=30°，AB=600km，则AM=300km， 因为300＜500，所以A城要受台风影响； （2）设BC上点D，DA=500千米，则还有一点G，有 AG=500千米． 因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形， 因为AM⊥BC，所以AM是DG的垂直平分线，MD=GM， 在Rt△ADM中，DA=500千米，AM=300千米， 由勾股定理得，MD==400（千米）， 则DG=2DM=800千米， 遭受台风影响的时间是：t=800÷200=4（小时）， 答：A城遭受这次台风影响时间为4小时． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离=速度×时间等，构造出直角三角形是解题关键． 五、（本小题共2题，每小题9分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上，A，C两点的坐标分别为A（0，m），C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+ =0．一动点P从点B出发，以每秒2单位长度的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动的时间为ts． （1）求A，C两点的坐标； （2）连接PA，若△PAB为等腰三角形，求点P的坐标； （3）当点P在线段BO上运动时，在y轴上是否存在点Q，使△POQ与△AOC全等？若存在，请求出t的值并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（0，4），C（3，0）；（2）（﹣0.9，0）或（5，0）；（ ﹣5，0）；（3）存在，当t=1秒，点Q的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；当t=秒，点Q的坐标为（0，3）或（0，﹣3） 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出n、m的值，即可求得点A、C两点的坐标；（2）分BA=BP、AB=AP、PA=PB三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算求解即可；（3）分△QOP≌△AOC和△POQ≌△AOC两种情况求解即可． 【详解】（1）∵（n﹣3）2+=0， ∴n﹣3=0，3m﹣12=0， 解得，n=3，m=4， ∴点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（3，0）； （2）由勾股定理得，AB==， 当BA=BP时，点P的坐标为（﹣5，0）； 当AB=AP时，点P的坐标（5，0）； 当PA=PB时，设PA=x，则OP=5﹣x， 在Rt△AOP中，AP2=OP2+OA2，即x2=（5﹣x）2+42， 解得，x=4.1， 则OP=0.9， ∴点P的坐标（﹣0.9，0）； 综上所述，△PAB为等腰三角形，点P的坐标为（﹣0.9，0）或（5，0）；（ ﹣5，0）； （3）当△QOP≌△AOC时，OP=OC=3，OQ=OA=4， ∴BP=2， 则t=1秒，点Q的坐标为（0，4）或（0，﹣4）； 当△POQ≌△AOC时，OP=OA=4，OQ=OC=3， 则t=秒，点Q的坐标为（0，3）或（0，﹣3）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、非负数的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 22. 已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如，，是“和数”，，是“谐数”，是“和谐数”． （1）最小的和谐数是 ，最大的和谐数是 ； （2）证明：任意“谐数”各个数位上的数字之和一定是偶数； （3）已知（，且均为整数）是一个“和数”，请求出所有． 【答案】（1）110；954；（2）见解析；（3）或853或826. 【解析】 【分析】（1）根据“和数”与“谐数”的概念求解可得； （2）设“谐数”的百位数字为x、十位数字为y，个位数字为z，根据“谐数”的概念得x=y2-z2=（y+z）（y-z），由x+y+z=（y+z）（y-z）+y+z=（y+z）（y-z+1）及y+z、y-z+1必然一奇一偶可得答案； （3）先判断出2≤b+2≤9、10≤3c+7≤19，据此可得m=10b+3c+817=8×100+（b+2）×10+（3c-3），根据“和数”的概念知8=b+2+3c-3，即b+3c=9，从而进一步求解可得． 【详解】（1）最小的和谐数是110，最大的和谐数是954. （2）设：“谐数”的百位数字为，十位数字为y，个位数字为z（且 且 均为正数）， 由题意知，， ∴， z∵与奇偶性相同， ∴与必一奇一偶， ∴必是偶数， ∴任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵m为和数， ∴， 即， ∴或或， ∴或853或826 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意、熟练掌握“和数”与“谐数”的概念及整式的运算、不等式的性质． 23. 如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c） （1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：； （2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当时，求这个四边形的周长； （3）当时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图（3）），使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合． ①请在x轴、y轴上找一点C，使为等腰三角形；（要求：用尺规画出所有符合条件的点，并用在图中标出所找的点．只保留作图痕迹，不写作法） ②写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标：_____，写出一个满足条件的在y轴上的点坐标：_____． 【答案】（1）证明见解析；（2）画图见解析，周长为；（3）①作图见解析；②， （答案不唯一）. 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，尺规作图等，利用数形结合思想、灵活应用所学知识进行解题是关键． （1）由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理； （2）由a与b的值，利用勾股定理求出c的值，拼图后可知如图1所示时周长最大，求出最大周长即可； （3）①分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，圆与坐标轴的交点即为满足条件的点，再作线段AB的垂直平分线，垂直平分线与坐标轴的交点也是满足条件的点； ②根据①所作的图形即可得． 【详解】解：（1）由图可得，， ∴， ∴； （2）当时，可得：， 如图1时：四边形的周长为：； 如图2时，四边形的周长为：12； 如图3时，四边形的周长为：； 综上，图1是周长最大的四边形，周长为：； （3）①如图所示； ②如上图： 一个满足条件的在x轴上的点的坐标：如； 一个满足条件的在y轴上的点的坐标：如）． 故答案为（﹣1，0）；（0，2+）（答案不唯一）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰城中学2024-2025学年上学期初二期中考试试卷 数 学 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 若分式的值为整数，则整数的值为（ ） A 1 B. C. 3 D. 1或3 2. 下列多项式中，可以用完全平方式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的方程无解，则的取值为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 二次根式化成最简结果为（　　） A B. C. D. 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知实数x，y满足（x-）（y- ）=2008，则3x2-2y2+3x-3y-2007的值为（　　） A. -2008 B. 2008 C. -1 D. 1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）） 7. 长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体纸盒内可完全放入的棍子最长是_________ cm． 8. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是___. 9. 化简的结果为____． 10. 若，则__________． 11. 已知：x：y：z=2：3：4，则的值为______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度（0＜α ≤180°）得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．在四边形OABC旋转过程中，若BP＝BQ，则点P的坐标为__________． 三、解答题（共5小题，每小题6分） 13. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，请按要求完成下列各题： （1）线段AB的长为________，BC的长为________，CD的长为________； （2）连接AC，通过计算说明△ACD和△ABC各是什么特殊三角形． 14. 已知化简： ． 15. ，求的值． 16. （1）若，，则的值． （2）已知，，求的值． 17 已知． （1）求代数式的值； （2）求代数式﹣的值． 四、解答题（共3题，每小题8分） 18. 仔细阅读下面的例题，解答问题： 例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， 解得 ∴另一个因式为的值为． 仿照以上方法解答问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值； （2）若二次三项式可分解为，求值； （3）若二次三项式可分解为，求的值． 19. 观察下列等式：， ， （1）直接写出下列各式的计算结果： . （2）猜想并写出 （3）探究并解方程：. 20. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域． （1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 五、（本小题共2题，每小题9分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上，A，C两点的坐标分别为A（0，m），C（n，0），B（﹣5，0），且（n﹣3）2+ =0．一动点P从点B出发，以每秒2单位长度的速度沿射线BO匀速运动，设点P运动的时间为ts． （1）求A，C两点的坐标； （2）连接PA，若△PAB为等腰三角形，求点P的坐标； （3）当点P在线段BO上运动时，在y轴上是否存在点Q，使△POQ与△AOC全等？若存在，请求出t的值并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如，，是“和数”，，是“谐数”，是“和谐数”． （1）最小的和谐数是 ，最大的和谐数是 ； （2）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数； （3）已知（，且均为整数）是一个“和数”，请求出所有． 23. 如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c） （1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：； （2）用这样的两个三角形可以拼出多种四边形，画出周长最大的四边形；当时，求这个四边形的周长； （3）当时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中（如图（3）），使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合． ①请在x轴、y轴上找一点C，使为等腰三角形；（要求：用尺规画出所有符合条件的点，并用在图中标出所找的点．只保留作图痕迹，不写作法） ②写出一个满足条件的在x轴上的点的坐标：_____，写出一个满足条件的在y轴上的点坐标：_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$