第四章 锐角三角函数 复习课件 2024—2025学年湘教版九年级数学上册

（湘教版）九年级 上 小结与复习 教学目标 1.帮助学生巩固锐角三角函数的概念、性质及计算方法，使他们能够熟练掌握特殊角的三角函数值，并能灵活运用三角函数解决实际问题。 2.通过复习和练习，培养学生的观察能力、推理能力和问题解决能力，使他们能够运用所学知识解决实际问题。 3.激发学生对数学学习的兴趣，培养他们的数学应用意识和创新精神，同时增强他们的合作意识和团队协作能力。 复习回顾 在直角三角形中， 锐角的正弦、 余弦、 正切分别是哪两条边的比？ 在直角三角形中， 把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sinα; 把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦， 记作cosα； 把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切， 记作tanα. 复习回顾 30°， 45°， 60°角的正弦值、 余弦值、 正切值分别是多少？   30° 45° 60° sin       cos       tan       1 复习回顾 在直角三角形中， 已知几个元素就可以解直角三角形？ 解直角三角形需要除直角之外的两个元素，且至少有一个元素是边。 已知两直角边(如a,b)： 由tanA=,求∠A,∠B=90°-∠A,c=; 斜边，一直角边(如c,a): 由sinA=,求∠A,∠B=90°-∠A,b=; 复习回顾 已知锐角，邻边(如∠A,b)： ∠B=90°-∠A,a=btanA,c=; 已知锐角，对边(如∠A,a): ∠B=90°-∠A,a=,c=; 已知锐角，斜边(如∠A,b)： ∠B=90°-∠A,a=ctanA,b=ccosA. 复习回顾 锐角三角函数在生活中有着广泛的应用， 试结合实例谈谈如何将实际问题转化为解直角三角形的问题. 如视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角（俯角）和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度。 实际问题 转化 数学问题 数学问题的解 求解 解决 实际问题的解 得出 典例精析 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12cm，BC＝10cm，分别求∠A，∠B的正弦、余弦和正切值． 解 :在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12cm，BC＝10cm ∴AC==2, ∴sinA==, cosA==,tanA==； sinB==, cosB==,tanB==. 典例精析 解： （1）1-sin230°=1-=； （2）sin45°cos30°-cos45°sin30°=×- ×=； 2.求下列各式的值： （1）1-sin230°； （2）sin45°cos30°-cos45°sin30°； （3）； （4）． 典例精析 解： （3）==； （4）==2+. 2.求下列各式的值： （1）1-sin230°； （2）sin45°cos30°-cos45°sin30°； （3）； （4）． 典例精析 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，c＝12cm，求∠B，a,b． 解：∵ ∠C=90°，∠A=30°， ∴ ∠B=60°. ∵∠C=90°，∠A=30°，c＝12cm， ∴sinA===,解得a=6. ∵∠C=90°，∠A=30°，c＝12cm， ∴ sinB===,解得a=6. 典例精析 4.如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上点D处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°(参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2)． (1)若已知CD＝20米，求建筑物BC的高度； (2)若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度． 解：(1)由题意得∠ACD＝90°，∠BDC＝45°，∴BC＝CD·tan∠BDC＝20×1＝20(米)． 答：建筑物BC的高度为20米． 典例精析 4.如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上点D处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°(参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2)． (1)若已知CD＝20米，求建筑物BC的高度； (2)若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度． 解： (2)设CD＝x米，同(1)得BC＝CD＝x米，AC≈1.2x米． ∵AB＝5米， ∴x＋5＝1.2x，解得x＝25， ∴BC＝25米． 答：建筑物BC的高度约为25米． 1.如图，一架人字梯，若，梯子离地面的垂直距离为2米，与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 D 2.如图，是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 D 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 3.如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为________米．(结果保留根号) 100 4.若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（　　） A． B． C． D． 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 C 【知识技能类作业】选做题： 课堂练习 5.如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（　　） A．点B到AO的距离为sin54° B．点B到AO的距离为tan36° C．点A到OC的距离为sin36°sin54° D．点A到OC的距离为cos36°sin54° C 【知识技能类作业】选做题： 课堂练习 6.如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为 米． 100 【综合拓展类作业】 课堂练习 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠BCD＝45°，点E在BC上，且∠AEB＝60°，若AB＝2，AD＝1，求CD和CE的长．(结果保留根号) 解：过点D作DF⊥BC，垂足为F. ∵AD∥BC，∠ABC＝90°，DF⊥BC， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠DFB＝90°， ∴四边形ABFD为矩形， ∴DF＝AB＝2，BF＝AD＝1. ∵在Rt△DFC中，∠C＝45°， ∴DF＝FC＝2，CD＝DF＝2， F 【综合拓展类作业】 课堂练习 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠BCD＝45°，点E在BC上，且∠AEB＝60°，若AB＝2，AD＝1，求CD和CE的长．(结果保留根号) 续：∴BC＝FC＋BF＝AB＋AD＝2＋1. 在Rt△ABE中，BE＝＝2， ∴CE＝BC－BE＝2＋1－2＝2－1. 即CD＝2，CE＝2－1. F 课堂总结 解直角三角形 锐角三角函数 锐角的正弦、余弦、正切的定义 特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值 已知锐角求三角函数值或已知三角函数值求对应的锐角 课堂总结 1.在直角三角形中，任一锐角的三角函数值只与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关． 2.在直角三角形中，已知一条边和一个角，或已知两条边，就可以求出其他的边和角． 3.有些关于图形的实际问题，我们可以结合已知条件，恰当地构造出直角三角形，画出图形，将实际问题转化为解直角三角形的问题． 板书设计 正弦: 余弦： 正切： 解直角三角形： 小结与复习 习题讲解书写部分 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，BC=m，那么AB的长为（　　） A． B． C． D． C 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 2.如图，某工程队沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝145°，且BD＝500米，∠D＝55°，为了使点A，C，E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是(　　) A．500sin55°米 B．500cos35°米 C．500cos55°米 D．500tan55°米 C 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 3.如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝10，tanB＝，则BC的长为 。 16 【综合拓展类作业】 作业布置 张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角(即∠MAN＝30°)，在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得大树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内)，求这棵大树CD的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732) 【综合拓展类作业】 作业布置 解：如图，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，则BE∥AN. ∵∠CAN＝45°，∠MAN＝30°， ∴∠CAB＝15°. ∵BE∥AN， ∴∠DBE＝∠MAN＝30°. ∵∠CBE＝60°，∴∠CBD＝30°. ∵∠CBD＝∠CAB＋∠ACB， ∴∠CAB＝∠ACB＝15°， ∴AB＝BC＝20. 【综合拓展类作业】 作业布置 续：在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，BC＝20， ∴CE＝BC·sin∠CBE＝20×＝10， BE＝BC·cos∠CBE＝20×＝10. 在Rt△DBE中，∠DBE＝30°，BE＝10， ∴DE＝BE·tan∠DBE＝10×＝， ∴CD＝CE－DE＝10－≈11.5(米)． 答：这棵大树CD的高度大约为11.5米． $$