6.3三角形的中位线 课时作业2024-2025学年北师大版数学 八年级下册

北师大版八年级下册数学6.3三角形的中位线 课时作业 一、单选题 1．如图，在中，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，设的最大值为m，最小值为n，则（    ） A．3.6 B．4.8 C．5 D．6 2．如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（　　） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 3．如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（    ） A．7 B．9 C．10 D．11 4．如图，在中，，平分，E是中点，，，则的周长为（    ）    A．28 B．18 C．24 D．29.5 5．如图，点D、E、F分别为∠ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为【 】 A．5 B．10 C．20 D．40 6．如图，RtΔABC中，∠ACB=，∠ABC=,BC=2cm, D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t<6）,连接DE，当ΔBDE是直角三角形时，t的值为 （  ） A．2 B．2.5或3.5 C．2.5或3.5或4.5 D．2或3.5或4.5 7．如图所示，在平行四边形中，对角线和相交于点，交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG=3，则CF的长为（     ） A．4 B．4.5 C．6 D．9 二、填空题 9．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为 ． 10．如图，在四边形中，，连接EF，，则的长为 ． 11．如图，在平行四边形中，对角线，交于，点，分别为线段和的中点，连接，若，则的长为 ．    12．如图，，，，的面积是5，则 ． 13．如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为 ． 三、解答题 14．如图，在四边形ABCD中，，，∠BAD=45°，BC=8，DC=6，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，设运动的时间为t（秒） （1）时，是否存在某一时刻t，使得与面积之比为2：3?若存在，求t的值；若不存在，请说明理由； （2）当t为何值时，点P在∠ABC的角平分线上?请说明理由； （3）设AQ中点为E，连接BD，与PQ相交于点F，若EF是的中位线，求此时点E到PQ的距离． 15．如图，是内一点，分别是的中点，求四边形的周长．    16．在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别为边BC与AD的中点，AE∥CD，延长BA，CD，分别与EF的延长线交于点G，H，连接AH，ED. （1）求证：AH∥ED； （2）求证：AE=AG. 17．△ABC中，点H是BC上一点，D、E分别是AB、AC中点，M、N分别为BH、CH中点 (1)如图1，求证：四边形DENM是平行四边形． (2)如图2，当AH与BC满足什么关系时，□DENM是正方形，请直接写出结论． (3)当AH与BC满足（2）中的关系，且S△ABC=2时，若点P为AB边上的动点，过点P作PQ⊥BC于Q，PG∥BC交AC于G，GK⊥BC于K，四边形PGKQ的周长是否会随着P点位置的变化而变化？若不变，请求出周长，若变化，请说明理由． 图1                     图2                    备用图 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D A C D B D 1．D 【分析】取的中点F，得到是等边三角形，利用三角形中位线定理推出，再分类讨论可求得m和n的值，即得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得出． 如图，取的中点F，连接． ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∵E、F分别是的中点， ∴． 如图，当在上方时， 此时，如果C、E、F三点共线，则有最大值，最大值为，即； 如图，当在下方时， 此时，如果C、E、F三点共线时，有最小值，最小值为，即， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，分类讨论求得的最大值和最小值，即得出m和n的值是解题的关键． 2．A 【详解】∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点， ∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线， ∴△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=， 同理可得△AEG的面积=， △BCE的面积=×△ABC的面积=6， 又∵FG是△BCE的中位线， ∴△EFG的面积=×△BCE的面积=， ∴△AFG的面积=△AEF的面积+△AEG的面积+△EFG的面积=×3=4.5， 故选：A． 3．D 【分析】根据勾股定理求出的长，根据三角形的中位线定理得到，，求出、 、、的长，代入即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵，，，由勾股定理得：， ∵、、、分别是、、、的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形的周长是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据三角形的中位线定理求出、、、的长是解此题的关键． 4．A 【分析】根据三线合一求得，进而可得的长及是的中位线，从而求得即可求解． 【详解】解：，平分， ， ， E是中点， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质，三角形的中位线定理，利用性质求解线段长是关键． 5．C 【详解】由已知，点D、E、F分别为∠ABC三边的中点，根据三角形中位线定理，得AB、BC、AC分别是FE、DF、DE的两倍．因此，由△DEF的周长为10，得△ABC的周长为20．故选C． 6．D 【分析】先求出AB的长，再分①∠BDE=90°时，DE是△ABC的中位线，然后求出AE的长度，再分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可；②∠BED=90°时，由∠B=60°求出∠BDE=30°，进而求出BE，然后分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可． 【详解】∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm， ∴∠BAC=30° ∴AB=2BC=2×2=4， ①∠BDE=90°时， ∵D为BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AE=AB=×4=2（cm）， 点E在AB上时，t=2÷1=2（秒）， 点E在BA上时，点E运动的路程为4×2-2=6（cm）， ∴t=6÷1=6（秒）（舍去）； ②∠BED=90°时，∠B=60°， ∴∠BDE=30°， ∴BE=BD=×2×=0.5， 点E在AB上时，t=（4-0.5）÷1=3.5（秒）， 点E在BA上时，点E运动的路程为4+0.5=4.5（cm）， t=4.5÷1=4.5（秒）， 综上所述，t的值为2或3.5或4.5． 故选D. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解直角三角形的相关知识，难点在于分情况讨论． 7．B 【分析】由平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，OE∥BC，可得OE是△ACD的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得AD的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，AD∥BC， ∵OE∥BC， ∴OE∥AD， ∴OE是△ACD的中位线， ∵OE=4cm， ∴AD=2OE=2×4=8（cm）． 故选B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 8．D 【详解】∵点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G， ∴G为△ABC的重心， ∴2FG=GC， ∵FG=3， ∴GC=6， ∴CF=9． 故选D. 【点睛】本题主要考查了三角形重心的定义及性质，熟记三角形三边中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键. 9．27 【分析】由点F 是AD 中点，FG∥CD，得到FG 是△ADC的中位线，求出CG，再得到EG 是△ABC的中位线，求出GE，即可得到答案． 【详解】由题意得CE=CB=12， 因为点F 是AD 中点，FG∥CD， 所以FG 是△ADC的中位线， 所以， 因为点E是AB的中点， 所以EG 是△ABC的中位线， 所以， 所以△CEG的周长为：CE+GE+CG=12+6+9=27， 答案为27． 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质及应用，三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 10． 【分析】本题考查勾股定理，三角形的中位线定理，连接，勾股定理求出的长，根据中位线定理求出的长即可． 【详解】解：连接； ∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴； 故答案为：． 11． 【分析】平行四边形得到，中点得到是的中位线，进而得到，即可得解． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴， ∵点，分别为线段和的中点， ∴是的中位线， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，三角形的中位线等于第三边的一半，是解题的关键． 12．4 【分析】过点C作CM⊥AD于M，延长AC到E，使CE=AC，连接DE，过点C作CF∥AD交DE于点F，易求CE=BC=CD，AC=CD，则∠CDE=∠E，∠CAD=∠ADC，求出∠ADE=90°，∠BCD=∠ECD，由SAS证得△BCD≌△ECD，得出BD=ED=5，△ECD的面积是5，由CF∥AD，得出∠CFE=∠ADE=90°，求出CF=2，由三角形中位线定理即可得出结果． 【详解】解：过点C作CM⊥AD于M，延长AC到E，使CE=AC，连接DE，过点C作CF∥AD交DE于点F，如图所示： ∵CE=AC，AC=BC=DC， ∴CE=BC=CD，AC=CD， ∴∠CDE=∠E，∠CAD=∠ADC， ∵∠CDE+∠E+∠CAD+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠CDE=90°， ∴∠ADE=90°， ∵AC=BC， ∴∠CAB=∠CBA， ∵AB∥CD， ∴∠CBA+∠BCD=180°，∠CAB=∠ACD， ∴∠ACD+∠BCD=180°， ∵∠ACD+∠ECD=180°， ∴∠BCD=∠ECD， 在△BCD和△ECD中， ， ∴△BCD≌△ECD（SAS）， ∴BD=ED=5， ∵△BCD的面积是5， ∴△ECD的面积是5， ∵CF∥AD，∠ADE=90°， ∴∠CFE=∠ADE=90°， ∴×5×CF=5， ∴CF=2， ∵AC=CE，AD∥CF， ∴AD=2CF=2×2=4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． 13．10 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．直接利用三角形的中位线的性质可得答案． 【详解】解：点，分别是，的中点， ， ， 故答案为：10 14．（1）存在，或；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）分两种情况讨论，用含t的式子表示△ABP与△ABQ的面积，利用面积之比为2：3，求出对应的t； （2）利用角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”和等面积法求解； （3）由中位线，求出t的值，利用等面积法求出E到PQ的距离． 【详解】解：（1）由题意得：过点B作BH⊥AD于点H，则：四边形BCDH为矩形， ∴HD=BC=8，BH=CD=6， ∵∠BAD=45°， ∴AH=BH=6，AB=6， ∴AD=AH+HD=14， 当时， AP=14-2t，BQ=8-t， ∵S△ABP：S△ABQ=2：3，S△ABQ=•BQ•BH，S△ABP=•AP•BH， ∴， 解得：t=． 当时， ∴AP=2t -14，BQ=8-t， 同理得：， 解得：t=． 综上，存在，或； （2）过点P作PM⊥AB于点M， ∵点P在∠ABC的角平分线上， ∴PM=CD=6， 由（1）得，S△ABP=•AP•BH，AB=6， ∴S△ABP=•6•PM， ∴•6•PM=•AP•BH， ∴PM=7-t， ∴7-t=6， 解得：t=7-3． （3）∵EF是△APQ的中位线，点E是AQ的中点， ∴点F是PQ的中点， ∴PF=FQ， ∵AD∥BC， ∴∠FPD=∠FQB， 又∵∠DFP=∠BFQ， ∴△FPD≌△FQB（ASA）， ∴PD=BQ， ∴2t=8-t， 解得：t=， ∴PD=，CQ=，AP=， 作QN⊥AD于点N，设点E到PQ的距离为h， ∴PN=PD-DN=PD-CQ=， ∴PQ=， ∵点E为AQ的中点， ∴S△EPQ=S△APQ=••AP•CD=××6=13， ∴•h•=13， 解得：h=． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积、中位线的性质、三角形全等和等面积法求高．在解题中，要善于用含有t的式子表示线段，再结合相关的知识构造特殊的三角形求出对应的t值． 15． 【分析】首先利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出，，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵分别是的中点， ∴，， ∴四边形的周长， 又∵， ∴四边形的周长． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 16．（1）（2）见解析. 【分析】（1）证△AEF≌△DHF. 得AE=DH.由AE∥DH，得四边形AEDH是平行四边形.（2）连接AC，设AC的中点为O，连接OE，OF.根据三角形中位线性质得OF∥CD，OF=CD，OE∥AB，OE=AB，OE=OF. 得∠OFE=∠OEF，∠DHE =∠AGE. 由AE∥DH，得∠DHE =∠AEG. 所以∠AGE =∠AEG. 【详解】（1）∵AE∥CD， ∴∠AEF=∠DHF，∠FAE=∠FDH. ∵AF=FD， ∴△AEF≌△DHF. ∴AE=DH. ∵AE∥DH， ∴四边形AEDH是平行四边形. ∴AH∥ED. （2）连接AC，设AC的中点为O，连接OE，OF. ∵E，F分别为边BC与AD的中点， ∴OF∥CD，OF=CD，OE∥AB，OE=AB. ∴∠OFE=∠DHE，∠OEF=∠AGE. ∵AB=CD， ∴OE=OF. ∴∠OFE=∠OEF. ∴∠DHE =∠AGE. ∵AE∥DH， ∴∠DHE =∠AEG. ∴∠AGE =∠AEG. ∴AE=AG. 【点睛】本题考核知识点：三角形中位线性质. 解题关键点：构造三角形中位线，利用三角形中位线性质证角相等. 17．（1）证明见解析；（2）垂直且相等；）3）不变；4 【详解】（1）∵D、E分别是AB、AC中点，M、N分别为BH、CH中点, ∴DE∥BC,DM∥AH,EN∥AH ∴DM∥NE, ∴四边形DENM是平行四边形. （2）∵D、E分别是AB、AC中点，M、N分别为BH、CH中点, , , ∴当AH=BC时，四边形DENM是菱形. 当AH⊥BC时，四边形DENM是矩形， ∴当AH=BC，AH⊥BC时四边形DENM是正方形. （3） , . , , , . ∴四边形PGKQ的周长不会随着P点位置的变化而变化. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$