平面向量的数量积及综合应用专项训练-2025届高三数学一轮复习

第5章　 平面向量、复数 第三节　平面向量的数量积及综合应用 1．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 2．已知向量a＝(－2，1)，b＝(3，0)，e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为(　　) A．－ B． C．－2e D．2e 3．(多选题)已知向量m，n满足|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝，则下列说法正确的是(　　) A．m·n＝－1 B．m与n的夹角为 C．|m－n|＝ D．(m＋n)⊥(m－n) 4．(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 5．(2024·宿州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝60˚，a＝3，S△ABC＝，则AB边上的中线长为(　　) A．49 B．7 C． 6．已知|a|＝4，b＝(－1，0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为________． 7．已知＝(cos 23˚，cos 67˚)，＝(2cos 68˚，2cos 22˚)，则△ABC的面积为________． 8．在平面直角坐标系中，点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足·＝0，求t的值． 高考模拟 9．(多选题)(数学与文化)八卦是中国古代哲学和文化中的一个重要概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，则下列结论正确的有(　　) A． B． C． D． 10．(多选题)(2024·广东一模)已知向量a＝，b＝(cos α，sin α)，则下列结论正确的是(　 　) A．若a∥b，则tan α＝ B．若a⊥b，则tan α＝－ C．若a与b的夹角为＝3 D．若a与b方向相反，则b在a上的投影向量的坐标是 11．(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90˚.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围是(　　) A．[－5，3] B．[－3，5] C．[－6，4] D．[－4，6] 12．(数学与生活)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则的取值范围是(　　) A．[1，2] B．[2，3] C． 13．在△ABC中，＝＝(－sin x，cos x)． (1)设f (x)＝，若f (A)＝0，求角A的值； (2)若对任意的实数t，恒有，求△ABC面积的最大值． 答案解析 1、C　解析：由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9. 又|a|＝1，|b|＝，所以代入得a·b＝1. 2、C　解析：设a与b所成的角为θ，则cos θ＝， 故a在b上的投影向量为(|a|cos θ)e＝－2e. 3、ABC　解析：因为|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝2＋2m·n＝3， 即1＋4＋2m·n＝3，解得m·n＝－1，故A正确； 因为cos 〈m，n〉＝，且0≤〈m，n〉≤π， 所以〈m，n〉＝，故B正确； 因为|m－n|2＝|m|2＋|n|2－2m·n＝1＋4＋2＝7，所以|m－n|＝，故C正确； 因为(m＋n)·(m－n)＝|m|2－|n|2＝1－4＝－3≠0，故D错误． 4、C　解析：由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)， 所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t， b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t. 因为〈a，c〉＝〈b，c〉， 所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即， 即＝3＋t，解得t＝5. 5、D　解析：由S△ABC＝ab sin C＝，得b＝5. 不妨设AB的中点为M，则， 故＝＝＝， 即AB边上的中线长为. 6、　解析：由b＝(－1，0)，得|b|＝1. 因为(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝0，即a·b＋2b2＝0， 所以|a||b|cos 〈a，b〉＋2|b|2＝0. 因为|a|＝4，所以4cos 〈a，b〉＋2＝0，所以cos 〈a，b〉＝－. 因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝. 7、　解析：根据题意知＝(cos 23˚，cos 67˚)， 所以＝(－cos 23˚，－sin 23˚)，则＝1. 又因为＝(2cos 68˚，2cos 22˚)＝(2cos 68˚，2sin 68˚)，所以＝2. 由＝－2cos 23˚cos 68˚－2sin 23˚·sin 68˚ ＝－2(cos 23˚cos 68˚＋sin 23˚·sin 68˚)＝－2×cos 45˚＝－， 得cos B＝，所以B＝135˚.故S△ABC＝sin B＝. 8、解：(1)由题意可得＝(3，5)，＝(－1，1)， 则＝(2，6)，＝(4，4)， 所以＝2＝4， 故所求的两条对角线的长分别为2. (2)由题意可得，＝(－2，－1)，＝(3＋2t，5＋t)． 由·＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0， 即－6－4t－5－t＝0，从而5t＝－11，解得t＝－. 9、ABD　解析：对于A，＝1×1×cos ，故正确； 对于B，，故正确； 对于C，＝，＝，但对应向量的夹角不相等，所以不成立，故错误； 对于D，＝2 cos ，由余弦定理可得，所以＝，故正确． 10、 ABD 11、D　解析：以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3，0)，B(0，4)． 设P(x，y)，则x2＋y2＝1，＝(3－x，－y)，＝(－x，4－y)， 所以＋(y－2)2－. 又＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上的点到点距离的平方，圆心(0，0)到点的距离为，所以的最小值为的最大值为＝6， 即∈[－4，6].故选D． 12、B　解析：如图所示，取AF的中点Q，连接OA，OF，OQ，OP.根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得|OQ|＝. 又＝· ＝ ·－1＝2－1. 根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时，有最小值为，此时2－1＝2. 当点P位于正六边形的顶点时，有最大值为2，此时2－1＝3. 故的取值范围是[2，3]. 13、解：(1)f (x)＝sin2x＋sinx cos x＝－× ＝. 因为f (A)＝0，所以sin . 又因为A∈(0，π)，所以2A＋∈， 所以2A＋，所以A＝. (2)如图，设， 则， 即恒成立，所以AC⊥BC. 因为＝≤2，＝1， 所以＝. 所以△ABC的面积为S＝. 当且仅当cos 2x＝－1， 即x＝＋kπ，k∈Z时等号成立． 所以△ABC面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$