上海市普陀区2024-2025学年高三上学期11月调研测试（0.5模）数学试卷

2025届普陀区高考0.5模考试数学试卷 一、填空题 1.函数y=0gx的定义城为一 【答案】(0，刂 x>0 【解析】由题意得{1og1x≥0，解得定义域为(0，刂. 2.已知圆x2+y2-4x-m=0的周长为2π，则实数m的值为 【答案】-3 【解析】设圆的半径为r,则由题意C=2πr=2π，故r=1, 将圆一般式x2+y2-4x-m=0化为标准式得(x-2)+y2=4+m, 则4+m=y2=1→m=-3 3.已知圆柱的底面积为9π，侧面积为12π，则该圆柱的体积为 【答案】18π πr2=9π [r=3 【解析】设圆柱底面半径为r,高为h,由题意 解得 2h=12π h=2 所以体积为V=r2h=π×32×2=18π， 4.对于复数，=i(行是虚数单位)，则m=一 【答案】-1 【解析】由题意z=(1+)i=-1+i,所以Imz=-1. 5.已知(1+x)的展开式各项系数之和为64，展开式中含x2项的系数为 【答案】15 【解析】令x=1,则0+x)的展开式各项系数之和为2=64=2，则n=6: 其中通项T1=C6x,令r=2,则T=C·x2=15x2,故x2项的系数为15. 6.下列说法正确的徐浩是 ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率 是0.1 第1页共12页 ②已知一组数据1,2，m,6,7的平均数为4，则这组数据的方差是5 ③数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23 ④若样本数据x,x2,,xo的方差为4，则数据2x-1,2x3-1,,2x0-1的方差是16 【答案】①③④ 【解折】对于0。某个个体装抽到的概率为名=01，放@正偏 对于②，1+2+0+6+7=4，解符m=4, 则方差为s-[0-4+-4矿+4-4八+(6-4+(0-4门=52，故②精误： 对于③，数据27,12,14,30,15,17,19,23从小到大排列为，12,14,15,17,19,23,27,30， 由于8×70%=5.6，其中第6个数为23，故③正确： 对于④，设数据x,,,o的均值为x, 则数据2x-1,2x-1,,2xo-1的均值为2x-1, 因为数据，名，…的方差为-对+(6-到++(。一到]=4 所以数据2x-1,2x-1,，,2x0-1的方差为 02-1-2++2-12+++(2。-12+] =4x[化-+化-++。-到门=16，故④正确： 故选：①③④ 7.已知角a的终边上一点P的坐标为 .cos 5π5π sin 则角a的最小正值为 6 【答案】号 【解析】因为sim 5 >0,cos 6 6 <0,所以角a的终边在第四象限， 根据三角函数的定义，知sina=co 62,cosa=sim5r=1」 s5n=-5 62 故角的最小正值为警。 8.函数y=log.(x+2)-1(a>0,且a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx+m+2=0上，其中m>0, n>0,则上+的最小值为 m 【答案】2 第2页共12页 【解析】易知函数y=log.(x+2)-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(-1，-l),即4(-1，-l), 点A在直线mx+y+2=0上，故m+n=2,又m>0,n>0, ≥2，当且仅当m=n=1时等号成立， :上+上的最小值为2 m n 9.已知数列{an}的通项公式为a,=n+1,Sn为数列{an}的前n项和，若Ss<0,则实数1的取值范围 为一 【答案】(-0，-1013) 【解折】由题意知，3.-+1+.2+9+n,故S-2+20262025<0.故1<-1013. 2 2 2 10.在△ABC中，4B=1,∠ABC=60°，AC.AB=-1,若0是△ABC的重心，则BO,AC= 【答案】5 【解析】如图所示，建立直角坐标系. AB=1,∠ABC=60,A22 设c(a,0). c丽1.}》1， 解得a=4. 0是0c的心，面-而-回网到-9}(-很得 1.如图.已知5，B分别是袖圆C三+号=(o>b>0)的左，右焦点，MN为精题上两点，满足5M吓N, 42 且FN:FM:FM=1:2:3,则椭圆C的离心率为 【答案】 5 【解析】设椭圆的半焦距为c(c>0), 如图，延长压，与椭圆交于点L,连接FL, 第3页共12页 由FMFN,所以根据对称性可知，F=FM, 设FN=5=,1>0,则FM=21,EM=31, 从而2a=FM+EM=51,故F=41, INF. 在LMC中，E==@,所以cosL乐，=a 2 1, 在△h5中，42=9r+4-2x3x2×好即4e2=10, 所1=。，所以2如=瓜，所以离心平 5 12.对于正整数n,设xn是关于x的方程x+2x-n=0的实数根，记a。=[(n+1)x,](n≥2)，其中[x表示 不超过实数x的最大整数。则0色+马+中a,) 【答案】2025 【解析】令f(x)=m3+2x-n,则∫'(x)=3x2+2>0,函数f()单调递增， 且：f(0)=-n<0,f(0)=2>0,故方程m3+2x-n=0存在唯一的实数根x。∈(0,1)，且： }(ao高训o 据此可得：<三小，n<a+比<m1,a=n, 结合等差数列球和公式可：品6+4+0小上2+2025 2 =2025. 二、单选题 13.下列不等式中，解集为{x1<x<}的是( A.x2-1≤0 B.x-1s0 1 C.+l0x-可≤0 D. 【答案】C 【解析】对于A,令x=1,则x2-1=1-1=0,满足x2-1≤0，所以其解集不为{x1<x<},故A错误： 对于B,令x=1,则x-1=1-1=0,满足x-1≤0，所以其解集不为{x1<x<},故B错误； 对于D,令x=1,则0，满足s0,所以其解集不为叶1<x<,故D错误 x+11+1 x+1 第4页共12页 1 f（x+1)(x-1)≤0 对于c.由x+x-可50得{x+1x-)产0 即(x+1)(x-1)<0,解得-1<x<1,故其解集为{x1<x<1},故C正确. 故选：C 14.已知直线1与平面c相交，则下列命题中，正确的个数为( ①平面α内的所有直线均与直线1异面： ②平面α内存在与直线1垂直的直线： ③平面α内不存在直线与直线/平行： ④平面α内所有直线均与直线1相交. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】在长方体ABCD-AB,CD中，取平面ABCD为平面a,直线AA为直线I, 则直线I与平面a相交，满足条件， 对于命题①，因为直线ABc平面ABCD,直线AB与直线AA相交， 所以命题①错误， 对于命题④，因为直线BCc平面ABCD,直线BC与直线A4不相交， 所以命题④错误， 对于命题②，若直线1与平面a垂直，则任取直线cCa,都有1⊥c, 即平面α内存在与直线1垂直的直线：若直线1与平面a不垂直， 如图，IOa=N,在直线I上任取异于点N的点E, 过点E作EH⊥平面a,垂足为H,连接N, 在平面a过点H作直线d⊥NH,因为EH⊥平面a,，dca,所以EH⊥d, 又d⊥NH,EH∩NH=H,EH,NHC平面ENH,所以d⊥平面ENH,直线Ic平面ENH, 所以直线d⊥1，故平面a内存在与直线1垂直的直线；命题②正确， 对于命题③，如图1⌒a=M,假设平面a内存在直线b与直线1平行： 因为1文a,bca,1lb,所以111a,与1na=M矛盾， 所以平面α内不存在直线与直线1平行：命题③正确， 故选：B 第5页共12页 15.掷两颗骰子，观察掷得的点数：设事件A为：至少一个点数是奇数：事件B为：点数之和是偶数：事 件A的概率为P(A),事件B的概率为P(B):则1-P(A⌒B)是下列哪个事件的概率( A.两个点数都是偶数 B,至多有一个点数是偶数 C.两个点数都是奇数 D.至多有一个点数是奇数 【答案】D 【解析】由题意，事件A⌒B为：两个点数都为奇数， 由概率1-P(A⌒B)指的是事件A⌒B的对立事件的概率， 则事件A⌒B的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数 故选：D 16.已知定义在R上的函数y=对任意5<，都有任)->a成立且满足了0)=-口（其中 1一2 a为常数)，关于x的方程：∫(a+x)=的解的情况.下面判断正确的是( A.存在常数a,使得该方程无实数解 B.对任意常数a,方程均有且仅有1解 C.存在常数a,使得该方程有无数解 D.对任意常数a,方程解的个数大于2 【答案】B 【解析】令h(x)=(a+x)-匹，则方程f(a+x)=a心的解的情况可以转化为h(x)零点的情况， 因为f(0)=-a2,所以h(-a)=f(0)+a2=0, 因为<x2,所以-<0，则f(x)-f(x)<a(:-x), 令书3=x-a,x4=x-a,因为x<2,所以< h(x;)-h(x)=f(x)-a(x-a)-f(x2)+a(x2-a) =∫(x)-f(x)-a(x-x)<0,即h(x)<h(x), 所以h(x)在R上单调递增，又h(-a)=0,所以对任意常数a,h(x)只有一个零点，即方程f(a+x)= 只有一个解 故选：B. 第6页共12页 三、解答题 17.已知数列{a}是公差为2的等差数列，数列{bn}为等比数列. (1)若6=a,b=a,b=a5,求数列{b}的通项公式： (2)设数列{an}的前n项和为Sn,若S:=3a,a+ak1=6,求a. 【答案】(1)bn=3,(2)a=-8. 【解析】(1)由题意得6=a,6=a=4+2,b=a,=4+8。 因为6好=b5,所以(a+2)°=a(4+8): 解得a,=1,所以b,=1,6=3, 所以数列{b}的公比为3， 所以数列{b}的通项公式为b.=3 (2)数列{a}为等差数列，且公差为2， S2=3ak,a1+a1=6, :2a+12x11=3[a+2k-明， a+a,+2k=6 都海任故4=8 I8.如图，在四面体ABCD中，己知AB⊥平面BCD,BC⊥CD (1)求证：平面ACD⊥平面ABC: (2)若AB=1,CD=BC=2,求直线AD与平面ABC所成角的正弦值大小. 【答案】()见解析：2)号 【解析】(I):AB⊥平面BCD,CDC平面BCD,∴.AB⊥CD, 又：BC⊥CD且AB∩BC=B,AB.BCC平面ABC, .CD⊥平面ABC,,CDC平面ACD, ∴.平面ACD⊥平面ABC. (2)CD⊥平面ABC,ACc平面ABC,则DC⊥AC, ∴.∠CAD即为直线AD与平面ABC所成的角， 第7页共12页 CD=BC=2,BC⊥CD,.∠BCD=90,.BD=22· 又AB⊥平面BCD,BDC平面BCD,∴，AB⊥BD, 而AB=1,.AD=V+8=3, ∴在R△ACD中，sim∠CAD=CP=2 AD3' 又∠cDe经， 故线AD与平面ABC所成角的正弦值为 19.近年来，为“加大城市公园绿地建设力度形成布局合理的公园体系”，许多城市陆续建起众多“口袋公园”、 现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示，以EF中点A为圆 心，FG为半径的扇形草坪区ABC,点P在弧BC上（不与端点重合），AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为 步行道，其中PQ与AB垂直，PR与AC垂直.设∠PAB=O. (I)如果点P位于弧BC的中点，求三条步行道PO、PR、RO的总长度： (2)“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用为此街道允许在步 行道PQ、P、RQ开辟临时摊点，积极推进“地摊经济”发展，预计每年能产生的经济效益分别为每米5万 元、5万元及5.9万元则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元） 【答案】(1)200+100√5（米）：(2)2022万元 H 【解析】(1)由题AC=200,EA=100EC=1005, E4C-号，同理PB-号故∠BAC=骨 由于点P位于弧BC的中点，所以点P位于∠BAC的角平分线上， E A 则1Pgl=PR=Psin∠PAB=200×sinx=100, H G 14Q=PlcosLPAB=200x B 2 =100W5, 因为∠Bc-40l=hR=1005, 所以△ARQ为等边三角形， 则Rg=4g=100W5, A 因此三条街道的总长度为1=Pg+PR+Rg=100+100+100W5=200+100W5(米). (2)由图可知Pg=AP sin0=200sin0 第8页共12页 IPR=4Psin0-200sim=100J5cos0-10sim0, 40=AP cose=200cos0 IAR=4Pcos-200cos-10c0+1sino. 在aARQ中由余弦定理可知： Rg-agf+luR-2ae4eos号 =(200cos0y'+100cos0+1005sim0) -2x20cos6(10cos0+105sn0水eos号 =30000. 则Rg=100N5, 设三条步行道每年能产生的经济总效益W,则 W=(PO+PRI)x5+ROlx5.9 =(200sin0+1005cos0-100sin0)×5+590N5 =10sm0+}+5905， 当s如0+写引=1即0=爱时r取最大值 6 最大值为1000+590W5≈2022 答：三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元 20.已知抛物线厂：y2=4x. (1)求抛物线「的焦点F的坐标和准线1的方程； (2)过焦点F且斜率为的直线与抛物线「交于两个不同的点小、B,求线段B的长， (3)已知点P(1,2),是否存在定点Q,使得过点Q的直线与抛物线「交于两个不同的点M、N(均不与 点P重合)，且以线段MN为直径的圆恒过点P?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)抛物线「的焦点F(1,0),准线1：x=-1:(2)20:(3)存在，Q(5,-2) 【解析】(1)抛物线「：y2=4x,则p=2,且焦点在x轴正半轴， 第9页共12页 故抛物线Γ的焦点F(1,0),准线1：x=-1. (2)由（1)可得：F(1o),可得直线4B:y=x-), 设A(x片)，B(x,),联立方程 =-0,消去)得2-1✉+10， y2=4x 可得△=(-18)2-4×1×1=320>0，x+2=18, 故AB=x+2+p=20 (3)存在，理由如下： 设直线N:x=my+n,M(:,),N(x,y:), 联立方程 产=4r”，消去x得少2-4m-n=0, x=my+n 则△=16(m2+m）>0,为+y=4m,y=-4n, 可得PM=(s-1y3-2),PN=(x-1,y-2), 若以线段MN为直径的圆恒过点P,则PM⊥PN, 可得PM.P元=(3-1(x-)+(y-2(y-2)=(m+n-1(my,+n-)+(05-2-2) =(m2+)yy+(mn-m-2)(y+)+(n-1)'+4 =(m2+小-(-4n)）+(mn-m-2-(4m)+(n-l'+4 =-4(m+1)2+(n-3)}2=(n+2m-1)(n-2m-5)=0, 可得n+2m-1=0或n-2m-5=0, 若n+2m-1=0,则n=1-2m,可得直线N:x=+1-2m=m(y-2)+1, 过定点(1,2)，与点P重合，不合题意： 若n-2m-5=0,则n=2m+5,此时△=16(m2+川=16(m+2m+5)=16[(m+1y+4]>0, 可得直线MN:x=mw+2m+5=m(y+2)+5,过定点(5，-2)： 综上所述：直线MN过定点（⑤，-2）. 第10页共12页2025届普陀区高考0.5模考试数学试卷 一、填空题（第16题每题4分，第712题每题5分.满分54分） L.函数y=ogx的定义域为一 2.己知圆x2+y2-4x-m=0的周长为2π，则实数m的值为 3.己知圆柱的底面积为9π，侧面积为12π，则该圆柱的体积为 4.对于复数三=i(i是虚数单位)，则m=一 1+i 5.已知(1+x)”的展开式各项系数之和为64，展开式中含x2项的系数为 6.下列说法正确的徐浩是 ①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率 是0.1 ②已知一组数据1,2，m,6,7的平均数为4，则这组数据的方差是5 ③数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23 ④若样本数据，，书2，，的方差为4，则数据2-1,25-1，…，2x。-1的方差是16 7.己知角a的终边上一点P的坐标为 5 6.cos 6 则角a的最小正值为 8.函数y=og.(x+2)-1(a>0,且a1)的图像恒过定点A,若点A在直线x+m+2=0上，其中m>0, n>0,则上+上的最小值为 m刀 9.己知数列{a。}的通项公式为a,=n+1,S,为数列{a,}的前n项和，若S<0,则实数1的取值范围 为一 10.在△ABC中，AB=1,∠ABC=60°，AC.B=-1,若0是△4BC的重心，则B0.AC=一 x22 I山.如图，已知，5分别是桥圆C:荐+方1a>b>0)的左，右焦点，MN为桶圆上两点，满足5M,N, 且F N:FM:FM=1:2:3,则椭圆C的离心率为 12.对于正整数n,设x是关于x的方程+2x-n=0的实数根，记a。=[(m+)x。](n22),其中]表示 不超过实数x的最大整数，则0色+a+中0)小 二、单选题（本大题共4题，满分20分） 13.下列不等式中，解集为{外1<x<号的是( A.x2-1s0 B.-1≤0 1 C.+x-可≤0 D. 14.已知直线1与平面口相交，则下列命题中，正确的个数为( ①平面：内的所有直线均与直线1异面： ②平面α内存在与直线/垂直的直线： ③平面a内不存在直线与直线/平行 ④平面口内所有直线均与直线1相交 A.1 B.2 C.3 D.4 15.摆两颗般子，观察掷得的点数：设事件A为：至少一个点数是奇数：事件B为：点数之和是偶数：事 件A的概率为P(),事件B的概率为P(B):则1-P(A⌒B)是下列席个事件的概率( A,两个点数都是四数 B.至多有一个点数是偶数 C,两个点数都是奇数 D.至多有一个点数是奇数 16。已知定义在R上的函数=)对任意<，都有飞)上色成立且满足/0)=-g(其中 书一药 a为常数)，关于x的方程：f(a+x)=c的解的情况，下面判断正确的是( ) A.存在常数a,使得该方程无实数解 B.对任意常数a,方程均有且仅有1解 C.存在常数a,使得该方程有无数解 D.对任意常数a,方程解的个数大于2 三、解答题（本大题共有5题。满分6分别 17.已知数列{a}是公差为2的等差数列，数列{也，}为等比数列. (1)若4■a,b=a,6=a,求数列{也，}的通项公式： (2)设数列{an}的前n项和为S,若S:=30,马+a■6，求%. 18.如图.在四面体ABCD中，己知AB⊥平面BCD,BC⊥CD (1)求证：平面ACD⊥平面ABC: (2)若AB=1,CD=BC=2,求直线AD与平面ABC所成角的正弦值大小 19,近年来，为“加大城市公园绿地建设力度形成布局合理的公园体系”，许多城市陆续建起众多“口袋公园”、 现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示，以EF中点A为圆 心，FG为半径的扇形草坪区ABC,点P在弧BC上（不与端点重合）AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为 步行道其中Pg与AB垂直PR与AC垂直设∠PAB=B. (I)如果点P位于弧BC的中点求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度 (2)“地推经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活“等都有积极作用为此街道允许在步 行道PQ、P、RQ开辟临时摊点，积极推进“地摊经济”发展，预计每年能产生的经济效益分别为每米5万 元、5万元及5.9万元侧这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元） H G B E A 20.己知抛物线Γ：y2=4x, (1)求抛物线Γ的焦点F的坐标和准线/的方程： (2)过焦点F且斜率为的直线与抛物战r交于两个不同的点小、B、求线段4B的长： (3)己知点P(L,2),是否存在定点Q,使得过点Q的直线与抛物线「交于两个不同的点MN(均不与 点P重合)，且以线段N为直径的圆恒过点P?若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由. 21.设P是坐标平面xO上的一点，曲线「是函数y=∫(x)的图象.若过点P恰能作曲线「的k条切线 (kcN),则称P是函数y=f(x)的k度点” (1)判断点O(0.0)与点A(2.0)是否为函数y=nx的1度点，不需要说明理由： (2)已知0<m<,g(x)=sin,证明：点B(0.x)是y=g(x(0<x<m)的0度点： (3)求函数y=x-x的全休2度点构成的集合。