数系的扩充与复数的引入专项训练-2025届高三数学一轮复习

第5章　 平面向量、复数 第四节　数系的扩充与复数的引入 1．在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为(1，－1)，则z的实部与虚部的和是(　　) A．2 B．0 C．1＋i D．1－i 2．(2024·烟台模拟)若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则等于(　　) A．－2＋i B．－2－i C．2＋i D．2－i 3．已知i为虚数单位，则＝(　 　) A．5 B．5i C．－ D．－ 4．(数学与文化)欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ(其中e＝2.718…，i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，下列结论中正确的是(　　) A．eiπ的实部为0 B．e2i在复平面内对应的点在第一象限 C．|eiθ|＝1 D．eiπ的共轭复数为1 5．已知i为虚数单位，复数z满足z(1－i)＝2i，则z＝________． 6．(2024·石家庄模拟)设O是坐标原点，向量对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是________． 7．已知复数z满足1≤|z－(1－i)|≤2，则复数z在复平面内对应的点Z所在区域的面积为________． 8．已知复数z＝. (1)求复数z； (2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值． 高考模拟 9．在复平面内，满足条件|z＋4i|＝2|z＋i|的复数z对应的点的轨迹是(　　) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 10．(多选题)设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是(　　) A．＝1－2 B． C．若z1z2∈R，则z1＝2 D．若＝0，则1＝2 11．(多选题)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则下列说法正确的是(　　) A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限 B． C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4 D．＋2 12．(2024·邹城模拟)一般地，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式．其中r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来，a＋bi(a，b∈R)叫做复数的代数表示式，简称代数形式．已知z1＝cos θ1＋isin θ1，z2＝，cos (π＋θ1＋θ2)＝，其中θ1∈，θ2∈，则z1z2＝________．(结果用代数形式表示) 13．在数学中，记表达式ad－bc是由所确定的二阶行列式．若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝2，则当－i时，z4的虚部为________． 14．若虚数z同时满足下列两个条件： ①z＋是实数； ②z＋3的实部与虚部互为相反数． 这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由． 答案解析 1、B　解析：由题意可知z＝1－i，所以复数z的实部是1，虚部是－1，其和为0. 2、C　解析：由(1＋2i)z＝4＋3i得z＝＝2－i，所以＝2＋i. 3、A 4、C　解析：对于A，eiπ＝cos π＋isin π＝－1，则实部为－1，A错误； 对于B，e2i＝cos 2＋isin 2在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)，因为cos 2<0，sin 2>0，所以e2i在复平面内对应的点位于第二象限，B错误； 对于C，|eiθ|＝|cos θ＋isin θ|＝＝1，C正确； 对于D，eiπ＝cosπ＋isin π，则其共轭复数为cos π－isin π＝－1，D错误． 5、－1＋i　解析：由题意可得z＝＝－1＋i. 6、5－5i　解析：因为向量对应的复数分别为2－3i，－3＋2i， 所以＝(2，－3)，＝(－3，2)，所以＝(5，－5)， 其对应的复数是5－5i. 7、3π　解析：令z＝a＋bi且a，b∈R，则1≤|(a－1)＋(b＋1)i|≤2， 所以1≤(a－1)2＋(b＋1)2≤4， 即对应区域的面积是圆心为(1，－1)，半径分别为1，2的两个同心圆的面积的差， 所以点Z所在区域的面积为4π－π＝3π. 8、解：(1)z＝＝1＋i. (2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i， 整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i， 所以解得 9、B　解析：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)， 则|z＋4i|＝|x＋(y＋4)i|＝， |z＋i|＝|x＋(y＋1)i|＝. 结合题意有x2＋(y＋4)2＝4x2＋4(y＋1)2，整理可得x2＋y2＝4. 故复数z对应的点的轨迹是圆． 10、ABD　解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)， ＝(a－c)－(b－d)i，＝a－bi－(c－di)＝(a－c)－(b－d)i，A正确； ＝＝， ＝，B正确； 当z1＝i，z2＝－4i时，z1z2＝4∈R，但是z1≠，C错误； 若＝0，则＝0，所以a＝c，b＝d，z1＝z2，，D正确． 11、ABD　解析：对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i， 又因为|z2－1＋2i|＝2，所以(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误； 对于D，z1－1＋2i＝－3＋3i，则|z1－1＋2i|＝， |z2－z1|＝|(z2－1＋2i)－(z1－1＋2i)|≤|z2－1＋2i|＋|z1－1＋2i|＝2＋3，故D正确． 12、－　解析：因为cos (π＋θ1＋θ2)＝－cos (θ1＋θ2)＝，所以cos (θ1＋θ2)＝－<0. 又θ1∈，θ2∈，所以θ1＋θ2∈， 所以sin (θ1＋θ2)＝， 所以z1z2＝(cosθ1＋isin θ1)(cos θ2＋isin θ2) ＝ ＝cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)＝－. 13、－2　解析：依题意知，＝z1z4－z2z3. 因为z3＝2，且z2＝，所以z2z3＝|z2|2＝. 因此有(1＋i)z4－－i，即(1＋i)z4＝3－i， 故z4＝＝1－2i， 所以z4的虚部是－2. 14、解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i. 设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)， z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝. 因为z＋是实数，所以b－＝0. 又因为b≠0，所以a2＋b2＝5. 又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数， 所以a＋3＋b＝0. 由 解得 故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i. 学科网（北京）股份有限公司 $$