精品解析：北京市顺义区第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

顺义一中2024——2025学年高二上学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，进而结合直线倾斜角的取值范围解出直线倾斜角即可. 【详解】由题意知：，即，则直线的斜率， 所以，又因为，所以. 故选：C. 2. 椭圆：的焦点坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 先化为标准方程，求得，判断焦点位置，写焦点坐标. 【详解】因为椭圆：， 所以标准方程为， 解得， 因为焦点在y轴上， 所以焦点坐标为，. 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 3. 如果直线与直线垂直，那么的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系列式求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 则，解得. 故选：D. 4. 对于圆：，下列说法正确的为（ ） A. 点圆的内部 B. 圆的圆心为 C. 圆的半径为 D. 圆与直线相切 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的一般方程及点与圆的位置关系的判定方法，结合直线与圆的位置关系的判定方法即可求解. 【详解】对于A，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确； 对于B，C，由，得，所以圆的圆心为，半径为，故B，C错误； 对于D，由圆心到直线的距离为，所以，即，所以圆与直线相离，故D错误. 故选：A. 5. 已知甲、乙两名同学在高二的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ） A. 甲的中位数低于乙的中位数 B. 若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则 C. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 D. 甲成绩比乙成绩稳定 【答案】A 【解析】 【分析】由折线图甲乙同学成绩的分布情况结合统计相关知识即可作出判断. 【详解】对于A：由折线图可知，甲的中位数大于90，乙同学的中位数小于90， 所以甲的中位数大于乙的中位数，故A错误； 对于B，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，B正确； 对于C，由折线图可知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，C正确； 对于D，由折线图可知，甲成绩波动性小于乙成绩的波动性， 所以甲成绩比乙成绩稳定，D正确. 故选：A. 6. 已知直线：和直线：，则与间的距离最短值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知直线与直线平行，根据平行线间距离公式运算求解. 【详解】因为直线：即为， 可知直线与直线平行， 则与间的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以与间的距离最短值为. 故选：C. 7. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】设圆心为，分析可知点的轨迹为以为圆心，半径的圆，结合圆的性质分析求解. 【详解】设圆心为，，则， 可知点的轨迹为以为圆心，半径的圆， 且，即点在圆外， 所以圆心到原点的距离的最小值为. 故选：B. 8. 已知直线：，曲线：，则“与相切”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据曲线表示的图形并利用点到直线距离公式计算，结合的几何意义可得结论. 【详解】易知曲线：可化为，表示圆心为，半径的上半圆； 易知直线可化为， 当时，圆心到直线的距离为， 此时与下半圆相切，如下图所示，不合题意，即必要性不成立； 若与相切，可知，解得或； 检验可知只有当时，直线与相切，即可得，所以充分性不成立； 所以“与相切”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 9. 已知点，，圆：，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可知可知点的轨迹是以为直径的圆（除外），且圆与圆有公共点，结合两圆的位置关系列式求解即可. 【详解】因为， 可知点的轨迹是以为直径的圆（除外），即圆心为，半径的圆， 且圆：的圆心为，半径， 由题意可知：圆与圆有公共点， 则，即，且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，给出下列四个结论： ①； ②面积的最小值是； ③只存在唯一的点，使平面； ④当时，平面平面． 其中所有正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】证明平面判断①；求出的面积表达式并求解最值判断②；利用过一点有且只有一个平面垂直于已知直线判断③；证明平面且平面判断④. 【详解】对于①：连接， 在正方体中，平面，平面，则， 又，平面，平面， 则平面，又平面，则，故①正确； 对于②：设交于，连接.由平面，得， 所以， 在中，当时，最小， 又，，，， 此时， 因此面积的最小值为，故②错误； 对于③：连接，由①知，平面，又平面， 所以，同理， 因为，平面，平面， 因此平面， 当点为直线与平面的交点时，平面， 由于过一点A有且只有一个平面垂直于已知直线， 于是过直线与直线垂直的平面有且只有一个， 所以存在唯一的点，使平面，故③正确； 对于④：当时， 在中，，， 则， 即，则， 又，平面，平面， 所以平面，即平面， 由①同理可知，， 且平面， 平面， 因此平面，则平面平面，故④正确， 故选：B. 二、填空题：本题共5小题，共25分． 11. 过点且与直线平行的直线方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行设出平行线方程，由已知点代入，可得答案. 【详解】由直线方程，则可设其平行线的方程为， 由平行线过，则，解得，所以方程为， 故答案为：. 12. 已知，两组数据，其中：2，3，4，5，6；：11，，13，14，12；组数据的方差为______，若，两组数据的方差相同，试写出一个值______． 【答案】 ①. 2 ②. 10或15 【解析】 【分析】根据方差公式及其变形即可得到方程，解出即可. 【详解】组的平均数， 组的平均数， 则组的方差为 ， 则组的方差为 ， 解得或15. 故答案为：2；10或15. 13. 椭圆的离心率_________，过右焦点作直线交椭圆于A、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为_________． 【答案】 ①. ②. 16 【解析】 【分析】根据方程可得，即可得离心率；根据椭圆定义求的周长. 【详解】由椭圆方程可知：， 所以椭圆的离心率； 所以的周长. 故答案为：；16. 14. 已知直线：与圆：交于A，两点，当最短时的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】分析可知直线过定点，结合圆的性质可知当时，取到最短，即可得结果. 【详解】因为直线：，即，可知直线过定点， 圆：的圆心为，半径， 可知当时，取到最短，此时. 故答案为：. 15. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线：就是其中之一．给出下列四个结论： ①曲线关于坐标原点对称； ②曲线恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线上任意一点到原点的距离的最小值为2； ④曲线所围成的区域的面积大于8． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，将点代入，依旧满足该方程可得结论；对于②，由曲线可得，将所有整数点代入即可求得，对于③，找出反例即可；对于④，借助曲线的对称性，证明该曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的面积大于直线与坐标轴围成的面积即可. 【详解】对于①，将点代入可得，，依旧满足该方程，故曲线E关于坐标原点对称，即①正确； 对于②，由可得，令，有，解得； 令，有，解得； 令，有，此时方程无整数解； 令，有，解得； 即曲线恰好经过，共8个整点，即②正确； 对于③，由②可知在曲线上，该点到原点的距离为，即③错误； 对于④，将点代入可得，， 可知曲线关于轴对称， 令点在曲线上，且该点在第一象限， 则，即，故， 令，则，即， 当且仅当时，等号成立， 即，整理可得， 因式分解可得， 由可知，即必有， 即，当且仅当时，等号成立， 故除了点在直线上以外，点都恒在直线的上方； 直线与坐标轴的交点为， 则直线与坐标轴围成的面积为， 可知曲线在第一象限部分与坐标轴围成的面积大于， 再由曲线关于原点对称且关于轴对称，故可知曲线所围成的区域的面积大于． 可知④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：本题中④的结论关键在于将曲线所围成的区域的面积大于8转化成求证曲线在第一象限部分与坐标轴围成的面积大于2，结合点在曲线上，转化为证明除点外其余点恒在直线上方，即证时恒成立. 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知的顶点为，，，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合截距式方程运算求解； （2）根据垂直关系可得高的斜率，结合点斜式方程运算求解. 【小问1详解】 因为，， 所以边所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）可知：直线的斜率， 则高的斜率， 所以高所在直线的方程，即. 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求线面角的大小； （2）根据（1）的结果，结合点到平面的距离的定义，即可求解. 【小问1详解】 以点为原点，以向量为轴的方向向量，建立空间直角坐标系， ，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，可取法向量 设直线与平面所成角为， 所以,则， 所以直线与平面所成角的大小为； 【小问2详解】 因为，则， 由（2）可知，直线与平面所成角的大小为， 所以点到平面的距离为. 18. 圆（圆心为整数点）经过，，且满足_________ ①与直线相切 ②经过点 ③圆心在直线上． 请从以上三个条件中选择一个条件填到横线上完成下列问题 （1）求圆的方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得线段的中垂线方程为，设圆心.若选①：结合相切关系列式求解即可；若选②：根据圆的定义列式求解即可；若选③：将代入直线运算即可； （2）求出圆的标准方程得圆心坐标和半径，由弦长求得圆心到直线的距离，分类讨论，斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数值得直线方程，斜率不存在时检验． 【小问1详解】 因为，的中点为，且， 则线段的中垂线方程为，即， 可设圆心，则. 若选①：因为圆与直线相切， 注意到位于直线的同侧， 则，解得， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 即圆心，半径， 所以圆的方程为； 若选②：因为圆经过点， 则，解得， 即圆心，半径， 所以圆的方程为； 若选③：因为圆心在直线上， 则，解得， 即圆心，半径， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 因为直线l被圆C截得的弦长为6， 则圆心到所求直线的距离为. 当直线l斜率不存在时，直线l方程为，满足题意； 当直线l斜率存在时，设直线l为：，即， 则，解得，此时直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 19. 科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐．以下是A，两地区某年的统计数据，20年1月至12月A，两地区电动汽车市场各月的销售量数据如下： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 地区（单位：万辆） 29.4 39.7 54.3 49.4 56.2 65.4 61.1 68.2 70.2 71.9 77.1 89.2 地区（单位：万辆） 7.8 8.8 8.1 8.3 9.2 10.1 9.7 9.9 10.4 9.4 8.9 10.1 月销量比 3.8 4.5 6.7 6.0 6.1 6.5 6.3 6.9 6.8 7.6 8.7 8.8 月销量比是指：该月A地区电动汽车市场的销售量与地区的销售量的比值（保留一位小数）． （1）地区根据当地经济和人口情况制定了月销售评价表 月销售量（万辆） 评价 不合格 合格 良好 优秀 特优 在该年1月至12月的统计数据中随机抽取1个月，求该月销售评价达到“优秀”的概率； （2）从该年1月至6月中随机抽取2个月，求在这2个月中月销量比均超过6.0的概率； （3）记该年1月至12月A，两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为，，试判断与的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由表中数据找出符合的月份个数即可求解； （2）根据题意利用列举法结合古典概型运算求解. （3）由表中数据和方差定义即可判断. 【小问1详解】 设事件C为“该月销售评价达到“优秀””， B地区达到“优秀”的月份为5月、6月、7月、8月、9月、10月、12月，共7个月， 所以. 【小问2详解】 该年1月至6月中随机抽取2个月， 则样本空间为 ， 可得， 设事件D为“这2个月中月销量比均超过6.0的”， 则，可得， 所以. 【小问3详解】 A地区销售量最低有29.4万辆，最高有89.2万辆，数据波动较大； 相比之下B地区销售量最低有7.8万辆，最高有10.4万辆，数据波动幅度较小，变化较为平稳； 故. 20. 如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． （1）平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 【答案】（1）证明：因为，为中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再结合面面垂直的性质分析证明； （2）建系标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）设，利用空间向量结合线面平行可得，即可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得 由题意可知：平面的法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 线段上是否存在一点，使平面. 设，则， 若平面，则， 可得，解得， 即，可知， 所以存在点，使平面，此时. 21. 已知圆：与直线相切． （1）求出； （2）设点为直线上一动点，若在圆上存在点，使得，求的取值范围； （3）若过点做两条互相垂直的直线交圆于，两点，判断直线是否恒过定点，若存在定点，求出定点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）过定点，定点为 【解析】 【分析】（1）根据相切结合点到直线的距离公式运算求解即可； （2）分析可知当与圆相切（为切点）时，取到最大值，可得，运算求解即可； （3）当且仅当是圆O的直径时，条件成立，即可得定点. 【小问1详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径为， 因为圆心与直线相切，所以. 【小问2详解】 因为圆心与直线的距离， 可知圆与直线相离， 由题意可知：当与圆相切（为切点）时，取到最大值， 此时，且， 则，可得，则， 因为点为直线上，则， 可得，整理可得，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 因为均在圆O上，且， 可知当且仅当是圆O的直径时，上述条件成立， 所以直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺义一中2024——2025学年高二上学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆：的焦点坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 如果直线与直线垂直，那么的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 对于圆：，下列说法正确的为（ ） A. 点圆的内部 B. 圆的圆心为 C. 圆的半径为 D. 圆与直线相切 5. 已知甲、乙两名同学在高二的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（ ） A. 甲的中位数低于乙的中位数 B. 若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则 C. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 D. 甲成绩比乙成绩稳定 6. 已知直线：和直线：，则与间的距离最短值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 8. 已知直线：，曲线：，则“与相切”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知点，，圆：，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，给出下列四个结论： ①； ②面积的最小值是； ③只存在唯一的点，使平面； ④当时，平面平面． 其中所有正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共5小题，共25分． 11. 过点且与直线平行的直线方程为_________． 12. 已知，两组数据，其中：2，3，4，5，6；：11，，13，14，12；组数据的方差为______，若，两组数据的方差相同，试写出一个值______． 13. 椭圆的离心率_________，过右焦点作直线交椭圆于A、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为_________． 14. 已知直线：与圆：交于A，两点，当最短时的值为_________． 15. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线：就是其中之一．给出下列四个结论： ①曲线关于坐标原点对称； ②曲线恰好经过8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线上任意一点到原点的距离的最小值为2； ④曲线所围成的区域的面积大于8． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知的顶点为，，，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 18. 圆（圆心为整数点）经过，，且满足_________ ①与直线相切 ②经过点 ③圆心在直线上． 请从以上三个条件中选择一个条件填到横线上完成下列问题 （1）求圆的方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 19. 科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐．以下是A，两地区某年的统计数据，20年1月至12月A，两地区电动汽车市场各月的销售量数据如下： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 地区（单位：万辆） 29.4 39.7 54.3 49.4 56.2 65.4 61.1 68.2 70.2 71.9 77.1 89.2 地区（单位：万辆） 7.8 8.8 8.1 8.3 9.2 10.1 9.7 9.9 10.4 9.4 8.9 10.1 月销量比 3.8 4.5 6.7 6.0 6.1 6.5 6.3 6.9 6.8 7.6 8.7 8.8 月销量比是指：该月A地区电动汽车市场的销售量与地区的销售量的比值（保留一位小数）． （1）地区根据当地经济和人口情况制定了月销售评价表 月销售量（万辆） 评价 不合格 合格 良好 优秀 特优 在该年1月至12月的统计数据中随机抽取1个月，求该月销售评价达到“优秀”的概率； （2）从该年1月至6月中随机抽取2个月，求在这2个月中月销量比均超过6.0的概率； （3）记该年1月至12月A，两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为，，试判断与的大小．（结论不要求证明） 20. 如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． （1）平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 21. 已知圆：与直线相切． （1）求出； （2）设点为直线上一动点，若在圆上存在点，使得，求的取值范围； （3）若过点做两条互相垂直的直线交圆于，两点，判断直线是否恒过定点，若存在定点，求出定点坐标，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $