精品解析：山西省金科大联考2024-2025学年高一上学期11月期中测评数学试题

山西2024~2025学年高一年级11月份期中测评 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 下列哪组中的两个函数是同一函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 命题“，”是真命题 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则是一个戴德金分割 B. 若，，则是一个戴德金分割 C. 若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D. 若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 11. 已知表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则或 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，若，则实数的取值范围是______. 13. 已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是___________. 14. 已知函数，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）求值：； （2）已知，求的值. 16. （1）解关于的不等式； （2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 设，均为正数，且. （1）求的最小值； （2）证明：， 18. 已知幂函数在上单调递增. （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）若对，，使得成立，求实数的取值范围. 19. 已知定义在上的函数满足：. （1）判断的奇偶性并证明； （2）若，求； （3）若，，判断并证明的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西2024~2025学年高一年级11月份期中测评 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集以及交集的运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分母不为及偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，令，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 3. 下列哪组中的两个函数是同一函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】定义域和对应法则均一致才为同一函数，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数的定义域为，即两个函数不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 即两个函数不是同一函数； 对于C，，函数与函数的定义域和对应法则一致， 即两个函数是同一函数； 对于选项D，函数的定义域为， 函数的定义域为，即两个函数不是同一函数． 故选：C． 4. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，然后利用基本不等式求最大值． 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号， 所以的最大值为1. 故选：C. 5. 已知函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数的性质得出单调性，然后由单调性得出最值，从而得值域． 【详解】的对称轴为，当时，单调递减，当时，单调递增， 因为，，，所以的值域为， 故选：C. 6. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合不等式的基本性质，即可求解. 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，，所以. 故选：D. 7. 已知函数的定义域为，是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知条件得出单调性与对称性，由对称性转化自变量值到同一个单调区间内，再由单调性比较大小． 【详解】当时，恒成立， 函数在上为单调增函数， 函数是偶函数，即， 函数的图象关于直线对称， ，， ，即，. 故选：D. 8. 已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的单调性求解不等式. 【详解】因为，且， 令，得； 又因为， 所以即 因为在为增函数. 所以解得或. 即不等式的解集为， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 命题“，”是真命题 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定判断A；判断存在量词命题的真假，判断B； 利用充分条件的定义判断C；利用充分不必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，由存在量词命题的否定形式知命题正确，A正确； 对于B，当时，成立，B正确； 对于C，取，，满足，而，不是充分性条件，C错误； 对于D，能推出，而不能推出，“”是“”的充分不必要条件，D正确. 故选：ABD 10. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则是一个戴德金分割 B. 若，，则是一个戴德金分割 C. 若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D. 若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，故B正确； 对于C，设，，此时有最大元素1，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故C正确； 对于D，如B选项，此时没有最大元素，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则或 D. 不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】由得的定义，分别判断AB选项；C选项由定义得到不等关系，解出范围，再由为整数求得的可取值；D选项先将看作未知数解一元二次不等式得到的范围，再由定义得到的取值范围. 【详解】对于A，，所以，故A错误； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，由，得且. ∵为整数，或或或，故C错误； 对于C，得，解得， 对于D，由，得；由，得，所以不等式的解集为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的结果，说明两个集合有公共元素，从而得参数范围． 【详解】因为，且，所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系得到不等式，即可解出实数的取值范围. 【详解】设方程的一正一负两个根为， 则，解得， 故答案为：. 14. 已知函数，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】直接计算后可得． 【详解】∵，， 所以. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）32；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算即可求出答案； （2）通过，及即可求结果. 【详解】（1）原式； （2）由， 因为，所以，， 所以. 故. 16. （1）解关于的不等式； （2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为 （2） 【解析】 【分析】（1）由，，讨论即可；（2）转化成，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）不等式可化为， ①时，解不等式得， ②时，，解不等式得， ③时，解不等式得. 综上，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为； （2）由题意，不等式即恒成立， 所以， 又（当且仅当，即时取“”）， 所以实数的取值范围为. 17. 设，均为正数，且. （1）求的最小值； （2）证明：， 【答案】（1） （2）证明： ， 当且仅当，时等号成立， 故不等式. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式放缩求解； （2）把不等式右边的式子变形为， 再利用“1”的代换，凑出积为定值，从而求得最小值． 【小问1详解】 ，均为正数，且， ， ，， （当且仅当时取“”）， 的最小值为； 【小问2详解】 略 18. 已知幂函数在上单调递增. （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围； （3）若对，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的概念及单调性列出等式求解即可； （2）由幂函数的单调性列出不等式即可； （3）由题意通过，及，即可求解. 【小问1详解】 由幂函数在上单调递增， 可得，解得， 所以； 【小问2详解】 因为在上单调递增， 则可化为，解得，所以的取值范围为； 【小问3详解】 由（1）知， 因为对，使得都成立， 所以，其中， 由（1）可得函数在上的最大值为8，所以， 因为存在，使得成立，可得， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或， 所以实数的取值范围为. 19. 已知定义在上的函数满足：. （1）判断的奇偶性并证明； （2）若，求； （3）若，，判断并证明的单调性. 【答案】（1） 是奇函数，证明如下： 因为， 令，得到， 令，得到，即， 所以是奇函数； （2） （3） 在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则 ， 又因为，，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）令求得，再令，则奇偶性定义得结论； （2）令求得，然后由奇偶性求得； （3）记，在上任取，作差，其中化为，再利用已知条件变形后即可根据定义证单调性． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，得到， 由（1）知是奇函数，所以； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $