5.5 一元一次方程的应用 教案 2024—2025学年浙教版七年级数学上册

5.5 一元一次方程的应用教学设计 课题 5.5 一元一次方程的应用 单元 第五单元 学科 数学 年级 七年级（上） 教材分析 在一元一次方程的教材中，调配与行程问题具有重要地位。调配问题能培养学生的资源分配思维，行程问题则有助于理解速度、时间和路程的关系。调配问题通过实际情境，让学生学会设未知数，找等量关系。行程问题则常涉及相遇、追及等多种情况，需要学生清晰分析不同条件。这两类问题综合考查学生方程应用能力，为后续学习复杂数学问题奠定基础。 核心素养 能力培养 1. 建模能力：引导学生将调配与行程情境转化为方程模型，培养数学建模思维。 2. 逻辑推理：在解题过程中，依据条件推理方程关系，锻炼逻辑分析能力。 3. 实际应用：通过解决实际问题，提高运用方程知识解决生活中调配与行程问题的能力。 教学目标 1.学生能够熟练运用一元一次方程解决调配问题，理解调配中数量关系的变化。 2.掌握行程问题中速度、时间、路程的关系，能用方程准确求解相关问题。 3.培养学生分析实际问题、建立方程模型的能力，提高逻辑思维和解决问题的能力。 教学重点 掌握调配与行程问题中的数量关系，列出方程。 教学难点 理清复杂情境中的等量关系，准确求解。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新知导入 教师出示问题： 复习回顾： 一种小麦磨成面粉后，质量将减少15%。要得到5100千克面粉，需要多少千克小麦？ 【解析】 设要得到5100千克面粉,需要x千克小麦,由题意可列方程x(1-15%)=5100，解得x=6000. 答：要得到5100kg面粉需要6000kg小麦。 创设情境、导入新课 一项任务，甲车间单独做需要12天完成，乙车间单独做需要15天完成。两车间合作4天后，由乙车间单独完成。思考：乙车间单独做了几天？ 复习回顾之前学习第五章的一元一次方程的解法内容。 先自主探究，再小组合作，分析。 巩固学习一元一次方程实际应用各种实际问题的相关解法。 从甲乙共同合作引出一元一次方程的实际应用劳力调配和行程问题。 新知探究 探究一：引入概念 某家具厂生产一种方桌，1立方米的木材可做50个桌面或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿刚好配套，共可生产多少张方桌?(一张方桌有1个桌面，4条桌腿) 思考：调配问题应如何作解？ 设生产桌面的木材为x立方米，则生产桌腿的木材为10-x由题意得:50x=×300(10-x)，解方程得:x=6(立方米)，生产桌腿的木材是4立方米,6立方米的木材能够生产方桌为6×50=300(个) 答:用6立方米的木材生产桌面4立方米的木材生产桌腿，一共能够生产方桌300个. 劳力调配问题的关键： 劳力调配问题要搞清人数的变化，常见题型有 (1)既有调入又有调出； (2)只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； (3)只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。 行程问题的关键： 行程问题是反映物体匀速运动的应用题，涉及的变化较多，一个、两个或多个物体的运动，可分为“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。可以归纳为：速度×时间=路程。 行程问题： 相等关系:路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度； (1)直线形相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=两地之间的距离； (2)直线形追及问题:快者走的路程=慢者走的路程+两人初始距离差;快者所走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程。 (3)环形相遇问题:同起点、同时间、背向出发,首次相遇时,相等关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间为；第n次相遇时,二者合走了n圈。 (4)环形追及问题:同起点、同时间、同向出发,首次相遇时,相等关系:是快者比慢者多走1圈，追及所用时间为；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 其他行程问题中的相等关系。 (1)航行问题:顺水速度=静水速度水速;逆水速度=静水速度-水速。 (2)火车过桥问题: ①从车头刚上桥到车尾离开桥:过桥速度×过桥时间:桥长+车长; ②火车过桥全路程-桥长=车长。 探究二：例题讲解 教材第149页 ▶例5 A，B两地相距260千米，甲、乙两车分别从A，B两地出发，相向而行，甲车先出发1小时，乙车出发2小时后与甲车相遇。已知甲车每小时比乙车少行5千米，问：甲、乙两车的速度分别是多少？ 分析：可以用如下示意图来分析本题中的数量关系。 得如下的相等关系： 根据这一相等关系，设乙车的速度为xkm/h，可列出方程。 解：设乙车的速度为xkm/h，则甲车的速度为(x－5)km/h，由题意，得(x－5)＋2(x＋x－5)＝260。 解这个方程，得x＝55。 所以甲车的速度为55－5＝50（km/h）。 答：甲车的速度为50km/h，乙车的速度为55km/h。 ▶例6 学校组织植树活动，已知在甲地植树的有23人，在乙地植树的有17人。现调20人去支援，使在甲地植树的人数是乙地植树人数的2倍. 问：应调往甲、乙两地各多少人？ 分析：设应调往甲地x人，题中所涉及的有关数量及其关系可以用下表表示： 解：设应调往甲地x人，根据题意，得 23＋x＝2（17＋20－x）。 解这个方程，得x＝17。 所以调往乙地的人数为20－x＝20－17＝3。 答：应调往甲地17人，乙地3人。 想一想：如果设调往乙地的人数为x，方程应怎么列？ 学生自学、互动。在具体学习时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想，发现结论。 阅读教材实际例题，理解实际问题的解决 勾起学生的探究欲望，激发学生对学习本节课的浓厚兴趣。通过例题的解决发现规律，提高学生归纳能力.激发学生兴趣，引入新课主题， 通过对问题的讨论，学生将学习一元一次方程实际应用劳力调配和行程问题的解法。 课堂练习 【例1】某校组织七年级(1)班学生分成甲、乙两队参加社会劳动实践,其中甲队人数是乙队人数的2倍,后因劳动需要,从甲队抽调16人支援乙队,这时甲队人数是乙队人数的一半,则甲队原来有_______人。 32【解析】设乙队原来有x人,则甲队原来有2x人,根据题意,得2x-16=(x+16),解得x=16,所以2×16=32(人),所以甲队原来有32人.故答案为32。 【例2】某年亚运会组委会组织高校学生去做志愿者,已知去乒乓球赛场的有10人,去羽毛球赛场的有16人,现调10人去支援,使在羽毛球赛场的人数是在乒乓球赛场人数的2倍,设应调往乒乓球赛场x人,则可列方程为（ ） A.10+x=2(16+10-x) B.2(10+x)=16+10-x C.10+10-x=2(16+x) D.2(10+10-x)=16+x B 【解析】因为调往乒乓球赛场x人,所以调段,逐一分析往羽毛球赛场(10-x)人.根据题意得2(10+x)=16+10-x.故选B. 【例3】某城举行自行车环城赛最快的人在开始45min后遇到最慢的人,已知最慢的人的速度是xkm/h,是最快的人的速度的,环城一周是6km,由此可知最慢的人的速度是（ ） A.20km/h B.25km/h C.28km/h D.15km/h A【解析】因为最慢的人的速度是xkm/h,所以最快的人的速度是xkm/h. 由题意得(x-x)×=6,解得x=20,故选A. 【例4】一队学生去校外参加劳动,以4km/h的速度步行前往,走了半小时,学校有紧急通知要传给队长,通讯员以14km/h的速度按原路追上去,则通讯员追上学生队伍所需的时间是（ ） A.10min B.11min C.12min D.13min C【解析】设通讯员追上学生队伍所需的时间为xh。由题意得4×+4x=14x,解得x=0.2. 0.2 h=12min.故选C。 【选做】5.甲、乙两人在环形跑道上练习跑步,已知环形跑道一圈长400米,乙每秒跑6米,甲的速度是乙速度的倍。 (1)如果甲、乙两人在跑道上相距50米处同时反向出发,那么经过多少秒两人第二次相遇？ (2)如果甲在乙的前50米处,两人同时同向出发,那么经过多少秒两人首次相遇？第二次相遇呢？ 【解析】(1)设经过x秒甲、乙两人第二次相遇,由题意得 6×x+6x=400-50+400,解得x=53. 答:经过53秒两人第二次相遇。 (2)设经过y秒两人首次相遇,由题意得6×y-6y=400-50,解得y=175,所以经过175秒两人首次相遇,设经过t秒两人第二次相遇,由题意得6×t=400-50+400,解得t=375,所以经过375秒两人第二次相遇。 【选做】6.劳动课上杨老师带领七(1)班50名学生制作圆柱形小鼓,其中男生人数比女生人数少6人,并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面。 (1)男生有_______人，女生有_______人。 (2)①老师组织全班学生制作小鼓,要求一个鼓身配两个鼓面,为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套,应该分配多少名学生制作鼓身?多少名学生剪鼓面? ②若想每小时制作90个小鼓,且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套,应再加入多少名学生? 【解析】(1)设男生有x人,则女生有(50-x)人由题意x+6=50-x,解得x=22,所以50-x=28,即男生有22人,女生有28人,故答案为22,28。 (2)①设分配y名学生制作鼓身,则(50-y)名学生剪鼓面.由题意,得2×2y=6(50-y),解得y=30,则50-y=20. 答:应分配30名学生制作鼓身,20名学生剪鼓面。 ②由①知分配30名学生制作鼓身,20名学生剪鼓面,则1小时可制作小鼓30×2=60(个)还需制作90-60=30(个)小鼓,所以应再加人(30÷2)+(30×2÷6)=25(名)学生。 完成例题和练习.在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出重点要点难点 加深学生对一元一次方程的实际应用劳力调配和行程问题的了解。培养学生多角度思考和解决问题的能力. 课堂小结 知识点1 劳力调配问题： 劳力调配问题要搞清人数的变化，常见题型有： (1)既有调入又有调出； (2)只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； (3)只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。 知识点2 行程问题： 相等关系:路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度； (1)直线形相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=两地之间的距离； (2)直线形追及问题:快者走的路程=慢者走的路程+两人初始距离差;快者所走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程。 (3)环形相遇问题:同起点、同时间、背向出发,首次相遇时,相等关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间为；第n次相遇时,二者合走了n圈。 (4)环形追及问题:同起点、同时间、同向出发,首次相遇时,相等关系:是快者比慢者多走1圈，追及所用时间为；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 学生归纳本节所学知识 回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。 作业布置 1.必做题：学案课后练习 习题1-4 2.选做题：学案课后练习 习题5-6 3.拓展题：学案课后练习 拓展题 学生自主完成 巩固训练，提高学生应用数学知识解决问题能力 学科网（北京）股份有限公司 $$