精品解析：湖南省多校联考2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

湖南高一年级期中考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前三章． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式得集合，然后利用交集的定义求解. 【详解】因为，所以． 故选：B． 2. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法求解析式即可. 【详解】令，得，则，则． 故选：C． 3. 若与均为定义在上的奇函数，则函数的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析的奇偶性，然后直接判断即可. 【详解】因为与均为定义在上的奇函数， 所以， 又因为的定义域为且关于原点对称， 且， 所以为偶函数， 故图象关于轴对称且，符合要求的只有选项B， 故选：B. 4. 若函数满足，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法，令即可得解. 【详解】令，得，解得． 故选：D． 5. 若不等式对一切实数都成立，则整数的个数为（ ） A. 67 B. 68 C. 69 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】即恒成立，分和两种情况，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出，得到答案. 【详解】依题意可得对一切实数都成立， 当时，对一切实数都成立； 当时，需满足，解得． 综上，，整数的个数为69． 故选：C 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的单调性求解. 【详解】由得，所以的定义域为． 因为与在上均为增函数， 所以在上为增函数， 所以，即函数的值域为. 故选：A. 7. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 18 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，利用基本不等式中1的妙用求解即可． 【详解】由正数，满足，得，则， 则， 当且仅当且，即时，等号成立， 故的最小值为18． 故选：A． 8. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，函数在上单调递减，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，求解即可. 【详解】不妨假设，由，得，则在上单调递减， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的大致图象如图所示，若在上单调递增，则的值可以为（ ） A. B. C. 0.8 D. 5 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数单调性的概念及图象特征，列不等式求解的取值范围即可. 【详解】由图可知，在上单调递增，所以或， 所以的取值范围为． 故A不符合题意，BCD符合题意. 故选：BCD. 10. 设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“循环函数”的概念逐项判断即可. 【详解】若，则，得为“循环函数”，故A正确； 若，则，得不是“循环函数”，故B错误； 若，则，得为“循环函数”，故C正确； 若，则，得为“循环函数”，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知，，且不等式恒成立，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】由，令，利用基本不等式求的最小值，即可求得的取值范围. 【详解】由，，则不等式， 令， 则， 又，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； 则，当且仅当时，等号成立； 又，当且仅当，即时，等号成立； 故，当且仅当时，等号成立； 所以，解得， 因此可得的最小值为，的最大值为， 故选：AB. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题：，，则的否定为__________．为__________．（填入“真”或“假”）命题． 【答案】 ①. ②. 真 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题求出的否定，由二次函数的性质判断的真假. 【详解】的否定为， ，是增函数，则，故为真命题． 故答案为：；真. 13. 设集合均为质数的真子集的个数为__________． 【答案】31 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，进而求出其真子集个数. 【详解】依题意，， 所以集合的真子集的个数为. 故答案为：31 14. 已知函数，若不等式成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用的奇偶性与单调性求解即可. 【详解】设，定义域为， 则，故是奇函数． 不等式等价于不等式， 即不等式． 因为是奇函数，所以． 因为均是上的减函数，所以是上的减函数， 则，即，解得． 则的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出全集，再根据补集、交集的定义求解即可； （2）易得，由得，，结合集合元素的互异性求解. 【小问1详解】 由题意得，则， 所以. 【小问2详解】 由题意得， 因为，所以. 由，得且， 所以，解得（舍去）. 16. 已知函数的图象经过点，函数． （1）证明：，均为幂函数. （2）判断函数的奇偶性，说明你的理由. （3）若，求的最小值. 【答案】（1）证明：因为函数的图象经过点， 所以16，解得， 所以，所以均为幂函数. （2）偶函数，理由：，由解得或， 所以的定义域为，定义域关于原点对称. 因为， 所以为偶函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）由函数的图象经过点求出，然后根据幂函数的概念判断； （2）根据偶函数的定义判断； （3）由条件得，然后利用基本不等式求的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以，且， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 17. 眼下正值金柚热销之时，某水果网店为促销金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的金柚重量 金柚单价/（元） 不超过5kg的部分 10 超过5kg但不超过10kg的部分 9 超过10kg的部分 8 记顾客购买的金柚重量为，消费额为元． （1）求函数的解析式． （2）已知甲、乙两人商量在这家网店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为，．请你为他们设计一种购买方案，使得甲、乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额． 【答案】（1）； （2）一起购买，111元. 【解析】 【分析】(1)根据表格即可列出各段函数解析式; (2)分别计算各自购买的金额和一起购买金额，作差即可得到节省金额, 【小问1详解】 当时，； 当时，； 当时，； 综上可得：； 【小问2详解】 当甲、乙两人各自购买时，消费总额为（元）； 当甲、乙两人一起购买时，消费总额为（元）； 故由上可知当甲、乙两人一起购买时比他们各自购买时节省了6元，此时消费总额是111元. 18. 已知函数，， （1）用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减． （2）当时，写出的单调区间． （3）若在上为单调函数，求的取值范围． （4）求函数的最大值与最小值之差． 【答案】（1）证明：当时，． 设是区间上任意两个实数，且， 则，于是， 由函数单调性的定义可知，函数在区间上单调递减． （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3） （4）5 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）根据一次函数与二次函数的性质求解的单调区间； （3）根据与的单调性及取值情况求解； （4）利用判别式法求出的最大值与最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为． 【小问3详解】 由，得或． 由题意得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 因为在上为单调函数，所以在上为增函数， 所以，即的取值范围是． 【小问4详解】 由，得， 即． 当时，，则； 当时，，则，解得且． 综上，的取值范围是，即的最大值为2，最小值为． 故的最大值与最小值之差为5． 19. 对于个集合，，，…，，定义其交集：；定义其并集：. （1）若，求，； （2）若， ，且，求的最大值. 【答案】（1），； （2）最大值为12. 【解析】 【分析】（1）计算集合，再由新定义分别计算，即可； （2）先根据题意计算和，再由定义可得和，又因为，在和情况下计算出的取值范围，最后得出最大值. 【小问1详解】 因为， 所以，，2，…，， 则， . 【小问2详解】 因为， 所以，，2，…，，则. 又， 所以当时，；当时，. 若，则由，可得，不等式恒成立. 若，则由，可得，解得. 因为，且，所以的最大值为12. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南高一年级期中考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前三章． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若与均为定义在上的奇函数，则函数的部分图象可能为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数满足，则（ ） A. B. 0 C. D. 5. 若不等式对一切实数都成立，则整数的个数为（ ） A. 67 B. 68 C. 69 D. 70 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 18 B. 14 C. 12 D. 10 8. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的大致图象如图所示，若在上单调递增，则的值可以为（ ） A. B. C. 0.8 D. 5 10. 设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，且不等式恒成立，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题：，，则的否定为__________．为__________．（填入“真”或“假”）命题． 13. 设集合均为质数的真子集的个数为__________． 14. 已知函数，若不等式成立，则的取值范围是__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合. （1）求； （2）若，求. 16. 已知函数的图象经过点，函数． （1）证明：，均为幂函数. （2）判断函数的奇偶性，说明你的理由. （3）若，求的最小值. 17. 眼下正值金柚热销之时，某水果网店为促销金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表： 购买的金柚重量 金柚单价/（元） 不超过5kg的部分 10 超过5kg但不超过10kg的部分 9 超过10kg的部分 8 记顾客购买的金柚重量为，消费额为元． （1）求函数的解析式． （2）已知甲、乙两人商量在这家网店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为，．请你为他们设计一种购买方案，使得甲、乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额． 18. 已知函数，， （1）用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减． （2）当时，写出的单调区间． （3）若在上为单调函数，求的取值范围． （4）求函数的最大值与最小值之差． 19. 对于个集合，，，…，，定义其交集：；定义其并集：. （1）若，求，； （2）若， ，且，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $