精品解析：河南省新乡市第一中学等校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

新乡市一中2024-2025学年上期初二年级期中考试 数学试卷 分值：120分时间：100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列是几种著名的数学曲线： 其中不是轴对称图形的是（ ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 2. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，，若只添加一个条件，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 5. 一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ） A. 过作∥ B. 延长到，过作 C. 作于点 D. 过上一点作， 7. 如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，若和分别垂直平分和，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 10. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 12. 点关于x轴对称点的坐标为________． 13. 如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________． 14. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点D，连接．若，则______． 15. 如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当___________秒时，与全等． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，，，点E、F在上且．求证：． 18. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点均在格点上，点的坐标分别是，，关于轴对称的图形为． （1）画出； （2）直接写出的面积：_____； （3）在轴上找出一点，使的周长最小．（不写画法，但需保留作图痕迹） 19. 【知识呈现】如图①，在中，D是的中点，过点C作直线，使，交的延长线于点E，求证：； 【应用】如图②，在四边形中，，点E是的中点，射线与的延长线交于点F，连接，若，则______． 20. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 21. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年11月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7． （1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； （2）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 22. 引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”． ① 　；② 　． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线． （3）在△ABC中，若∠A=40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数． 23. （1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新乡市一中2024-2025学年上期初二年级期中考试 数学试卷 分值：120分时间：100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列是几种著名的数学曲线： 其中不是轴对称图形的是（ ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D． 该曲线所表示的图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高． 故选：D 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则判断A，根据合并同类项的运算法则判断B，根根据同底数幂的除法运算法则判断C，据积的乘方运算法则判断D． 【详解】解：A.，故此选项不符合题意； B. ，不能合并，故此选项不符合题意； C. ，故此选项符合题意； D.，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，掌握相关运算法则准确计算是解题关键． 4. 如图，在和中，点A，E，B，D在同一直线上，，，若只添加一个条件，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据所添加的条件进行逐一判断即可求解； 【详解】解：， ， ， 又， 添加，则无定理，无法证明， 故选项A符合题意； 添加， 则， ， 故选项B不符合题意； 添加， 则， ， ，故选项C不符合题意； 添加， 则， ， 故选项D不符合题意； 故选：A． 5. 一副含角和角的直角三角板如图摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．根据三角形外角的性质，可得即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：，， ∴． 故选：C 6. 在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ） A. 过作∥ B. 延长到，过作 C. 作于点 D. 过上一点作， 【答案】C 【解析】 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：由，则，． 由，得．故A不符合题意； 由，则，． 由，得．故B不符合题意； 由于，则， 无法证得三角形内角和是．故C符合题意， 由，得，．由，得，，那么． 由，得．故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 7. 如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵是等边的边上的高， ∴， ∵， ∴， 故选C 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键． 8. 如图，，若和分别垂直平分和，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线，三角形内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，则，，再根据三角形内角和，，则，再根据，即可． 【详解】∵、是线段、的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键．由得到，，由等角对等边判定，继而可求． 【详解】解：平分，， 则，， 又∵， ∴， ，， ∴ 又， ， ∴， 故选：C． 10. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得；由角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而得出；过点作于，作于，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出，即可． 【详解】解：在中，和的平分线相交于点， ，， ， ， 结论（2）正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 结论（1）正确； 如图，过点作于，作于，连接， 在中，和的平分线相交于点， ，， ， 又， ， 结论（4）错误； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， 即点到各边的距离相等， 结论（3）正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 12. 点关于x轴对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求关于轴对称的点的坐标．根据关于轴对称的点的特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得解． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 13. 如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查格点三角形的知识，三角形外角性质，等边对等角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．根据等边对等角求出，再利用三角形的外角性质解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为 14. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点D，连接．若，则______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，直角三角形的性质，先根据尺规作图的步骤可知是的垂直平分线，可得，进而得出，再直角三角形的两个锐角互余求出，然后根据含直角三角形的性质得，即可得出答案． 【详解】根据题意可知是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为：18． 15. 如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当___________秒时，与全等． 【答案】3或7或10 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，幂的运算； （1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解． （2）根据同底数幂的乘法，积的乘方进行计算，然后合并同类项，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，，，点E、F在上且．求证：． 【答案】 证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由，得到，再由已知的两对角相等，利用得出，然后根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 18. 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点均在格点上，点的坐标分别是，，关于轴对称的图形为． （1）画出； （2）直接写出的面积：_____； （3）在轴上找出一点，使的周长最小．（不写画法，但需保留作图痕迹） 【答案】（1） 解：如图所示， （2） （3） 解：如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质，坐标与图形，由轴对称性质解决最短距离问题； （1）根据轴对称的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 略 19. 【知识呈现】如图①，在中，D是的中点，过点C作直线，使，交的延长线于点E，求证：； 【应用】如图②，在四边形中，，点E是的中点，射线与的延长线交于点F，连接，若，则______． 【答案】知识呈现： 证明：D是的中点， ， ， ， 在和中 ()， ； 应用：6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的等积转换；知识呈现：由可判定，由全等三角形的性质即可求证； 应用：同理可证：，，由三角形的面积得，，由即可求解； 掌握全等三角形的判定及性质，会进行等积转换是解题的关键． 【详解】知识呈现： 略 应用：由【知识呈现】同理可证： ， ，， ∴， ． 故答案：． 20. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 【答案】（1） 解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在中，， 解得，， ∴． 21. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年11月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7． （1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； （2）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 【答案】（1） 例如：； ； （2） 设最小的一个数为，其他三个分别为，，， 则 ． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算； （1）观察日历得出所求等式即可； （2）设最小的一个数为，其他三个分别为，，，验证即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”． ① 　；② 　． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线． （3）在△ABC中，若∠A=40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数． 【答案】（1）与；与 （2） 解：∵， ∴ ∵CD为角平分线 ∴ ∵ ∴是有两个角相等的三角形 ∵，， ∴与原来三角形是“等角三角形” ∴CD是△ABC的等角分割线． （3）60°；30°；； 【解析】 【分析】（1）由题意知，，可说明与是“等角三角形”，根据，可说明与是“等角三角形”，进而可得答案； （2）根据三角形内角和定理计算，由角平分线的定义可知，，可说明是有两个角相等的三角形，由，，，可说明与原来三角形是“等角三角形”，进而结论得证； （3）由题意可知，分4种情况求解：①当是有两个角相等的三角形，且时，如图1，由（2）可知，；②当是有两个角相等的三角形，且时， 如图2，由题意知，则，，进而可知的值；③当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”，如图3，，，根据求出的值即可；④当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”如图4，则，，根据求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴ 同理 ∴与是“等角三角形” ∵ ∴与是“等角三角形” 故答案为：与；与． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当是有两个角相等的三角形，且时，如图1， 由（2）可知，，满足CD为△ABC的等角分割线； ②当是有两个角相等的三角形，且时， 如图2， 由题意知， ∴， ∴， ∴时，满足CD为△ABC的等角分割线； ③当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”，如图3， ， ∵ ∴ ∴时，满足CD为△ABC的等角分割线； ④当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”如图4， ∴ ∵ ∴ ∴ 时，满足CD为△ABC的等角分割线； 综上所述，的度数为 或或 或 ． 【点睛】本题考查了角平分线，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于理解题意熟练掌握角度的求解． 23. （1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 【答案】（1）； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的3个问题运用了类比的方法依次解决问题． （1）如图，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）如图，延长到G，使，连接，同理可得：； （3）如图③，仿照（1）（2）构造全等三角形求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； 故答案为：； （2）略 （3）若如图③，在上截取，使，连接． ∵， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴． ∴， ∵， ∴ ∴． ∵ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $