湖南省常德市桃源县第一中学2024-2025学年高三上学期10月模拟考试数学试题

湖南省常德市桃源一中2025届高三年级10月模拟考试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知向量，，，则(    ) A. B. C. 1 D. 2 4.如图，在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，点B为角终边上一点，四边形OABC为正方形，则(    ) A. B. C. D. 5.如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正四棱台，上、下底面边长分别为20 cm和10cm，侧棱长为“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”.则该“升”的“平升”约可装 A. B. C. D. 6.若定义在R的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.已知数列满足，，则下列结论正确的是(    ) A. 数列为单调递增数列 B. 数列为单调递减数列 C. D. 8.如图，在直三棱柱中，，，，M为BC的中点，P为上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知函数，则下列说法正确的是(    ) A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最大值为2 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象关于y轴对称 10.已知，则下列结论一定正确的是(    ) A. B. C. D. 11.在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等差数列，下列说法正确的是(    ) A. 若为1阶等比数列，，，则为等比数列且公比为2 B. 若为1阶等差数列，共有30项，其中奇数项之和为20，偶数项之和为50，则为等差数列且公差为2 C. 若为m阶等比数列，则为m阶等差数列 D. 若既是3阶等比数列，又是4阶等比数列，则是等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线在处的切线方程为__________. 13.已知，函数与的图象在上恰有两个交点，则的值为__________. 14.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 已知是等差数列的前n项和，且， 求 若，求数列前n项和为，并证明 16.本小题12分 如图，在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的平分线交BC于点D，且， 求角B的大小; 若，求的面积. 17.本小题12分 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是边长为的菱形，E， F分别为AB，PD的中点， 求证： 若二面角的大小为，求四棱锥的体积. 18.本小题12分 已知 讨论的单调性; 当时，证明对于任意的成立. 参考数据：， 19.本小题12分 设满足以下两个条件得有穷数列，，，，为阶“期待数列”： ①，② 若等比数列为阶“期待数列”，求公比 若一个等差数列既为阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式; 记n阶“期待数列”的前k项和为 ⅰ求证： ⅱ若存在，使，试问数列是否为n阶“期待数列”?若能，求出所有这样的数列;若不能，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查交集的求法，考查运算求解能力，是基础题． 先求出集合M，再由交集运算求解可得. 【解答】 解：集合， ， ， 即 故选： 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查复数的代数表示及其几何意义、复数的除法运算，属于基础题. 设，根据题意，，利用复数的除法运算，得出，求出复数对应的点的坐标，即可求出结果. 【解答】 解：设， 因为复数在复平面内所对应的点位于第一象限， 所以，， 又， 所以， 所以复数对应的点的坐标为，位于第四象限. 故选 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查向量线性运算的坐标表示、向量模的坐标表示，属于基础题. 求出的坐标，利用模长公式，即可求出结果. 【解答】 解：因为，， 所以， 因为， 所以，即， 解得 故选 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查任意角三角函数的定义，二倍角公式与两角差的正弦公式，属于基础题. 先由三角函数的定义求出的正弦和余弦，由二倍角公式得，，由正方形的性质得，代入由诱导公式以及两角和的正弦公式即可求出结果. 【解答】 解：点是角终边上的一点， ， ，， ，， 四边形OABC为正方形， ， 故选 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查棱台的体积，属于基础题． 首先求出棱台的高，再结合棱台体积公式即得. 【解答】 解：棱台的高， 故选： 6.【答案】D  【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式问题，属中档题. 根据题意由函数的单调性与奇偶性，可画得函数的图象，结合x的范围，可得答案. 【解答】解：由已知画出的大致图象，如下图， 当时，，所以或，解得； 当时，结论成立； 当时，，所以或，解得 综上x的取值范围是 故选 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查数列的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题. 易求出和，继而比较、、的大小，即可判断A和B错误；构造函数，利用的单调性可得当n为奇数时，，当n为偶数时，，由此可判断C和 【解答】 解：由，， 可知，， 则， 则数列即不是单调递增数列，也不是单调递减数列，故A错误，B错误; 又， 所以当时，， 构造函数，， 当时， 所以在上单调递增， 又，， 故存在使得， 即存在使得， 所以当时，， 当时，， 又， 所以当n为奇数时， 当n为偶数时，， 所以C正确，D错误. 故选 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查棱柱的结构特征，球的表面积，基本不等式，考查空间想象能力，属于中档题. 由题意，画图找出外接球球心，再利用勾股定理和基本不等式求解即可. 【解答】 解：由题易知是等腰直角三角形，则外接圆的圆心在AM的中点处， 过作平面ABC的垂线，则外接球的球心O在上， 过点P作交于点N，则四边形为矩形， 因为，，所以， 易求出， 设，，三棱锥的外接球的半径为R， 则，则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 则三棱锥的外接球表面积 故选 9.【答案】AD  【解析】【分析】 本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的性质的应用． 先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质即可判断． 【解答】  解：， 所以，故A正确； 的最大值为，故B错误； 因为，所以的图象不关于点对称，故C错误； 将的图象左平移个单位，得到是偶函数，关于y轴对称，故D正确. 10.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查了不等式的基本性质，利用导数研究函数的单调性，作差法比较大小，属于中档题． 根据不等式的基本性质即可判断A，利用作差法，即可判断B，利用特殊值法即可判断C，构造函数，利用导数研究函数的单调性即可判断 【解答】 解：对于A，，则，A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，取，，满足，但此时不成立，故C错误； 对于D，构造函数， 则，则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，则， 即， 即，故D正确． 故选： 11.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查数列的新定义问题，等差数列和等比数列的综合，属于难题. 对于A，根据题意可得为正项等比数列，求出公比，即可得解； 对于B，根据题意可得为等差数列，根据题意写出，，两式相减即可得解； 对于C，由为m阶等比数列，可得，使得成立，等式两边取对数，再根据m阶等差数列即可得出结论； 对于D，根据既是3阶等比数列，又是4阶等比数列，可得与同时成立，再结合等比数列的定义即可得出结论. 【解答】 解：对于A，因为为1阶等比数列，所以，则为正项等比数列， 设公比为q，则q为正数， 由已知得， 两式相除得，所以舍去，故A错误; 对于B，  因为为1阶等差数列，则，则为等差数列，设公差为d， 因为共有30项，其中奇数项之和为20，偶数项之和为50， 则，，两式相减得到， 解得，故B正确; 对于C，因为为m阶等比数列， 所以，使得成立， 所以， 又， 所以， 即成立， 所以为m阶等差数列，故C正确; 对于D，因为既是3阶等比数列，又是4阶等比数列， 所以与同时成立， 所以与同时成立， 又的各项均为正数，所以对任意的， 数列和数列都是等比数列， 由数列是等比数列， 得也成等比数列， 设， 所以，所以是等比数列，故D正确． 故选： 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义，求曲线的切线方程，属于基础题． 对函数求导求出处的导函数值，即为所求切线斜率，再求出切点坐标，再利用点斜式方程即可得切线方程． 【解答】解：当时，， ， 所以曲线的切线的斜率，切点， 故切线方程为， 即 故答案为 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了余弦函数的图象，正弦型函数的图象变换，属于中档题. 作出函数的图象，由于函数的图象是由函数的图象上所有的点的纵坐标不变，横坐标伸长或者缩短到原来的倍而得到的，因此由图象可知 【解答】 解：作出函数的图象，由于函数的图象是由函数的图象上所有的点的纵坐标不变，横坐标伸长或者缩短到原来的倍而得到的， 由图像可得在处恰好取得最小值，因此有，即 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及运用导数求得单调区间、极值和最值，考查方程思想，以及运算能力，属于较难题． 由题意可得，，设，求出单调性，题意转化为即，恒成立．设，，转化为 【解答】 解：不等式等价于， 设函数，则，在R上单调递增， ，即等价于，恒成立， 即，恒成立． 设，，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，取得最大值， ，即实数的取值范围是 15.【答案】解：设等差数列的公差为d，则由题意得： 解得 故， 故 ，   【解析】本题主要考查等差数列的前n项和公式以及裂项相消法求和，考查运算能力，属于中档题. 利用基本量列方程求解即可； 由裂项相消法求和，容易判断 16.【答案】解：，由正弦定理得，  ， ， 由，可得，  ， 又， 故， ； 在中，由正弦定理得， ， 又， ，  ，， 在中，由正弦定理得，， ，    【解析】本题考查正弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题． 由正弦定理“边化角”，由二倍角正弦化简，求出B； 在中， 中由正弦定理求得A，CD，得BC，代入面积公式求解. 17.【答案】【解答】证明：平面ABCD，平面ABCD，， 又，，PD，平面PCD， 平面PCD，又平面PCD，， 又，PD，平面平面PDE，又平面PDE， 由可知，，底面ABCD为菱形，E为AB的中点，是等边三角形.如图， 以DP为z轴，DC为y轴，DE为x轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，平面FCD法向量为， 设平面FEC法向量为，，， 则，令，则， 二面角的大小为，，，解得， 四棱锥的体积  【解析】【分析】本题主要考查了线面垂直，以及二面角，还考查了棱锥的体积，属于中等题. 证得平面PCD，，，即平面PDE，即可证得； 建立空间直角坐标系，平面FCD法向量，再求出平面FEC法向量，再利用，，解得，，从而求出四棱锥的体积. 18.【答案】解：， 由，可得或， ①当时，， 或 时，；时，， 在上单调递增，在 上单调递减，在上单调递增； ②当时，， 时，，在单调递增． ③当时，， 或时，；时，， 在 上单调递增，在 上单调递减，在上单调递增． 证明：由知，时，，， 记， ①当时，， 记 ，， 令，则， 在上单调递增， 又，， 存在使得，即， 当时，，单调递减； 当 时，，单调递增， ， 在上单调递减，， ， 又， ，即， 对于任意的成立.  【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题． 对求导，再对a分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可； 记，转化为即可. 19.【答案】解：若，则由①，得， 由②得或 若，由①得，，得，不可能． 综上所述， 设等差数列的公差为d， ，， ， ，由得， 由题中的①、②得，， 两式相减得，，， 又，得， 记中非负项和为A，负项和为B， 则，，得，， ⅰ，即 ⅱ若存在…，使，由前面的证明过程知：，且 记数列…，的前k项和为，若为n阶“期待数列”， 则由ⅰ知，，，而， ，从而，， 又，则， 与不能同时成立，所以，对于有穷数列…， 若存在…，使，则数列…，不能为n阶“期待数列”．  【解析】本题考查数列的新定义问题，属于难题. 根据新定义对q分情况讨论求得； 由题中的①、②得，，两式相减得出d，又，得，进而求得通项公式； ⅰ根据即可求得； ⅱ若存在，使，能得但是与不能同时成立，故矛盾. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$