三角恒等变换专项训练-2025届高三数学一轮复习

第4章　 三角函数与解三角形 第三节　三角恒等变换 1．(2024·海口模拟)若tan α·tan β＝2，则的值为(　　) A．－3 B．－ C． D．3 2．在单位圆中，已知角α的终边与单位圆交于点P，现将角α的终边按逆时针方向旋转，记此时角α的终边与单位圆交于点Q，则点Q的坐标为(　　) A． B． C．(1，0) D．(0，1) 3．(数学与文化)公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18˚.若4m2＋n＝16，则的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 4．已知α，β∈，若sin ＝，cos ＝，则sin (α－β)的值为(　　) A． B． C． D． 5．(多选题)(2024·合肥模拟)下列计算结果正确的是(　　) A．cos (－15˚)＝ B．sin 15˚sin 30˚sin 75˚＝ C．cos (α－35˚)cos (25˚＋α)＋sin (α－35˚)·sin (25˚＋α)＝－ D．2sin 18˚cos 36˚＝ 6．＝________． 7．(2024·威海模拟)已知α∈，若tan ＝－2，则cos ＝________． 8．已知sin α＝，cos β＝，且α，β为锐角，则α＋2β＝________． 9．已知2sin α＝2sin2－1. (1)求sin αcos α＋cos 2α的值； (2)已知α∈(0，π)，β∈，且tan2β－6tan β＝1，求α＋2β的值． 高考培训 10．(数学与生活)所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，余弦相似度为向量夹角的余弦值，记作cos (A，B)，余弦距离为1－cos (A，B).已知P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)，R(cos α，－sin α)，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，则tan α·tan β＝(　　) A． B． C．4 D．7 11．(2024·1月·九省适应性测试)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，则＝(　　) A． B． C．1 D． 12．(多选题)(2024·武汉模拟)下列结论正确的是(　　) A．sin (α－β)sin (β－γ)－cos (α－β)cos (γ－β)＝cos (α－γ) B．3sin x＋3cos x＝3sin C．f (x)＝sin ＋cos 的最大值为 D．sin 50˚(1＋tan 10˚)＝1 13．如图，在平面直角坐标系Oxy中，顶点在坐标原点，以x轴的非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的横坐标是－. (1)求cos (α－β)的值； (2)求2α－β的值． 14．已知△ABC不是直角三角形，且在△ABC中，sin Asin B sin (C－θ)＝λsin2C，其中tanθ＝. (1)若tan C＝2，λ＝1，求的值． (2)是否存在λ，使得为定值？若存在，求出λ的值，并求出该定值；若不存在，请说明理由． 答案解析 1、A　解析：由题意，得＝＝＝＝－3. 2、B　解析：由三角函数的定义知，sin α＝，cos α＝，将角α的终边按逆时针方向旋转所得的角为α＋，故点Q的横坐标为cos ＝cos αcos －sin α·sin ＝－， 点Q的纵坐标为sin ＝sin αcos ＋cos α·sin ＝，故点Q的坐标为. 3、C　解析：因为m＝2sin18˚， 由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin 18˚)2＝16cos218˚， 所以＝＝＝＝4. 4、A　解析：由题意可得α＋∈，β－∈， 所以cos ＝－，sin ＝－， 所以sin (α－β)＝－sin ＝－＝. 5、BD　解析：对于A，cos (－15˚)＝cos 15˚＝cos (45˚－30˚)＝cos 45˚cos 30˚＋sin 45˚sin 30˚＝，所以A错误； 对于B，sin 15˚sin 30˚sin 75˚＝sin 15˚sin 30˚cos 15˚＝sin 15˚cos 15˚＝sin 30˚＝，所以B正确； 对于C，cos (α－35˚)cos (25˚＋α)＋sin (α－35˚)·sin (25˚＋α)＝cos [(α－35˚)－(25˚＋α)]＝cos (－60˚)＝cos 60˚＝，所以C错误； 对于D，2sin 18˚cos 36˚＝2cos 72˚cos 36˚＝2×＝＝，所以D正确． 6、　解析：因为＝＝＝. 7、－　解析：因为α∈，则α＋∈. 又tan＝－2<0，故α＋∈，则cos ＝，sin ＝－， 故cos ＝cos ＝cos ·cos ＋sin sin ＝＝－. 8、　解析：因为sin α＝，且α为锐角，所以cos α＝＝＝. 因为cosβ＝，且β为锐角，所以sin β＝＝＝， 那么sin2β＝2sin βcos β＝2×＝，cos 2β＝1－2sin2β＝1－2×＝， 所以cos(α＋2β)＝cos α·cos 2β－sin αsin 2β＝＝. 因为α∈，β∈，所以2β∈(0，π)，所以α＋2β∈，故α＋2β＝. 9、解：(1)由已知得2sin α＝－cos α，所以tan α＝－， 则sin αcos α＋cos 2α＝＝＝. (2)由tan2β－6tanβ＝1，可得tan 2β＝＝－， 则tan(α＋2β)＝＝＝－1. 因为β∈，所以2β∈(0，π)． 又tan 2β＝－＞－，则2β∈. 因为α∈(0，π)，tan α＝－＞－，则α∈，则α＋2β∈，所以α＋2β＝. 10、A　解析：由＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β)，＝(cos α，－sin α)， 得cos (P，Q)＝＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)， cos (Q，R)＝＝cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)， 所以故 则＝＝＝，整理得tan αtan β＝. 11、A　解析：由tan 2θ＝－4tan ， 得＝，即－4(tan θ＋1)2＝2tan θ， 即(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0，解得tan θ＝－2或tan θ＝－. 因为θ∈，所以tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－， 故＝＝＝＝. 故选A． 12、CD　解析：对于A，左边＝－[cos (α－β)·cos (β－γ)－sin (α－β)sin (β－γ)] ＝－cos [(α－β)＋(β－γ)]＝－cos (α－γ)，故A错误； 对于B，3sin x＋3cos x＝6＝6sin ，故B错误； 对于C，f (x)＝sin ＋cos ＝sin ， 所以f (x)的最大值为，故C正确； 对于D，由sin 50˚(1＋tan 10˚)＝sin 50˚· ＝sin 50˚·＝＝＝＝1，故D正确． 13、解：(1)由题意知，＝＝1， 则有S△OAM＝··sin α＝，解得sin α＝. 又α为锐角，则cos α＝＝. 因为钝角β的终边与单位圆O的交点B的横坐标是－， 则cosβ＝－，sin β＝＝， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＝－. (2)由(1)知sin α＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝－， 则sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝＝－， 从而sin (2α－β)＝sin [α＋(α－β)] ＝sin αcos (α－β)＋cos αsin (α－β) ＝＝－. 因为α为锐角，sin α＝>，则有α∈，2α∈. 又β∈，因此2α－β∈，所以2α－β＝－. 14、解：(1)由tan θ＝，可得sin θ＝，cos θ＝. 由λ＝1，得sin A sin B sin (C－θ)＝sin2C，则sinAsin B·＝sin2C. 由tanC＝2，可得sin C＝，所以sin A sin B＝＝， 所以＝＝＝. (2)存在．由(1)得sin A sin B·＝λsin2C， 即＝. 又由＝＝ ＝·· ＝···＝k(令其定值为k)， 即4sin C－3cos C＋10λcos C＝5λk sin C恒成立，可得解得k＝，λ＝. 故存在λ＝，使得为定值，其定值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$