精品解析：河南省信阳市2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

2024-2025学年普通高中高二上学期期中教学质量检测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分｡考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效｡考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回｡ 注意事项： 1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置｡ 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚｡ 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效｡ 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损｡ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量，，若， 则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412 451 312 533 224 344 151 254 424 142 435 414 335 132 123 233 314 232 353 442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.45 C. 0.55 D. 0.6 4. 口袋中装有质地和大小相同的6个小球，小球上面分别标有数字1，1，2，2，3，3，从中任取两个小球，则两个小球上的数字之和大于4的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 曲线的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 某大学选拔新生进“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.假设某新生通过考核选拔进入“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团的概率依次为，m，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 长方体 中，与平面所成的角为，与所成的角为，则下列关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆C：，P为直线l：上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 “第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ） A. 与不互斥且相互独立 B. 与互斥且不相互独立 C. 与互斥且不相互独立 D. 与不互斥且相互独立 10. 已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的长为 C. 直线过定点 D. 的最小值是． 11. 在三棱锥中，平面，平面内动点的轨迹是集合.已知且在棱所在直线上，，则（ ） A. 动点的轨迹是圆 B. 平面平面 C. 三棱锥体积的最大值为3 D. 三棱锥外接球的半径不是定值 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为____________ 13. 已知事件A与事件B相互独立，若，，则__________. 14. 若直线与圆只有一个公共点，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上，且与y轴相切于点． （1）求圆C的方程； （2）若圆C直线交于A，B两点，_____，求m的值． 从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：； 条件②：． 16. 某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计：甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别是，，.若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： （1）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ （2）出现几人合格的概率最大？ 17. 如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，的中点分别为，且. （1）证明：平面平面. （2）若为的中点，求点到平面的距离. 18. 在梯形ABCD中，，，F为AB中点，，，，如图，以EF为轴将平面ADEF折起，使得平面平面BCEF. （1）若M为EC的中点，证明：∥平面ABC； （2）证明：平面平面BCD； （3）若N是线段DC上一动点，平面BNE与平面ABF夹角的余弦值为，求DN的长. 19. 在平面直角坐标系中， 圆为 的内切圆.其中. （1）求圆的方程及 点坐标； （2）在直线 上是否存在异于的定点使得对圆上任意一点，都有为常数 )？若存在，求出点 的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年普通高中高二上学期期中教学质量检测 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分｡考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效｡考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回｡ 注意事项： 1.答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置｡ 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚｡ 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效｡ 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损｡ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量，，若， 则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，且， 故，解得. 故选：B. 2. 已知，，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，或，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线l的斜率为，直线l的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线l经过点，且与线段没有公共点， 所以，或， 即或， 因为，所以， 故直线l的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 3. 已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412 451 312 533 224 344 151 254 424 142 435 414 335 132 123 233 314 232 353 442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.45 C. 0.55 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有： 533 224 344 254 424 435 335 233 232 353 442共11组， 因此，所求概率为. 故选：C. 4. 口袋中装有质地和大小相同的6个小球，小球上面分别标有数字1，1，2，2，3，3，从中任取两个小球，则两个小球上的数字之和大于4的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】记两个标有数字的小球分别为、，两个标有数字的小球分别为、， 两个标有数字的小球分别为、， 从中任取两个小球可能结果有，，，，，，，， ，，，，，，共种情况， 其中满足两个小球上的数字之和大于的有，，，，共种情况， 所以两个小球上的数字之和大于的概率. 故选：A 5. 曲线的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对方程进行化简，得到，进而可知或，其表示的是两个同心圆,进而可求其周长. 【详解】由， 得， 即， 即或， 所以曲线C表示两个同心圆，且这两个圆的半径分别为， 所以曲线C的周长为． 故选：C. 6. 某大学选拔新生进“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.假设某新生通过考核选拔进入“篮球”“舞蹈”“美术”三个社团的概率依次为，m，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件的概率计算公式列方程，求解即可. 【详解】因为新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立， 所以由题意得，解得. 故选：A. 7. 长方体 中，与平面所成的角为，与所成的角为，则下列关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面角以及线线角的定义可得，即可由锐角三角函数表示结合三角函数的单调性即可求解. 【详解】由于平面，故, 故 由于的大小不确定，所以无法确定的大小，故的大小不确定，A错误， 由于, 故， 由于均为锐角，所以也是锐角，故，即. 故选：D 8. 已知圆C：，P为直线l：上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形分析四边形面积的表达式，找出面积最小时图形满足的几何条件，再求出此时四边形面积即可. 【详解】如图所示， 由， 得圆C的圆心，半径. 因为， 所以四边形PACB的面积. 所以当最小时，S也最小，此时，. 则PC斜率为1，故PC的方程为，即. 联立，解得，， 即. 由于过圆外一点作圆的两条切线， 切点弦方程为， 所以直线AB的方程为， 化简得. 故答案选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 “第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ） A. 与不互斥且相互独立 B. 与互斥且不相互独立 C. 与互斥且不相互独立 D. 与不互斥且相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可. 【详解】对于A：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即与相互独立； 第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥；故A正确； 对于B：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立； 第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即与不能同时发生，即与互斥，故B正确； 对于C：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立； 若第一次的点数为5，第二次的点数4点，则两次点数之和为9，即与可以同时发生，即与不互斥，故C错误； 对于D：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，即与相互独立； 若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即与不互斥，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知圆：与圆相交于，两点，直线，点为直线上一动点，过作圆的切线，，（，为切点），则说法正确的是（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的长为 C. 直线过定点 D. 的最小值是． 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两圆方程相减即可得到公共弦所在直线方程来判断选项A；联立两圆方程，求出公共点坐标，即可求出线段的长，判断选项B；设，可得直线方程和直线的方程，用点坐标表示出直线的方程，即可求出定点坐标判断选项C；当最小时，最小，利用点到直线距离公式和勾股定理求解即可判断选项D. 【详解】由题知，联立， 两式相减得， 即直线的方程为，A错； 联立， 解得或， 所以，B正确； 对于C，设， 因为，为圆的切点， 所以直线方程为， 直线的方程为， 又设， 所以， 故直线的方程为， 又因为， 所以， 由得， 即直线过定点，C正确； 因为， 所以当最小时，最小， 且最小为， 所以此时，D正确. 故选：BCD 11. 在三棱锥中，平面，平面内动点的轨迹是集合.已知且在棱所在直线上，，则（ ） A. 动点的轨迹是圆 B. 平面平面 C. 三棱锥体积的最大值为3 D. 三棱锥外接球的半径不是定值 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先底面建坐标系，利用轨迹法求得点的轨迹，点也在轨迹圆上，再根据几何关系，以及体积公式，外接球的半径问题，利用数形结合，即可求解. 【详解】A.因为，所以在平面内，以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 设，，， 由知，，化简为，即点的轨迹为圆，故A正确； B. 根据以上证明可知，点和在圆与轴的两个交点，如上图，由条件可知，点在圆上， 则，而平面，平面,所以， 所以是二面角的平面角，则平面平面，故B正确； C.当点到的距离为2时，此时的面积最大，此时最大面积是, 则三棱锥体积的最大值为，故C正确； D.由以上证明可知，，且，如图， 取的中点，作平面，且， 所以， 所以三棱锥外接球的半径是定值，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，并在底面建立坐标系，求点的轨迹，后面的选项就会迎刃而解. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为____________ 【答案】 【解析】 【分析】先设，然后把向量，，分别用向量，，，表示，再把向量用向量，，表示出，对照已知的系数相等即可求解． 【详解】解：因为空间，，，四点共面，但任意三点不共线， 则可设， 又点在平面外，则 ， 即， 则， 又， 所以，解得，. 故答案为：． 13. 已知事件A与事件B相互独立，若，，则__________. 【答案】0.28## 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为事件A与事件B相互独立， 所以事件与事件B相互独立. 因为，， 所以. 所以. 故答案为：0.28 14. 若直线与圆只有一个公共点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意直线与圆相切，利用点到直线距离公式列方程，求解即可. 【详解】由题意，圆的半径，圆心到直线的距离为. 因为直线与圆只有一个公共点，所以，即， 解得，则，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆的圆心在直线上，且与y轴相切于点． （1）求圆C的方程； （2）若圆C直线交于A，B两点，_____，求m的值． 从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：； 条件②：． 【答案】（1） （2）选择条件①②，均有或 【解析】 【分析】（1）设圆心，易知，由圆与轴相切于点，可求以及，写出圆的方程即可. （2）所给的两个条件，均可得到直线的距离，结合点线距离公式即可求的值. 【小问1详解】 设圆心坐标为，半径为. 由圆的圆心在直线上，知：. 又∵圆与轴相切于点， ∴，，则. ∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为. 【小问2详解】 如果选择条件①：，而， ∴圆心到直线的距离，则，解得或. 如果选择条件②：，而， ∴圆心到直线的距离，则，解得或. 16. 某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计：甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别是，，.若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： （1）三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ （2）出现几人合格的概率最大？ 【答案】（1）； （2）出现2人合格的概率最大. 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式，结合对立事件的概率求解即得. （2）求出两人合格的概率，再利用对立事件的概率公式求出一人合格的概率，比较大小即得. 【小问1详解】 设甲、乙、丙三人100m跑合格分别为事件，，，显然，，相互独立， 且，，，设恰有人合格的概率为， 则， . 【小问2详解】 ，， 而，所以出现2人合格的概率最大. 17. 如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，的中点分别为，且. （1）证明：平面平面. （2）若为的中点，求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为为等边三角形，分别是的中点， 且，所以， 所以. 又，所以，即. 因为，，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面. （2）利用等体积法求得点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由于为等边三角形，是的中点，所以， 又由（1）可知平面平面，且交线为，平面， 所以平面. 因为为的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 在直角中，可知， 在直角中，可知， 因为是的中位线，所以， 的面积， 设点到平面的距离为，则三棱锥的体积. 又的面积，点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积. 由，得，即点到平面的距离为. 18. 在梯形ABCD中，，，F为AB中点，，，，如图，以EF为轴将平面ADEF折起，使得平面平面BCEF. （1）若M为EC的中点，证明：∥平面ABC； （2）证明：平面平面BCD； （3）若N是线段DC上一动点，平面BNE与平面ABF夹角的余弦值为，求DN的长. 【答案】（1）证明：由，，得，. 因为M为EC的中点，F为AB中点，，所以，且. 所以四边形BCMF为平行四边形，所以. 又平面ABC，平面ABC，所以∥平面ABC. （2）证明：因为平面平面BCEF，平面平面，，所以平面BCEF. 又平面BCEF，所以. 由，，，得. 又，所以平面DEB. 又平面BCD， 所以平面平面BCD. （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形BCMF为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先根据平面平面BCEF得平面BCEF，得，再利用勾股定理的逆定理得，进而平面DEB，故平面平面BCD； （3）建立空间直角坐标系，求出平面BNE与平面ABF的法向量，利用面面角的向量坐标公式列方程，求解点的坐标，进而得DN的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2），得EF，EC，ED两两垂直，则可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则. 设（），则. 设平面BNE的法向量为. 由， 令，得. 易知平面ABF的法向量为. 所以， 解得，此时， 所以，即DN的长为. 19. 在平面直角坐标系中， 圆为 的内切圆.其中. （1）求圆的方程及 点坐标； （2）在直线 上是否存在异于的定点使得对圆上任意一点，都有为常数 )？若存在，求出点 的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）圆的圆心为，利用点到直线距离公式，求得半径，得到圆的方程，再由线段、线段均与圆相切，得到点； （2）假设存在为常数 )，设，几何关系坐标化，转化成恒成立问题，进而得到或，分别代入并进行检验，得到定点. 【详解】（1）由知直线的方程为， 由于圆与线段相切，所以半径即圆的方程为. 由题意与线段相切，所以线段的方程为，即. 又与线段也相切，所以线段的方程为，即. 故 （2）设，则，， 若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点， 都有为常数 )，等价于， 对圆上任意点恒成立. 即 整理得： 因为点在直线上，所以，由于在圆上，所以. 故对任意恒成立， 所以显然，所以故， 因为，解得：或； 当时，此时重合，舍去. 当时， 综上，存在满足条件的定点，此时. 【点睛】本题考查圆的方程、点到直线距离公式、直线与圆的位置关系等知识，考查逻辑推理能力和运算求解能力，特别是坐标法思想的灵活运用，即把几何问题转化为代数问题中的恒成立问题，从而得到方程组是解决本题的难点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $