导数与函数的单调性 专项训练-2025届高三数学一轮复习

第3章　 导数及其应用 第二节　导数与函数的单调性 1．如图所示为y＝f ′(x)的图象，则函数y＝f (x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，－1) B．(－2，0) C．(－2，0)，(2，＋∞) D．(－∞，－1)，(1，＋∞) 2．函数f (x)＝x－2ln (2x)的单调递减区间为(　　) A．(－∞，1) B．(0，1) C．(0，2) D．(2，＋∞) 3．已知函数f (x)＝2x－sin x，则下列选项正确的是(　　) A．f (2.7)<f (π)<f (e) B．f (π)<f (e)<f (2.7) C．f (e)<f (2.7)<f (π) D．f (2.7)<f (e)<f (π) 4．(2024·乌鲁木齐模拟)已知函数f (x)＝－16ln x在区间(2a－1，2a＋1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 5．函数f (x)的定义域为R，f (2)＝5，对任意x∈R，f ′(x)<3，则f (x)<3x－1的解集为(　　) A．R B．(－∞，－2) C．(2，＋∞) D．(－2，2) 6．(2024·南昌模拟)函数f (x)＝的单调递增区间为__________. 7．已知函数f (x)＝x3＋x－sin x，则满足不等式f (2m2)≤f (1－m)成立的实数m的取值范围是________. 8．若函数f (x)＝x3－ax2＋x在[1，3]上存在单调递减区间，则a的取值范围为________. 9．(2024·六盘水模拟)已知幂函数f (x)＝(m－2)2在(0，＋∞)上单调递增． (1)求m的值； (2)若函数g(x)＝f (x)－x2－ax在[0，2]上单调递减，求a的取值范围． 10．(2024·连云港模拟)已知函数f (x)＝ex－a(x－1)，其中a∈R，e是自然对数的底数． (1)当a＝－1时，求函数f (x)在点(0，f (0))处的切线方程； (2)讨论函数f (x)的单调性，并写出相应的单调区间． 高考模拟 11．已知a＝＋ln ，b＝1＋，c＝＋ln 2，则(　　) A．c<b<a B．b<c<a C．c<a<b D．a<c<b 12．(多选题)(2024·临沂模拟)函数f (x)＝ax3＋3x2＋x－1恰有3个单调区间的充分不必要条件是(　　) A．a∈(－∞，3) B．a∈(0，3) C．a∈(－∞，0)∪(0，3) D．a∈(－∞，0) 13．函数f (x)＝(x>0)的单调递增区间是________. 14．已知函数f (x)＝2x－m sin x在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是________. 15．已知函数f (x)＝a ln x－ax－3(a∈R)． (1)求函数f (x)的单调区间； (2)若函数y＝f (x)的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45˚，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t，3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围． 答案解析 1、C　解析：当f ′(x)<0时，f (x)单调递减，从图可知，当x∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f ′(x)<0，所以f (x)的单调递减区间为(－2，0)，(2，＋∞)．故选C． 2、C　解析： f (x)＝x－2ln (2x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1－＝.由f ′(x)<0，可得x∈(0，2)，故f (x)＝x－2ln (2x)的单调递减区间为(0，2)．故选C． 3、D　解析：由f (x)＝2x－sin x，得f ′(x)＝2－cos x．因为cos x∈[－1，1]，所以f ′(x)＝2－cos x>0，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增．因为2.7<e<π，所以f (2.7)<f (e)<f (π)． 4、B　解析：f ′(x)＝x－＝(x>0)，当f ′(x)≤0，解得0<x≤4.由条件可知(2a－1，2a＋1)⊆(0，4]，所以解得≤a≤.故选B． 5、C　解析：令g(x)＝f (x)－3x＋1，则g′(x)＝f ′(x)－3<0在R上恒成立，所以g(x)在R上单调递减．因为g(2)＝f (2)－5＝0，所以原不等式即为g(x)<0＝g(2)，可得x>2，故原不等式的解集为(2，＋∞)．故选C． 6、(0，)　解析：函数f (x)＝的定义域为(0，＋∞)，则f ′(x)＝.令f ′(x)>0，解得0<x<，故函数f (x)的单调递增区间为(0，)． 7、　解析：由f (x)＝x3＋x－sin x，得f ′(x)＝3x2＋1－cos x≥0，所以函数f (x)在R上单调递增．由f (2m2)≤f (1－m)，得2m2≤1－m，所以2m2＋m－1≤0，解得－1≤m≤，所以实数m的取值范围是. 8、(4，＋∞)　解析：因为f (x)＝x3－ax2＋x，所以f ′(x)＝3x2－ax＋1.由题意可得f ′(x)<0在[1，3]上有解，即3x2－ax＋1<0在[1，3]上有解，即a>3x＋在[1，3]上有解，所以a>.令g(x)＝3x＋，x∈[1，3]，则g′(x)＝3－＝>0，即g(x)在[1，3]上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝4，所以a>4，故a的取值范围为(4，＋∞)． 9、解：(1)已知函数f (x)＝(m－2)2为幂函数，得(m－2)2＝1，解得m＝1或m＝3. 当m＝1时，f (x)＝x-5在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意； 当m＝3时，f (x)＝x3在(0，＋∞)上单调递增，符合题意． 综上可得m＝3. (2)由(1)可知g(x)＝f (x)－x2－ax＝x3－x2－ax，则g′(x)＝3x2－2x－a. 因为g(x)在[0，2]上单调递减， 所以g′(x)＝3x2－2x－a≤0在[0，2]上恒成立． 故解得a≥8. 因此a的取值范围为[8，＋∞)． 10、解：(1)当a＝－1时，f (x)＝ex＋x－1，f ′(x)＝ex＋1，k＝f ′(0)＝2，f (0)＝0， 所以函数f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x. (2)因为f ′(x)＝ex－a，所以当a≤0时，f ′(x)>0恒成立，函数f (x)在R上单调递增． 当a>0时，由f ′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a，所以x∈(－∞，ln a)时，f ′(x)<0，f (x)单调递减；x∈(ln a，＋∞)时，f ′(x)>0，f (x)单调递增． 综上，当a≤0时，函数f (x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，函数f (x)的单调递增区间为(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln a)． 11、D　解析：构造函数f (x)＝＋ln x，因为f ′(x)＝－＝(x>0)，所以当x>1时，f ′(x)>0，所以函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增．因为1<<2<e，所以f <f (2)<f (e)，即＋ln ＜＋ln 2＜1＋，所以a<c<b.故选D． 12、BD　解析：f ′(x)＝3ax2＋6x＋1，因为函数f (x)＝ax3＋3x2＋x－1恰有3个单调区间，所以函数f ′(x)＝3ax2＋6x＋1有两个不同的零点，所以解得a<3且a≠0，所以a∈(－∞，0)∪(0，3)，则函数f (x)＝ax3＋3x2＋x－1恰有3个单调区间的充分不必要条件是BD两个选项．故选BD． 13、(0，e) (或(0，e])　解析：令g(x)＝ln (f (x))＝ln x，由复合函数的单调性可知g(x)的单调递增区间即为所求，令g′(x)＝>0，解得0<x<e. 14、m<－2或m>2　解析：因为f (x)＝2x－m sin x，所以f ′(x)＝2－m cos x．又f (x)不是单调函数，所以函数f (x)有极值点，即f ′(x)在R上有变号零点，则2－m cos x＝0成立．当cos x＝0时，2－m cos x＝0可化为2＝0，显然不成立；当cos x≠0时，m＝.因为x∈R，－1≤cos x≤1，所以≤－2或≥2，所以实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，经检验，满足要求． 15、解：(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝， 当a>0时，f (x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)； 当a<0时，f (x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)； 当a＝0时，f (x)＝－3为常函数，无单调区间． (2)由(1)及题意得f ′(2)＝－＝1，即a＝－2， 所以f (x)＝－2ln x＋2x－3，f ′(x)＝(x>0)， 所以g(x)＝x3＋x2－2x，所以g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2. 因为g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，即g′(x)在区间(t，3)上有变号零点． 又g′(0)＝－2<0，所以 g′(t)<0，即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1，2]恒成立，由g′(0)<0， 则解得m<－9. g′(3)>0，即37＋3m＞0，解得m>－， 所以－<m<－9. 故实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$