专题10.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题10.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 分类加法计数原理】 1 【题型2 分步乘法计数原理】 2 【题型3 涂色问题】 2 【题型4 两个计数原理的综合应用】 4 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 分类加法计数原理】 1．（25-26高二下·福建福州·期末）某天小丁要从福州出发去厦门，已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次，则小丁当天出行的方案共有（   ） A．12种 B．27种 C．120种 D．600种 2．（25-26高三上·河北保定·开学考试）我们称各个数位上的数字之和为8的三位数为“幸运数”，例如107和224，则所有的“幸运数”共有（    ） A．66个 B．55个 C．36个 D．28个 3．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点爬到相对的顶点，则其中经过条棱的路线共有（    ）条.    A． B． C． D． 4．（25-26高二下·青海西宁·期末）在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．19 C．90 D．200 【题型2 分步乘法计数原理】 5．（2026·云南大理·模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（    ）种 A．10 B．20 C．30 D．60 6．（2026·河南郑州·模拟预测）已知，，则满足方程的解的个数为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东深圳·模拟预测）某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 8．（2026·海南·模拟预测）将“1，2，2，3，4，5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填一个数字，1不在区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7，若中间一列填2和5，则不同的填法有（    ） A．20种 B．24种 C．36种 D．48种 【题型3 涂色问题】 9．（2026·湖北武汉·三模）如图，某社区为墙面、、、四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．144种 10．（2026·辽宁·模拟预测）树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（    ） A．36 B．48 C．54 D．56 11．（2026·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种． 12．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（    ）种不同的方法.    A．120 B．360 C．420 D．480 【题型4 两个计数原理的综合应用】 13．（25-26高二下·黑龙江鸡西·期中）从这五个数字中任取个组成无重复数字的三位数，其中奇数个数为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·四川德阳·阶段检测）用数字0，1，2组成一个五位数，每个数字至少出现一次，则能被3整除的五位数有（　　） A．8个 B．16个 C．24个 D．32个 15．（2026·贵州安顺·模拟预测）甲，乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的选法共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 16．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）从0，1，2，3，4五个数字组成没有重复数字的四位数，则该数为偶数有多少个？（    ） A．66 B．60 C．90 D．96 一、单选题 1．（2026·山东泰安·模拟预测）某市人民医院急诊科有名男医生和名女医生，内科有名男医生和名女医生，现从该医院急诊科和内科各选派名男医生和名女医生组成人组，参加省人民医院组织的交流会，则所有不同的选派方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（   ） A．120 B．160 C．180 D．300 3．（2026·安徽蚌埠·三模）空间中三个点、、满足，在空间中任取2个不同的点，使得它们与、、恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法种数为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·海南儋州·二模）用红、黄、蓝、绿4种不同颜色在如图所示的，，，，的5个区域涂上颜色，要求每个区域只涂1种颜色，且相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的不同涂色方案种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 5．（2026·吉林白城·模拟预测）6个数字1，2，2，2，3，5排成一排构成一个六位数，则这个六位数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广东广州·模拟预测）将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有（    ）    A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 7．（2026·湖南·模拟预测）九九重阳节期间，甲､乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在初八、初九、初十这三天中随机选一天，乙同学在初八、初九这两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·重庆·开学考试）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（    ） A．120 B．72 C．48 D．24 二、填空题 9．（2026·浙江嘉兴·二模）将个相同的球放入编号为、、的个盒子中，要求每个盒子至少放个球，且编号为的盒子中球数不超过个，则不同的放法种数为___________．（用数字作答） 10．（2026·河北秦皇岛·三模）安排4位顾客去三家餐馆就餐，其中一位顾客由于饮食特殊性，只能安排在餐馆，则不同的安排方案共有___________种． 11．（2026·河南·模拟预测）用，，，…，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为___________． 12．（2026·山东·三模）甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2样，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有__________种．（用数字作答） 一、单选题 1．（2026·山东·模拟预测）在4个人中选若干人在3天假期中值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班两天，其中甲恰有一天值班的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南郴州·一模）“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（25-26高二下·湖北荆州·期末）由组成允许有重复数字的自然数，将所得的自然数按照从小到大的顺序排成一列，构成无穷数列，若，则（    ） A．64 B．65 C．72 D．73 4．（2026·重庆·三模）无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A．9 B．12 C．15 D．18 二、填空题 5．（2026·上海嘉定·一模）、、、、是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的，和中至少有一个大于，则满足要求的排列的总数为__________. 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236，567），则比423大的三位“渐升数”共有__________个． 7．（2026·江苏南京·二模）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有__________种（用数字作答）. 8．（2026·四川广安·模拟预测）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有___________种（结果用数值表示） 一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 分类加法计数原理】 1 【题型2 分步乘法计数原理】 3 【题型3 涂色问题】 4 【题型4 两个计数原理的综合应用】 7 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 分类加法计数原理】 1．（25-26高二下·福建福州·期末）某天小丁要从福州出发去厦门，已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次，则小丁当天出行的方案共有（   ） A．12种 B．27种 C．120种 D．600种 【答案】B 【解题思路】由分类加法计数原理即可求解. 【解答过程】已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次， 则小丁当天出行的方案共有. 故选：B. 2．（25-26高三上·河北保定·开学考试）我们称各个数位上的数字之和为8的三位数为“幸运数”，例如107和224，则所有的“幸运数”共有（    ） A．66个 B．55个 C．36个 D．28个 【答案】C 【解题思路】按照首位数字为1~8进行分类，相加得到答案. 【解答过程】当首位数字为1时，后两位相加为7， “幸运数”分别是116,161,125,152,134,143,107,170，共8个； 当首位数字为2时，后两位相加为6， “幸运数”分别是206,260,215,251,224,242,233，共7个； 当首位数字为3时，后两位相加为5，“幸运数”分别是305,350,314,341,323,332，共6个； 当首位数字为4时，后两位相加为4，“幸运数”分别是404,440,413,431,422，共5个； 当首位数字为5时，后两位相加为3，“幸运数”分别是503,530,512,521，共4个； 当首位数字为6时，后两位相加为2，“幸运数”分别是602,620,611，共3个； 当首位数字为7时，后两位相加为1，“幸运数”分别是701,710，共2个； 当首位数字为8时，后两位相加为0，“幸运数”是800，共1个. 因此，所有的“幸运数”共有个. 故选：C. 3．（25-26高二下·广东广州·阶段检测）如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点爬到相对的顶点，则其中经过条棱的路线共有（    ）条.    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据分类加法计数原理直接计算即可. 【解答过程】从顶点出发有条路线，分别经过，，. 经过有条路线，经过有条路线，经过有条路线. 根据分类加法计数原理可知，从顶点到顶点，经过条棱的路线共有条， 故选：B. 4．（25-26高二下·青海西宁·期末）在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（    ） A．14 B．19 C．90 D．200 【答案】B 【解题思路】由分类加法计数原理运算即可. 【解答过程】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为. 故选：B. 【题型2 分步乘法计数原理】 5．（2026·云南大理·模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（    ）种 A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】C 【解题思路】应用分步乘法原理计算即可. 【解答过程】4个同学站成一排有5个空，甲加入排列有5种情况，队列变成5个人有6个空，乙加入排列有6种情况， 由分步计数原理得，共有种不同的方法. 故选：C. 6．（2026·河南郑州·模拟预测）已知，，则满足方程的解的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由已知可得，又，结合分步乘法计数原理求结论. 【解答过程】由题设，得， 又，其中都为质数， 所以， 因为x，，所以可能为，，， 所以的取值个数为， 方程的整数解的个数为． 故选：B． 7．（2026·广东深圳·模拟预测）某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为（   ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】A 【解题思路】从A类语言4个中任选一个，从E类语言5个中任选一个，由分步乘法计数原理可得答案. 【解答过程】第三语言可从A类语言4个中任选一个，有4种方法， 第四语言可从E类语言5个中任选一个，有5种方法， 所以共有种. 故选：A. 8．（2026·海南·模拟预测）将“1，2，2，3，4，5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填一个数字，1不在区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7，若中间一列填2和5，则不同的填法有（    ） A．20种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【解答过程】求不同填法需要4步，填中间一列有2种方法，再填1有3种方法， 与1同列的只能是3或4，有2种方法，最后两个区域，填两个数字有2种方法， 所以不同填法种数是. 故选：B. 【题型3 涂色问题】 9．（2026·湖北武汉·三模）如图，某社区为墙面、、、四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．144种 【答案】C 【解题思路】由题，三种颜色的涂法有两种，即与同色或与同色，由计数原理列式求解. 【解答过程】三种颜色的涂法有两种，即与同色或与同色， 所以恰好使用3种颜色的涂法有种. 故选：C. 10．（2026·辽宁·模拟预测）树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（    ） A．36 B．48 C．54 D．56 【答案】C 【解题思路】利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，结合排列组合，计算求解. 【解答过程】若只用2种不同的颜色，则正反面的上下区域同色，中间区域涂剩下的一种颜色即可，所以有种涂色方法. 若用3种不同的颜色，当正反面都只用2种颜色时，有种涂色方法； 当正面用2种颜色，反面用3种颜色时，则在正面未用的颜色不能涂在反面的中间，所以有种涂色方法； 同理，当正面用3种颜色，反面用2种颜色时，也有种涂色方法； 当正反两面都用3种颜色时，有种涂色方法. 所以共有54种不同的涂色方法. 故选：C. 11．（2026·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种． 【答案】A 【解题思路】满足条件的涂色方案可分为区域同色，且和其它区域不同色和区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可 【解答过程】满足条件的摆放方案可分为两类， 第一类区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案， 满足条件的方案可分四步完成， 第一步，先摆区域有种方法， 第二步，摆放区域有3种方法， 第三步，摆放区域有2种方法， 第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法， 由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案， 第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案， 满足条件的方案可分四步完成， 第一步，先摆区域有种方法， 第二步，摆放区域有3种方法， 第三步，摆放区域有2种方法， 第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法， 由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案， 根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有种， 故选：A. 12．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（    ）种不同的方法.    A．120 B．360 C．420 D．480 【答案】C 【解题思路】利用分类计数原理求解，按2与4两区域种植果树是否相同进行分类即可. 【解答过程】分两类情况： 第一类：2与4种同一种果树， 第一步种1区域，有5种方法； 第二步种2与4区域，有4种方法； 第三步种3区域，有3种方法； 最后一步种5区域，有3种方法， 由分步计数原理共有种方法； 第二类：2与4种不同果树， 第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有种方法； 第二步种5号区域，有2种方法， 由分步计数原理共有种方法. 再由分类计数原理，共有种不同的方法. 故选：C. 【题型4 两个计数原理的综合应用】 13．（25-26高二下·黑龙江鸡西·期中）从这五个数字中任取个组成无重复数字的三位数，其中奇数个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，分3步：①，从中取一个排个位，有种安排方法，②，不能在百位，则百位的安排方法有种，③，在剩下的个数中任选个，安排在十位，有种情况，从而求解. 【解答过程】根据题意，①从中取一个排个位，有种安排方法， ②不能在百位，则百位的安排方法有种， ③在剩下的个数中任选个，安排在十位，有种情况， 故奇数的个数为：. 故选：D. 14．（25-26高三上·四川德阳·阶段检测）用数字0，1，2组成一个五位数，每个数字至少出现一次，则能被3整除的五位数有（　　） A．8个 B．16个 C．24个 D．32个 【答案】D 【解题思路】根据分类分步计数原理即可求解． 【解答过程】根据题意，满足条件的五位数有以下两类： 第一类，这五个数字为0，0，0，1，2，首位不能 0，所以有个； 第二类，这五个数字为0，1，1，2，2，首位不能是 0，所以有 个． 所以，满足题意的五位数有 个． 故选：D． 15．（2026·贵州安顺·模拟预测）甲，乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区、安顺古城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的选法共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【解题思路】利用组合数和计数原理，用间接法求解即得. 【解答过程】由题意得甲选择两个景区的选法有种， 乙选择两个景区的选法有种，故总选法有种， 两人选择景区完全相同的选法有种， 两人选择景区完全不相同的选法有种， 故两人恰好有一个景区相同的选法共有种，故C正确. 故选：C. 16．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）从0，1，2，3，4五个数字组成没有重复数字的四位数，则该数为偶数有多少个？（    ） A．66 B．60 C．90 D．96 【答案】B 【解题思路】首先以个位数是否为0区分两种情况，其次对每种情况，都按照分步乘法原理即可求解． 【解答过程】若个位数为0，此时一定为偶数，没有重复数字的偶数有个； 若个位数不为0，则第一步先确定个位数，必须为2或4，共种， 其次确定千位数，千位数不能为0，则必须从剩余的一个偶数以及1、3中选，共种， 最后从剩余的三个数字中选两个组成有顺序的十位数和百位数，共种，一共有个， 所以没有重复数字的四位数为偶数的情况共有个． 故选：B． 一、单选题 1．（2026·山东泰安·模拟预测）某市人民医院急诊科有名男医生和名女医生，内科有名男医生和名女医生，现从该医院急诊科和内科各选派名男医生和名女医生组成人组，参加省人民医院组织的交流会，则所有不同的选派方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解题思路】由分步乘法计数原理可求结论. 【解答过程】从急诊科选派名男医生和名女医生有 种方案， 从内科选派名男医生和名女医生有 种方案， 根据分步乘法计数原理，共有 种不同的选派方案. 故选：A. 2．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（   ） A．120 B．160 C．180 D．300 【答案】C 【解题思路】分两步，第一步先排Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，第二步再排Ⅳ，然后根据分步计数原理相乘即可. 【解答过程】先排Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ共有种，再排Ⅳ有种， 故不同的着色方法数有种. 故选：C. 3．（2026·安徽蚌埠·三模）空间中三个点、、满足，在空间中任取2个不同的点，使得它们与、、恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间中点线面的位置关系，和正四棱锥的几何性质，分类讨论，求出不同的取法数量. 【解答过程】 如图所示，设任取2个不同的点为、，当为正四棱锥的侧面时， 平面的两侧分别可以做以四边形为底面的正四棱锥，有2种情况， 同理以四边形、四边形为底面各有2种情况，所以共有6种情况； 当为正四棱锥的截面时，、位于两侧，四边形为圆锥的底面，只有一种情况， 同理以四边形、四边形为底面各有1种情况，所以共有3种情况； 综上，共有种情况． 故选：B． 4．（2026·海南儋州·二模）用红、黄、蓝、绿4种不同颜色在如图所示的，，，，的5个区域涂上颜色，要求每个区域只涂1种颜色，且相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的不同涂色方案种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】D 【解题思路】由分步计数原理结合分类讨论即可. 【解答过程】依顺序，区域可涂种颜色，区域可涂种颜色，区域可涂种颜色， ①区域若与区域同色，则E有两种颜色可选； ②区域若不与区域同色，则只有种颜色可选，也只有种颜色可选， 所以符合条件的方案有种方案． 故选：D． 5．（2026·吉林白城·模拟预测）6个数字1，2，2，2，3，5排成一排构成一个六位数，则这个六位数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题知6个数中只有3个不同的数，总事件为六位数选3个出来全排，剩下2个为2，若六位数为偶数，个位数必为2，则前面5位中选3位进行全排，然后计算概率即可. 【解答过程】6个数中只有3个不同的数，总事件为六位数选3个出来全排，剩下2个为2，则共有种， 若六位数为偶数，个位数必为2，则前面5位中选3位进行全排，共有种， 所以概率 故选：A. 6．（2026·广东广州·模拟预测）将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有（    ）    A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 【答案】C 【解题思路】依题意可分两种情况：①第一行为奇数，第二行为偶数，②第一行为偶数，第二行为奇数，进而结合排列数公式即可求解． 【解答过程】由每行中任意两个相邻数字之和为偶数， 即一个数为奇数，则另一个数需为奇数，或一个数为偶数，则另一个数需为偶数， 因为共有6个数字，其中3个奇数、3个偶数，所以分两种情况： ①第一行为奇数，第二行为偶数， ②第一行为偶数，第二行为奇数， 所以共有（种）不同的填法． 故选：C． 7．（2026·湖南·模拟预测）九九重阳节期间，甲､乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在初八、初九、初十这三天中随机选一天，乙同学在初八、初九这两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】按照分步乘法计数原理求出基本事件总数，再求出符合题意的基本事件数，最后由古典概型的概率公式计算可得. 【解答过程】甲同学在三天中随机选一天，共有3种情况，乙同学在两天中随机选一天，共有2种情况，所以一共有种情况， 他们在同一天去共有2种情况，所以他们在同一天去的概率为. 故选：B. 8．（25-26高三下·重庆·开学考试）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（    ） A．120 B．72 C．48 D．24 【答案】A 【解题思路】利用两个计数原理，先分类再分步即可求解． 【解答过程】先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择， ① 当,颜色相同时涂色方法数是：， ② 当,颜色不相同时涂色方法数是：， 满足题意的涂色方法总数是：． 故选：A． 二、填空题 9．（2026·浙江嘉兴·二模）将个相同的球放入编号为、、的个盒子中，要求每个盒子至少放个球，且编号为的盒子中球数不超过个，则不同的放法种数为___________．（用数字作答） 【答案】 【解题思路】对编号为的盒子中球数进行分类讨论，确定编号为的盒子中的球数，结合分类加法计数原理可得结果. 【解答过程】若编号为的盒子中球数为，则编号为的盒子中的球数可以为、、、，有种情况， 若编号为的盒子中球数为，则编号为的盒子中的球数可以为、、，有种情况， 综上所述，不同的放法种数为种. 故答案为：. 10．（2026·河北秦皇岛·三模）安排4位顾客去三家餐馆就餐，其中一位顾客由于饮食特殊性，只能安排在餐馆，则不同的安排方案共有___________种． 【答案】27 【解题思路】根据题意，利用分步乘法计数原理计算即可. 【解答过程】由题意可知，其中一位顾客由于饮食特殊性，只能安排在餐馆， 则剩下3位顾客每人就餐餐馆有3种安排方案，故不同的安排方案共有种. 故答案为：. 11．（2026·河南·模拟预测）用，，，…，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为___________． 【答案】224 【解题思路】利用分布乘法计数原理结合排列知识进行计算即可直接得答案. 【解答过程】从四个数中任选一个数放在个位，有4种方法， 再从其他八个数中任选2位数放在十位和百位，有种方法， 故九个数组成没有重复的三位数且是偶数共有种方法， 故答案为：224. 12．（2026·山东·三模）甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2样，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有__________种．（用数字作答） 【答案】60 【解题思路】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式求解. 【解答过程】从5种课外读物中任取1样为甲乙共同的，有5种方法； 再从余下4种中取1样给甲，有4种方法；最后从3种中取1样给乙，有3种方法， 所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（种）. 故答案为：60. 一、单选题 1．（2026·山东·模拟预测）在4个人中选若干人在3天假期中值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班两天，其中甲恰有一天值班的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】按甲只在第一天，只在第二天，只在第三天值班分类，数清楚样本点个数，再用古典概型即可得到答案. 【解答过程】计算总可能值班的样本点个数： 每天值班人选从4人中选1人，且相邻两天值班人不同. 第一天：有4种选择（任何一人均可）； 第二天：不能与第一天相同，因此有3种选择（排除第一天的人）； 第三天：不能与第二天相同，因此有3种选择（排除第二天的人）. 总的样本点个数：. 计算甲恰有一天值班的样本点个数： 甲只在第一天值班有种， 甲只在第二天值班有种， 甲只在第三天值班有种. 所以有古典概型知：. 故选：C. 2．（2026·湖南郴州·一模）“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解题思路】分两步完成，先分跳箱、再分药球，确定每一步的分法种数，结合分步乘法计数原理可得结果. 【解答过程】分以下两步： （1）先分跳箱：个相同的跳箱分给三个球队，三个球队分得的跳箱数量分别为、、或、、或、、， 所以，跳箱的分法种数为种； （2）接下来分药球：将个药球分给三个球队，三个球队分得的药球数量分别为、、或、、， 所以，药球的分法种数为种. 由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为种. 故选：B. 3．（25-26高二下·湖北荆州·期末）由组成允许有重复数字的自然数，将所得的自然数按照从小到大的顺序排成一列，构成无穷数列，若，则（    ） A．64 B．65 C．72 D．73 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理列式计算得解. 【解答过程】将1位数、2位数补成3位数，比如将6看成006，将24看成024， 由乘法原理知，由1个、2个、3个数字组成的数有个， 数列中的四位数按照从小到大的顺序排列：， 所以2026是第项. 故选：C. 4．（2026·重庆·三模）无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（    ）种灯光组合. A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【解题思路】根据分步乘法原理求解即可. 【解答过程】先考虑6号，有3种颜色可选.则剩下的1至5号有2种颜色可选， 号也有2种颜色可选，所以一共有种灯光组合. 故选：B. 二、填空题 5．（2026·上海嘉定·一模）、、、、是1、2、3、4、5的全排列，如果对任意的，和中至少有一个大于，则满足要求的排列的总数为__________. 【答案】 【解题思路】先判断出的位置，然后对第二位进行分类讨论，同时注意数字的位置，结合对称性可求解出满足要求的排列的总数. 【解答过程】因为没有比大的数，所以只能排在第一位或者第五位， 当排在第一位时，若排在第二位，此时排列可以是，，，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 由上可知，当排在第一位时，共有种情况， 同理可得，当排在第五位时，也有种情况满足条件， 综上所述，共有种排列满足条件， 故答案为：. 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236，567），则比423大的三位“渐升数”共有__________个． 【答案】20 【解题思路】根据定义结合分类加法计数原理计算可得答案. 【解答过程】完成这件事需选出3个数，要满足“渐升数”需分类来解. 当百位上的数字为4，十位上的数字为5时，个位上的数字有4种选法； 当百位上的数字为4，十位上的数字为6时，个位上的数字有3种选法； 当百位上的数字为4，十位上的数字为7时，个位上的数字有2种选法； 当百位上的数字为4，十位上的数字为8时，个位上的数字有1种选法； 当百位上的数字为5，十位上的数字为6时，个位上的数字有3种选法； 当百位上的数字为5，十位上的数字为7时，个位上的数字有2种选法； 当百位上的数字为5，十位上的数字为8时，个位上的数字有1种选法； 当百位上的数字为6，十位上的数字为7时，个位上的数字有2种选法； 当百位上的数字为6，十位上的数字为8时，个位上的数字有1种选法； 当百位上的数字为7，十位上的数字为8时，个位上的数字有1种选法； 所以比423大的三位“渐升数”共有个. 故答案为：20. 7．（2026·江苏南京·二模）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明.如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有__________种（用数字作答）. 【答案】216 【解题思路】如图，将6个行政区标上序号，根据分步乘法计数原理，按照一定的顺序对各个区域进行涂色，同时考虑相邻区域颜色不同的限制条件即可求解. 【解答过程】如图，将6个行政区标上序号， 区域1有4种颜色可选，共4种方法； 区域2与区域1相邻，不能与区域1同色，有3种颜色可选，共3种方法； 区域3与区域1、2相邻，不能与区域1、2同色，有2种颜色可选，共2种方法； ①若区域4与区域2同色，有1种颜色可选，此时区域5与区域2不同色且有2种涂色方法，此时区域6有2种涂色方法； ②若区域4与区域2不同色，有1种颜色可选，此时若区域5与区域2同色，有1种涂色方法，区域6有3种涂色方法， 若区域5与区域2不同色，有1种涂色方法，区域6有2种涂色方法， 所以一共有种方法. 故答案为：216. 8．（2026·四川广安·模拟预测）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有___________种（结果用数值表示） 【答案】21 【解题思路】可以通过一一列举或通过规律得解. 【解答过程】由题意知黑色正方形互不相连， 故当时，有全黑或全白种， 当时，有白黑、黑白、全白种， 当时，有黑白黑、白白黑、白黑白、黑白白、全白共种， 当时，有白黑白黑、黑白黑白、黑白白黑、白白白黑、白白黑白、白黑白白、黑白白白、全白共种， 当时，有黑白黑白黑、黑白白白黑、黑白白黑白、黑白黑白白、白黑白白黑、白黑白黑白、 白白黑白黑、黑白白白白、白黑白白白、白白黑白白、白白白黑白、白白白白黑、全白共种， 故当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种结果： 黑白黑白黑白、黑白黑白白黑、黑白白黑白黑、白黑白黑白黑、 黑白白白白黑、黑白白白黑白、黑白白黑白白、黑白黑白白白、 白黑白白白黑、白黑白白黑白、白黑白黑白白、白白黑白白黑、白白黑白黑白、白白白黑白黑、 黑白白白白白、白黑白白白白、白白黑白白白、白白白黑白白、白白白白黑白、白白白白白黑、全白共种， 故答案为：21. 一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据分步计数原理及古典概型的概率公式求解即可. 【解答过程】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币， 共有种情况， 要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C， 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况； 若保留两条边，则可保留也可擦去， 共有种情况（其中有一种情况与上面重复）， 则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况， 所以可以到达C点的概率为. 故选：B. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $