精品解析：云南省长水教育集团2024-2025学年高二上学期10月质量检测数学试题

长水教育集团2024～2025学年第一学期质量检测（10月） 高二年级数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式不等式求解，再求解并集即可. 【详解】由题可知，， 因为，所以. 故选：D. 2. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数量积的定义先求出，再由投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以在上的投影向量为. 故选：D. 3. 已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（ ） A. 若，的斜率相等，则，平行 B. 若，则，的倾斜角相等 C. 若，的斜率乘积等于，则，垂直 D. 若，则，的斜率乘积等于 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线斜率相等可得平行，选项A正确；由两直线平行可得倾斜角相等，选项B正确；由两直线斜率之积等于可得两直线垂直，选项C正确；当两直线垂直时，其中一条直线斜率可能不存在，选项D错误. 【详解】根据两直线的位置关系可知若，斜率相等且不重合，则，平行，A正确. 由，可得，的倾斜角相等，B正确. 由，的斜率乘积等于，可得，垂直，C正确. 当与轴平行，与轴平行时，，但直线的斜率不存在，D错误. 故选：D. 4. 如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，连接交于，连接，取的中点，连接，得到四边形所求裁面，再利用平行的相似比得到为上靠近的三等分点即可． 【详解】 如图，延长交于点，连接交于， 连接，则四边形所求截面． 取的中点，连接. ∵， ∴是△APC的中位线， ∴为的中点． 又分别为的中点， ∴，则，即， ∴为上靠近的三等分点，故． 故选：B. 5. 如图，三棱柱所有棱长均为2，，侧面与底面垂直，，分别是线段，的中点，若点为棱上靠近的三等分点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由面面垂直的性质定理证得平面，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求解即可. 【详解】连接，因为，， 所以为正三角形，所以， 又侧面与底面垂直，平面，侧面底面， 所以平面，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 点为棱上靠近的三等分点，故， 可得，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，可得， 所以点到平面的距离为. 故选：B. 6. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】讨论直线是否过原点，再设直线的斜截式求解即可. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为，因为点在直线上， 所以，解得，所以直线方程为， 故所求直线方程为或. 故选：D. 7. 已知平面，平面，，BD与平面所成的角为30°，，，则点C与点D之间的距离为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积以及结合向量求距离的方法即可求解. 【详解】 如图，因为平面，，平面，所以，所以, 作，垂足为，连接， 则或， 易知, 若,则， 若,则, 故选：C. 8. 已知定义在上的函数满足：对任意实数，均有，则下列结论中，错误的是（ ） A. 存在使且 B. 可能为常数函数 C. 若，则 D. 若，且时，，则解集为 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，运用反证法思路，假设存在，对，赋值推翻假设；对于B，由A结论，设，推出此时必有即得常数函数；对于C，赋值，易得；对于D，先由条件推导函数为R上增函数，再由赋值得替代题设不等式，将其转化为，求得或，最后利用函数的单调性即可求得. 【详解】对于A，假设存在使且，则必有, 而对任意的，若取， 则， 显然产生矛盾，故假设不成立，即A错误； 对于B，由A可得恒成立，若存在使， 则， 此时， ，故 B正确； 对于C，令，则有， 因，故得，即，故C正确； 对于D，由展开整理得，， 任取，，则， 依题意，， 又由上分析，因知函数不是常数函数，则必有恒成立， 于是由， 则得 ，即为R上的增函数. 因，则， 即得， 于是等价于， 设，则得，解得或， 即得或， 又，由C项知，，因为R上的增函数，可得或， 即不等式解集为,故D正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解题关键是赋值法，利用题设隐含信息为突破口，如由“可能为常数函数”推得后续选项中的“恒成立”，由“时，”推导出函数的单调性，以及利用赋值替换后求解抽象不等式，都有一定的技巧性. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个选项中说法正确的是（ ） A. 若直线：，则直线的倾斜角为60° B. 直线与直线互相平行，则 C. 过两点（，）的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】由倾斜角的概念，直线平行的判定，两点式方程的结构及直线方程的截距式逐个判断即可. 【详解】对于A：对于A选项，直线：的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则，则，故，故A错误； 对于B：因为直线与直线互相平行， 则，解得或， 当时直线与直线重合，故舍去， 当时直线与直线平行，符合题意，综上可得，故B正确； 对于C：过两点（，）的所有直线的方程为，故C正确； 对于D：当截距都为0时直线方程为，当截距都不为0时， 设直线方程为（），则，解得，所以直线方程为， 综上可得满足条件的直线方程为或， 故D错误. 故选：BC. 10. 已知构成空间的一个基底，则下列向量构成基底是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABC 【解析】 【分析】由基底的概念逐个判断即可. 【详解】A选项：设， 则有， 所以显然该方程无解， 故可与，构成基底，故A正确； B选项：设，则，此方程组无解， 即，，构成基底，故B正确； C选项：设，则，此方程组无解， 即，，构成基底，故C正确； D选项：设，则， 则，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：ABC. 11. 如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，若，则 C. 当时，直线与直线所成角的大小为 D. 当时，三棱锥的体积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直棱柱的性质，以及空间向量的有关知识逐项计算可得结论. 【详解】对于A，当时，分别是线段和线段的中点， 所以也是的中点，所以，故A正确； 对于B，当时，， 所以，，，满足，故B正确； 对于C，过作交于， 可知面，与直线成角即为， 当时，，在中， 则， 所以，所以，故C错误； 对于D，易知是正三角形， 三棱锥体积为 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，分析得是正三角形，从而得到所需各线段长，从而利用三棱锥的体积公式即可得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，则线段的垂直平分线的直线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由斜率公式及点斜式方程即可求解. 【详解】易知的中点坐标为，且， 所以线段的垂直平分线的斜率为，可得所求直线方程为. 即. 故答案为：. 13. 如图所示，在平行六面体中，，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用基底表示向量、，然后利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】在平行六面体中，，，， 由空间向量数量积定义可得， ，同理可得， 因为，， 所以，. 故答案为：. 14. 在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______；与平面所成角的正切值为_______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】分别取的中点，连接，易证平面平面，由题意知点必在线段上，由此可判断点在或处时最长，位于线段中点处最短，通过解直角三角形即可求得线段长度的取值范围，利用线面角的定义可求出与平面所成角的正切值. 【详解】分别取的中点，连接，， 因为分别为，的中点， 所以∥，∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 因为P是侧面内一点，且平面， 所以点必在线段上， 在中，， 在中，， 所以为等腰三角形， 当点为的中点时，，此时最短， 当点在或处时最长， 因为，所以， 因为，， 所以线段长度的取值范围是， 设到平面的距离为，与平面所成角为， 因为，所以由可得， 所以，所以. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：此题考查线面角的求法，考查线面平行的性质，解题的关键是面面平行的判断和线面平行的关系得到点必在线段上，考查空间想象能力，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，． （1）求直线AB和AC的斜率； （2）若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】（1）直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3 （2） 【解析】 【分析】（1）由斜率公式直接求解； （2）由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【小问1详解】 由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3． 【小问2详解】 当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是. 16. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． （1）求所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. 【小问1详解】 因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， 【小问2详解】 因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面，平面平面． （1）求证：平面； （2）设E为PD的中点，，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：在平面内过点作于，由平面平面，平面平面， 得平面，而平面，则，由平面， 平面，得，又平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）在平面内过点作于，利用面面垂直的性质、线面垂直性质判定推理即得. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得，由（1）知平面，则平面， 则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立坐标系， 令，则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 设二面角的大小为，则， 所以二面角的正弦值为. 18. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案； （2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【小问1详解】 甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. 【小问2详解】 乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . 【小问3详解】 丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： . 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”． （1）函数①；②；③，其中函数　　是在上的“美好函数”；（填序号） （2）已知函数． ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值； （3）已知函数，若函数是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值． 【答案】（1）① （2）①或；②或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“美好函数”的定义逐个分析判断即可； （2）①分和两种情况求出二次函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；②求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值； （3）由二次函数的性质可知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出. 【小问1详解】 对于①， 当时，，当时，， ∴，符合题意； 对于②， 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 对于③， 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 故答案为：①； 【小问2详解】 ①二次函数对称轴为直线， 当时，，当时，， 当时，则当时，随的增大而增大， ， ， 当时，则当时，随的增大而减小， ， ， 综上所述，或； ②二次函数为，对称轴为直线， 当，， 当时，， 当时，． 若，则，解得（舍去）； 若，则，解得（舍去），； 若，则，解得，（舍去）； 若，则，解得（舍去）． 综上所述，或； 【小问3详解】 由（2）可知，二次函数对称轴为直线， 又， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时取得最大值，时取得最小值， ∴ ，为整数，且， ，即的值为5， 又∵， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长水教育集团2024～2025学年第一学期质量检测（10月） 高二年级数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（ ） A. 若，的斜率相等，则，平行 B. 若，则，的倾斜角相等 C. 若，的斜率乘积等于，则，垂直 D. 若，则，的斜率乘积等于 4. 如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图，三棱柱所有棱长均为2，，侧面与底面垂直，，分别是线段，的中点，若点为棱上靠近的三等分点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知平面，平面，，BD与平面所成的角为30°，，，则点C与点D之间的距离为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知定义在上的函数满足：对任意实数，均有，则下列结论中，错误的是（ ） A. 存在使且 B. 可能为常数函数 C. 若，则 D. 若，且时，，则解集为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个选项中说法正确的是（ ） A. 若直线：，则直线的倾斜角为60° B. 直线与直线互相平行，则 C. 过两点（，）的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 10. 已知构成空间的一个基底，则下列向量构成基底是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 11. 如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，若，则 C. 当时，直线与直线所成角的大小为 D. 当时，三棱锥的体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，则线段的垂直平分线的直线方程为______. 13. 如图所示，在平行六面体中，，，，则______. 14. 在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______；与平面所成角的正切值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，． （1）求直线AB和AC的斜率； （2）若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 16. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． （1）求所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面，平面平面． （1）求证：平面； （2）设E为PD的中点，，求二面角的正弦值． 18. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. （1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”． （1）函数①；②；③，其中函数　　是在上的“美好函数”；（填序号） （2）已知函数． ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值； （3）已知函数，若函数是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $