第七章 数列 第六节 数列的综合问题专项训练-2025届高三数学一轮复习

第7章　 数列 第六节　数列的综合问题 1．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，4a1，2a3，a5成等差数列，则a1等于(　　) A．5－5 B．5＋5 C．5 D．5 2．设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和，且，则b3等于(　　) A． B． C． D． 3．若函数f (x)＝xm＋ax的导函数为f ′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N*)的前n项和为(　　) A． B． C． D． 4．(新定义)定义[x]表示不超过x的最大整数，若数列{an}的通项公式为an＝3n－1，则 ＋＋＋…＋等于(　　) A．30 B．29 a1 C．28 D．27 5．(2024·岳阳模拟)在等比数列{an}中，a2＝－2a5，1<a3<2，则数列{a3n}的前5项和S5的取值范围是(　　) A． B． C． D． 6．(多选题)已知函数f (x)＝lg x，则下列四个命题中，是真命题的为(　　) A．f (2)，f ，f (5)成等差数列 B．f (2)，f (4)，f (8)成等差数列 C．f (2)，f (12)，f (72)成等比数列 D．f (2)，f (4)，f (16)成等比数列 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{lg Sn}是公差为lg 3的等差数列，则a2＋a4＋…＋a2n＝________. 8．(数学与文化)元代数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》中记载了“垛积术”，其中“落—形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥垛，如图所示，三角锥垛从上到下最上面是1个球，第二层是3个球，第三层是6个球，第四层是10个球……则这个三角锥垛的第十五层的球的个数为________. 9．设n∈N*，有三个条件：①an是2与Sn的等差中项；②a1＝2，Sn＋1＝a1(Sn＋1)；③Sn＝2n+1－2.在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答． 若数列{an}的前n项和为Sn，且________. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若{an·bn}是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 高考训练 10．已知数列{an}满足a1＝1，P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上，如果函数f (n)＝(n∈N*，n≥2)，那么函数f (n)的最小值为(　　) A． B． C． D． 11．直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧．针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过________年其投入资金开始超过7 000万元．(参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845.) 12．在正项数列{an}中，a1＝2，其前n项和Sn满足Sn＋Sn－1＝(n≥2)．若数列bn＝(－1)n·，则数列{bn}的前2 020项和为________. 13．函数y＝f (x)，x∈[1，＋∞)，数列{an}满足an＝f (n)，n∈N*， ①函数f (x)是单调递增的； ②数列{an}是递增数列． 写出一个满足①的函数f (x)的解析式________. 写出一个满足②但不满足①的函数f (x)的解析式________. 14．已知二次函数f (x)＝x2－ax＋a(a＞0，x∈R)有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f (n)(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设cn＝1－(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数. 15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝an＋2－an＋，且数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<2n＋. 答案解析 1、A　解析：设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，q>0， 由前4项和为15，4a1，2a3，a5成等差数列，可得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15， 4a3＝4a1＋a5，即4a1＋a1q4＝4a1q2，即q2－2＝0，解得q＝，所以a1＝5－5. 2、D　解析：因为数列{an}，{bn}都是正项等比数列， 所以数列{lg an}与{lg bn}为等差数列． 因为， 所以 ＝a3＝＝，所以b3. 3、A　解析：因为f (x)＝xm＋ax，所以f ′(x)＝"＋a. 又因为f ′(x)＝2x＋1，所以m＝2，a＝1， 所以f (n)＝n2＋n＝n(n＋1)， 所以， 所以数列的前n项和为 . 4、D　解析：＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝0＋(1×2)＋(2×2)＋(3×1)＋(4×2)＋(5×2)＝27. 5、A　解析：设等比数列{an}的公比为q，则q3＝， 所以数列{a3n}是首项为a3，公比为q3＝－的等比数列， 则S5＝a3∈. 6、ABD　解析：对于A，f (2)＋f (5)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，2f ＝2lg ＝1， 故f (2)，f ，f (5)成等差数列，故A是真命题； 对于B，f (2)＋f (8)＝lg 2＋lg 8＝lg 16，2f (4)＝2lg 4＝lg 16， 故f (2)，f (4)，f (8)成等差数列，故B是真命题； 对于C，f (2)·f (72)＝lg 2×lg 72<＝(lg 12)2＝(f (12))2， 故f (2)，f (12)，f (72)不成等比数列，故C是假命题； 对于D，f (2)·f (16)＝lg 2×lg 16＝4(lg 2)2＝(2lg 2)2＝(lg 4)2＝(f (4))2， 故f (2)，f (4)，f (16)成等比数列，故D是真命题． 7、　解析：因为S1＝a1＝1，则lg S1＝lg 1＝0. 因为{lg Sn}是公差为lg 3的等差数列， 所以lg Sn＝(n－1)lg 3＝lg 3n-1，则Sn＝3n-1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n-1－3n-2＝2×3n-2， 则＝3.又a2＝2， 所以数列{an}自第二项起构成公比为3的等比数列， 则偶数项构成以2为首项，9为公比的等比数列， 所以a2＋a4＋…＋a2n＝. 8、120　解析：因为“三角形数”可写为 1，1＋2，1＋2＋3，1＋2＋3＋4，1＋2＋3＋4＋5，…， 所以“三角形数”构成的数列的通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝， 所以这个三角锥垛的第十五层的球的个数为a15＝＝120. 9、解：(1)选择条件①. 因为an是2与Sn的等差中项，所以2an＝2＋Sn， 所以当n≥2时，2an－1＝2＋Sn－1， 两式相减，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1(n≥2)． 在2an＝2＋Sn中，令n＝1，可得a1＝2， 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 故an＝2·2n-1＝2n. 选择条件②. 由a1＝2，Sn＋1＝a1(Sn＋1)，知Sn＋1＝2(Sn＋1)， 当n＝1时，可求得a2＝4， 当n≥2时，Sn＝2(Sn－1＋1)， 两式相减，得an＋1＝2an(n≥2)． 又a1＝2，a2＝4也满足上式， 所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 故an＝2·2n-1＝2n. 选择条件③. 在Sn＝2n+1－2中，令n＝1，得a1＝21+1－2＝2， 当n≥2时，有Sn－1＝2n－2， 两式相减，得an＝2n(n≥2)． 当n＝1时，a1＝2满足上式， 所以an＝2n. (2)因为{an·bn}是以2为首项，4为公差的等差数列， 所以an·bn＝2＋(n－1)·4＝4n－2. 由(1)知an＝2n，所以bn＝， 所以Tn＝1×， 两边同乘，得 ， 两式相减，得 ， 所以Tn＝6－. 10、C　解析：将点P的坐标代入直线方程，得an＋1－an＝1，又a1＝1， 所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，所以an＝n. 所以f (n)＝， f (n＋1)＝， 所以f (n＋1)－f (n)＝>＝0， 所以f (n)单调递增，故f (n)的最小值为f (2)＝. 11、12　解析：设该公司经过n年投入的资金为an万元，则a1＝2 000×1.12， 由题意可知，数列{an}是以2 000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列， 所以an＝2 000×1.12n.由an＝2 000×1.12n>7 000，可得n>log1.12≈11.1， 因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7 000万元． 12、－　解析：在正项数列{an}中，a1＝2， 其前n项和Sn满足Sn＋Sn－1＝(n≥2)，可得Sn－1＋Sn－2＝(n≥3)， 两式相减，得an＋an－1＝. 因为在正项数列{an}中，有an＋an－1≠0， 化简得an－an－1＝2(n≥3)． 当n＝2时，S2＋S1＝4＋a2＝， 解得a2＝4.因为a2－a1＝2， 所以{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，则an＝2n，Sn＝n(n＋1)， 所以bn＝(－1)n·＝(－1)n·＝(－1)n·. 数列{bn}的前2 020项和为－1－. 13、f (x)＝x2(答案不唯一)　f (x)＝(答案不唯一)　解析：易知在[1，＋∞)这个区间上单调递增的函数有许多，可写为f (x)＝x2. 第二个空需要找一个数列是递增数列，而对应的函数在[1，＋∞)上不是单调递增的，可写为f (x)＝， 此时f (x)在上单调递减，在上单调递增， 所以f (x)＝在[1，＋∞)上不是单调递增的，不满足①， 而对应的数列为an＝在n∈N*上越来越大，属于递增数列． 14、解：(1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a＝4. 又由a＞0，得a＝4，所以f (x)＝x2－4x＋4，所以Sn＝n2－4n＋4. 当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5. 所以an＝ (2)由题意得cn＝ 由cn＝1－可知，当n≥5时，恒有cn＞0. 又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－， 即c1·c2＜0，c2·c3＜0，c4·c5＜0. 所以数列{cn}的变号数为3. 15、(1)解：因为Sn＝①， 所以当n≥2时，Sn－1＝②， ①－②，得an＝＝n＋1. 又因为当n＝1时，a1＝S1＝2也适合上式， 所以an＝n＋1. (2)证明：由(1)，知bn＝n＋3－(n＋1)＋， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝2n＋ ＝2n＋ ＝2n＋<2n＋， 从而不等式得证． 学科网（北京）股份有限公司 $$