三角形综合专题突破练-2025年中考数学复习卷 (1)

三角形综合专题突破练-2025年中考数学复习卷 一．选择题（共8小题） 1．（2024•城中区校级模拟）下列各组数中，能够组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，2，4 D．4，4，2 2．（2024•凤城市二模）2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与150多个国家、30多个国际组织签署了230多份合约，携手实现经济共同发展．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 3．（2024•泾川县校级模拟）如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 4．（2024•红桥区三模）如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E．若AC＝5，△AEC的周长为17，则BC的长为（　　） A．7 B．10 C．12 D．17 5．（2024•灵山县一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝6，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则BC的长度是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 6．（2024•西和县二模）如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝（　　） A．50° B．58° C．60° D．62° 7．（2024•宁波一模）如图，在三角形ABC中，过点B，A作BD⊥AC，AE⊥BC，BD，AE交于点F，若∠BAC＝45°，AD＝5，CD＝2，则线段BF的长度为（　　） A．2 B． C．3 D． 8．（2024•兴宁区校级模拟）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E是线段AD的中点，若S△ABC＝12，则阴影部分的面积为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 二．填空题（共6小题） 9．（2024•盐都区校级二模）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为 　 　． 10．（2024•寻乌县一模）如图，在△ABC中，∠A＝76°，D为AC边上一点．若BD将△ABC分成了两个等腰三角形，则∠C的度数为 　 　． 11．（2024•朝阳区校级模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 　 　尺． 12．（2024•西城区二模）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E．若BE＝3，△BDE的面积为1.5，则点D到边AB的距离为 　 　． 13．（2024•碑林区校级一模）如图，线段AB＝6，点C在AB上，且AC＝4．以C为顶点作等边三角形CPQ，连接AP、BQ．当AP+BQ最小时，△CPQ的边长最小是 　 　． 14．（2024•新疆模拟）如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”字形通道．如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，那么∠A的度数是 　 　． 三．解答题（共6小题） 15．（2024•新吴区二模）如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC． （1）求证：△ABE≌△DCE； （2）当∠AEB＝70°时，求∠EBC的度数． 16．（2024•北京模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE． （1）求证：CG＝EG． （2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积． 17．（2024•金昌三模）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．求证：BC＝DE． 18．（2024•东港区校级一模）【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，在AD的右侧作等腰直角△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE，则∠ABC和∠ACE的数量关系为 　 　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点D是BC边上任意一点（不与点B，C重合），在AD的右侧作等腰△ADE，使AD＝DE，∠ABC＝∠ADE，连接CE，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若AB＝BC＝6，AC＝4，点D是射线BC上任意一点，请直接写出当CD＝3时CE的长． 19．（2024•吉林四模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将一块直角三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，且使DE始终与AB垂直． 【感知】如图 ①，若点上与点C重合，则DE的长为 　 　； 【探究】如图 ②，若移动点D，使EF∥AB，求AD的长； 【拓展】如图 ③，延长BC交直角三角板的最短边所在的直线于点G，连接EG，若BC＝2GG，则EG+AE的最小值为 　 　． 20．（2024•常德模拟）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．F为BC的中点，点D在线段BF上．以点A为中心，将线段AD逆时针旋转α得到线段AE，连接CE，DE． （1）求证：AC平分∠ECB； （2）如图2，G为DE的中点，连接FG．试判断FG与AC的位置关系，并说明理由； （3）如图3，若α＝60°，AB＝，连接BE，试说明△ABE的面积是一个定值，并求出该定值． 三角形综合专题突破练-2025年中考数学复习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•城中区校级模拟）下列各组数中，能够组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，2，4 D．4，4，2 【解答】解：A、1+2＝3，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； B、1+2＜4，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； C、2+2＝4，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； D、2+4＞4，能够组成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（2024•凤城市二模）2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与150多个国家、30多个国际组织签署了230多份合约，携手实现经济共同发展．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【解答】解：到北京、莫斯科距离相等的点在北京和莫斯科两地连线的垂直平分线上， 到北京、雅典距离相等的点在北京和雅典两地连线的垂直平分线上， 则中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点， 故选：A． 3．（2024•泾川县校级模拟）如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠C＝60°， ∵AD是等边三角形ABC的中线， ∴∠CAD＝∠BAC＝30°，AD⊥BC， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°， ∴∠ADE＝75°， ∴∠EDC＝15°， 故选：A． 4．（2024•红桥区三模）如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E．若AC＝5，△AEC的周长为17，则BC的长为（　　） A．7 B．10 C．12 D．17 【解答】解：由题意可得MN是线段AB的垂直平分线， 则AE＝BE， ∵△AEC的周长为17， ∴AC+AE+CE＝17， ∵AC＝5， ∴AE+CE＝17﹣5＝12， ∵AE＝BE， ∴BE+CE＝17﹣5＝12， 即BC＝12， 故选：C． 5．（2024•灵山县一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝6，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF．若∠AFC＝90°，则BC的长度是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【解答】解：∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点， ∴EF＝AC＝3， ∵EF＝3DF， ∴DF＝1， ∴DE＝DF+EF＝4， ∵D、E分别是AB，AC的中点， ∴BC＝2DE＝8， 故选：B． 6．（2024•西和县二模）如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝（　　） A．50° B．58° C．60° D．62° 【解答】解：因为BD是∠ABC的角平分线， ∴， 由AD⊥BD，得∠ADB＝90°， 在△ABD中，， 因为在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°， 把∠DAC＝20°，∠C＝38°代入， 得， 那么∠ABC＝64°， 所以， 故选：B． 7．（2024•宁波一模）如图，在三角形ABC中，过点B，A作BD⊥AC，AE⊥BC，BD，AE交于点F，若∠BAC＝45°，AD＝5，CD＝2，则线段BF的长度为（　　） A．2 B． C．3 D． 【解答】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∵∠BAC＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AD＝BD， ∵∠FAD+∠AFD＝90°，∠DBC+∠BFE＝90°，∠AFD＝∠BFE， ∴∠FAD＝∠DBC， 在△ADF与△BDC中， ， ∴△ADF≌△BDC（ASA）， ∴DF＝CD， ∴BF＝BD﹣DF＝AD﹣CD＝5﹣2＝3， 故选：C． 8．（2024•兴宁区校级模拟）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E是线段AD的中点，若S△ABC＝12，则阴影部分的面积为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【解答】解：∵点E是AD的中点， ∴S△BDE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC， ∴S△BDE+S△ACE＝S△ABC＝×12＝6， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．（2024•盐都区校级二模）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为 　105°　． 【解答】解：如图所示： ∵∠2＝∠3+∠4，∠3＝45°，∠4＝30°， ∴∠2＝75°， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝105°． 故答案为：105°． 10．（2024•寻乌县一模）如图，在△ABC中，∠A＝76°，D为AC边上一点．若BD将△ABC分成了两个等腰三角形，则∠C的度数为 　38°或26°或14°　． 【解答】解：由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形， 对于△ABD可能有①AB＝BD，此时∠ADB＝∠A＝76°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣76°＝104°， ∴∠C＝（180°﹣104°）＝38°， ②AB＝AD，此时∠ADB＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣76°）＝52°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣52°＝128°， ∴∠C＝×（180°﹣128°）＝26°， ③AD＝BD，此时，∠ADB＝180°﹣2×76°＝28°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣28°＝152°， ∴∠C＝×（180°﹣152°）＝14°， 综上所述，∠C度数可以为38°或26°或14°． 故答案为：38°或26°或14°． 11．（2024•朝阳区校级模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 　4.55　尺． 【解答】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得： x2+32＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.55， 答：折断处离地面4.55尺． 故答案为：4.55． 12．（2024•西城区二模）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E．若BE＝3，△BDE的面积为1.5，则点D到边AB的距离为 　1　． 【解答】解：过点D作DF⊥AB，交AB的延长线于点F， ∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E， ∴DE＝DF， ∵BE＝3，△BDE的面积为1.5， ∴＝1.5， 解得DE＝1， ∴DF＝DE＝1． 故答案为：1． 13．（2024•碑林区校级一模）如图，线段AB＝6，点C在AB上，且AC＝4．以C为顶点作等边三角形CPQ，连接AP、BQ．当AP+BQ最小时，△CPQ的边长最小是 　　． 【解答】解：以AC为边作等边△ACD，连接DQ，如图： ∵△ACD和△CPQ都是等边三角形， ∴∠ACD＝∠PCQ＝60°，AC＝CD，CP＝CQ， ∵∠ACD+∠DCP＝∠PCQ+∠DCP， ∴∠ACP＝∠DCQ， ∵在△ACP与△DCQ中， ∴△ACP≌△DCQ（SAS）， ∴DQ＝AP， ∴AP+BQ＝DQ+BQ， ∴当D，Q，B三点共线是BD最短，即AP+BQ最小， 作DE⊥AB交AB于点E， ∵AC＝4，∠ADE＝30°， ∴AD＝4，AE＝EC＝2，DE＝2， ∴BE＝EC+BC＝4， ∴BD＝＝2， ∵Q在BD上运动， ∴当CQ⊥BD时，△CPQ的边长最小， ∵S△BCD＝BC•DE＝BD•CQ， ∴CQ＝＝＝， 故答案为：． 14．（2024•新疆模拟）如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”字形通道．如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，那么∠A的度数是 　75°　． 【解答】解：∵∠DBA＝120°，∠ECA＝135°， ∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∠ACB＝180°﹣135°＝45°， ∴∠A＝180°﹣60°﹣45°＝75°， 故答案为：75°． 三．解答题（共6小题） 15．（2024•新吴区二模）如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC． （1）求证：△ABE≌△DCE； （2）当∠AEB＝70°时，求∠EBC的度数． 【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（AAS）； （2）∵△ABE≌△DCE， ∴BE＝CE， 又∵∠AEB＝70°， ∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝180°﹣70°＝110°， ∴∠EBC＝（180°﹣∠BEC）＝（180°﹣110°）＝35°． 16．（2024•北京模拟）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE． （1）求证：CG＝EG． （2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积． 【解答】（1）证明：连接DE， 在Rt△ADB中，点E是AB的中点， ∴DE＝AB＝AE， ∵CD＝AE， ∴DE＝DC，又DG⊥CE， ∴CG＝EG． （2）解：作EF⊥BC于F， ∵BC＝13，CD＝5， ∴BD＝13﹣5＝8， ∵DE＝BE，EF⊥BC， ∴DF＝BF＝4， ∴EF＝＝＝3， ∴△EDC的面积＝×CD×EF＝×5×3＝7.5． 17．（2024•金昌三模）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上．求证：BC＝DE． 【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴BC＝DE． 18．（2024•东港区校级一模）【问题发现】 （1）如图1，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，在AD的右侧作等腰直角△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE，则∠ABC和∠ACE的数量关系为 　相等　； 【拓展延伸】 （2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点D是BC边上任意一点（不与点B，C重合），在AD的右侧作等腰△ADE，使AD＝DE，∠ABC＝∠ADE，连接CE，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； 【归纳应用】 （3）在（2）的条件下，若AB＝BC＝6，AC＝4，点D是射线BC上任意一点，请直接写出当CD＝3时CE的长． 【解答】解：（1）相等，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACE， 故答案为：相等； （2）成立， 理由：∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC）， ∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）， ∵∠ABC＝∠ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE， ∴， ∴△ABD∽△ACE， ∴∠ABC＝∠ACE； （3）如图2，∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC）， ∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）， ∵∠ABC＝∠ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE， ∴， ∴△ABD∽△ACE， ∴＝， ∵AB＝BC＝6，AC＝4，CD＝3， ∴＝， ∴CE＝2． 如图3，∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC）， ∵AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）， ∵∠ABC＝∠ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE， ∴， ∴△ABD∽△ACE， ∴＝， ∵AB＝BC＝6，AC＝4，CD＝3， ∴＝， ∴CE＝6． 综上所述，CE为2或6． 19．（2024•吉林四模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将一块直角三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，且使DE始终与AB垂直． 【感知】如图 ①，若点上与点C重合，则DE的长为 　　； 【探究】如图 ②，若移动点D，使EF∥AB，求AD的长； 【拓展】如图 ③，延长BC交直角三角板的最短边所在的直线于点G，连接EG，若BC＝2GG，则EG+AE的最小值为 　　． 【解答】【感知】在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2， ∴AB＝2BC＝4； ∵ED⊥AB，∠EDC＝30°， ∴∠CDB＝60°， ∴∠A＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠B＝60°， ∴△BDC是等边三角形； ∴BD＝BC＝2， ∴AD＝AB﹣BD＝2， 设DE＝x，则AE＝2x，由勾股定理得：AE2﹣DE2＝AD2， 即 （2x）2﹣x2＝22， 解得：x＝， ∴DE＝， 故答案为：； 【探究】∵ED⊥AB，∠EDF＝30° ∴∠FDB＝60°，∠A＝30°，∠ACB＝90°， ∴∠B＝60° ∴△BDF是等边三角形， ∴DF＝BF＝BD． ∵EF∥AB， ∴∠CEF＝∠A＝30°，∠FED＝∠EDA＝90°， ∴ ∴BF＝4CF， ∴ ∴； 【拓展】∵DE⊥AB， ∴∠ADE＝90° 在Rt△ADE中，∠A＝30° ∴DE＝AE ∴EG+AE＝EG+DE， 由垂线段最短可知，当D、E、G三点共线，DG⊥GM时， DE+EG最小为DG的长， 如图③所示，D、E、G三点共线，DG⊥GM时， ∵BC＝2CG，BC＝2， ∴CG＝1， ∴BG＝BC+CG＝3， ∵∠B＝90°﹣∠A＝30° ∴BD＝BG＝， ∴DG＝＝＝， 故答案为：． 20．（2024•常德模拟）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α．F为BC的中点，点D在线段BF上．以点A为中心，将线段AD逆时针旋转α得到线段AE，连接CE，DE． （1）求证：AC平分∠ECB； （2）如图2，G为DE的中点，连接FG．试判断FG与AC的位置关系，并说明理由； （3）如图3，若α＝60°，AB＝，连接BE，试说明△ABE的面积是一个定值，并求出该定值． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝α， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE． ∵AB＝AC， ∴∠ABD＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠ACE， ∴AC平分∠ECB； （2）解：FG⊥AC． 证明如下：如图，作EM⊥AC，分别交AC，BC于点H，M． 由（1）知∠ACE＝∠ACB． 在△CEH和△CMH中， ， ∴△CEH≌△CMH（ASA）， ∴CE＝CM． 又∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE， ∴BD＝CM． ∵点F为BC的中点， ∴BF＝CF， ∴DF＝FM． ∵点F为DM的中点，点G为DE的中点， ∴FG∥EM， ∴FG⊥AC； （3）解：∵AB＝AC，α＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°， 由（1）可知△ABD≌△ACE， ∴∠ACE＝∠ABD＝∠BAC＝60°， ∴CE∥AB， ∴， ∴△ABE 的面积是一个定值．该定值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$