第4章 锐角三角函数 复习教学设计 2024—2025学年湘教版九年级数学上册

《小结与复习》教学设计 课型 新授课口 复习课√ 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 《锐角三角函数》小结与复习主要围绕锐角三角函数的概念、性质以及应用展开。教材通过复习锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、三角函数值的计算及运用等内容，帮助学生巩固所学，并培养他们解决实际问题的能力。此单元是初中数学的重要组成部分，不仅在数学内部有广泛的应用，如解直角三角形、求线段长度等，而且在物理、工程等领域也有重要的实际应用。 学习者分析 学生在学习此节课之前，已经初步掌握了锐角三角函数的基本概念、特殊角的三角函数值以及三角函数值的计算方法。然而，在实际应用中，部分学生可能会遇到困难，如如何将实际问题转化为数学问题，如何灵活运用三角函数解决问题等。因此，在教学中，需要注重引导学生将理论知识与实践相结合，培养他们的应用能力和解决问题的能力。 教学目标 1.帮助学生巩固锐角三角函数的概念、性质及计算方法，使他们能够熟练掌握特殊角的三角函数值，并能灵活运用三角函数解决实际问题。 2.通过复习和练习，培养学生的观察能力、推理能力和问题解决能力，使他们能够运用所学知识解决实际问题。 3.激发学生对数学学习的兴趣，培养他们的数学应用意识和创新精神，同时增强他们的合作意识和团队协作能力。 教学重点 掌握锐角三角函数的概念、性质及计算方法，特别是特殊角的三角函数值的记忆和运用。 教学难点 如何将实际问题转化为数学问题，如何灵活运用三角函数解决实际问题，以及如何根据已知条件选择适当的三角函数进行计算。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：复习回顾 教师活动1： 问题1：在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切分别是哪两条边的比？ 教师讲授： 在直角三角形中， 把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sinα; 把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦， 记作cosα； 把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切， 记作tanα. 问题2：30°，45°，60°角的正弦值、余弦值、正切值分别是多少？ 教师讲授： 30° 45° 60° sin cos tan 1 问题3：在直角三角形中，已知几个元素就可以解直角三角形？ 教师讲授： 解直角三角形需要除直角之外的两个元素，且至少有一个元素是边。 已知两直角边(如a,b)： 由tanA=,求∠A,∠B=90°-∠A,c=; 斜边，一直角边(如c,a): 由sinA=,求∠A,∠B=90°-∠A,b=; 已知锐角，邻边(如∠A,b)： ∠B=90°-∠A,a=btanA,c=; 已知锐角，对边(如∠A,a): ∠B=90°-∠A,a=,c=; 已知锐角，斜边(如∠A,b)： ∠B=90°-∠A,a=ctanA,b=ccosA. 问题4：锐角三角函数在生活中有着广泛的应用， 试结合实例谈谈如何将实际问题转化为解直角三角形的问题. 教师讲授： 如视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角（俯角）和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度。 转化数学问题 实际问题 解决 求解 得出数学问题的解 实际问题的解 学生活动1： 回顾锐角的正弦、余弦、正切，举手回答问题 认真听讲 回顾特殊角的正弦值、余弦值、正切值 回顾如何解直角三角形，举手回答问题 认真听讲 认真听讲 回顾解直角三角形的应用 认真听讲 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。 环节二：例题精讲 教师活动2： 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12cm，BC＝10cm，分别求∠A，∠B的正弦、余弦和正切值． 答案： 解 :在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12cm，BC＝10cm ∴AC==2, ∴sinA==, cosA==,tanA==； sinB==, cosB==,tanB==. 2.求下列各式的值： （1）1-sin230°； （2）sin45°cos30°-cos45°sin30°； （3）； （4）． 答案：解：（1）1-sin230°=1-=； （2）sin45°cos30°-cos45°sin30°=×- ×=； （3）==； （4）==2+. 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，c＝12cm，求∠B，a,b． 答案：解：∵ ∠C=90°，∠A=30°， ∴ ∠B=60°. ∵∠C=90°，∠A=30°，c＝12cm， ∴sinA===,解得a=6. ∵∠C=90°，∠A=30°，c＝12cm， ∴ sinB===,解得a=6. 4.如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上点D处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°(参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2)． (1)若已知CD＝20米，求建筑物BC的高度； (2)若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度． 答案：解：(1)由题意得∠ACD＝90°，∠BDC＝45°， ∴BC＝CD·tan∠BDC＝20×1＝20(米)． 答：建筑物BC的高度为20米． (2)设CD＝x米，同(1)得BC＝CD＝x米，AC≈1.2x米． ∵AB＝5米， ∴x＋5＝1.2x，解得x＝25， ∴BC＝25米． 答：建筑物BC的高度约为25米． 学生活动2： 认真思考，独立完成习题 认真听讲 认真思考，独立完成习题 认真听讲 认真思考，独立完成习题 认真听讲 认真思考，独立完成习题 认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。 环节三：课堂总结 教师活动3： 解直角三角形 教师讲授： 1.在直角三角形中，任一锐角的三角函数值只与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关． 2.在直角三角形中，已知一条边和一个角，或已知两条边，就可以求出其他的边和角． 3.有些关于图形的实际问题，我们可以结合已知条件，恰当地构造出直角三角形，画出图形，将实际问题转化为解直角三角形的问题． 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 学生认真听讲 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，一架人字梯，若，梯子离地面的垂直距离为2米，与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 2.如图，是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3.如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为________米 选做题： 4.若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（　　） A． B． C． D． 5.如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（　　） A．点B到AO的距离为sin54° B．点B到AO的距离为tan36° C．点A到OC的距离为sin36°sin54° D．点A到OC的距离为cos36°sin54° 6.如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为 米． 【综合拓展类作业】 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠BCD＝45°，点E在BC上，且∠AEB＝60°，若AB＝2，AD＝1，求CD和CE的长．(结果保留根号) 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，BC=m，那么AB的长为（　　） A． B． C． D． 2.如图，某工程队沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝145°，且BD＝500米，∠D＝55°，为了使点A，C，E在一条直线上，那么开挖点E与D的距离是(　　) A．500sin55°米 B．500cos35°米 C．500cos55°米 D．500tan55°米 3.如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝10，tanB＝，则BC的长为 。 【综合拓展类作业】 张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角(即∠MAN＝30°)，在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得大树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内)，求这棵大树CD的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732) 教学反思 在复习过程中，可以采用多种教学方法，如讲授法、讨论法、练习法等。通过讲授法帮助学生巩固基础知识，通过讨论法激发学生的学习兴趣和参与度，通过练习法提高学生的解题能力和应用能力。同时，要注重引导学生进行自主学习和合作学习，培养他们的自主学习能力和团队协作能力。同时，在教学过程中，要注重对学生的学习情况进行评估。可以通过课堂提问、随堂练习、课后作业等方式了解学生的学习情况，及时发现问题并进行有针对性地辅导。最后，也要注重培养学生的自我评价和互评能力，让他们学会反思自己的学习过程和学习成果。 锐角三角函数 锐角的正弦、余弦、正切的定义 特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值 已知锐角求三角函数值或已知三角函数值求对应的锐角 学科网（北京）股份有限公司 $$