精品解析：福建省泉州市安溪县2024-2025学年高一上学期11月期中质量监测数学试题

2024年秋季高一年期中质量监测数学试题 本试卷共19题，满分150分，考试用时120分钟．當校注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效． 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 托马斯说：“函数是近代数学思想之花”.下列对应关系中，满足从集合到集合的一个函数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. {或} B. C. {或} D. 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. ，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集为，集合，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 设，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则关于的不等式的解集为 B. 若，则关于的不等式的解集为 C. 若关于不等式的解集为，则 D. 若关于的不等式的解集为，则 11. 已知定义在上的函数满足对任意实数，，都有，，且，则（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的取值范围是_____ 13. 如图，已知矩形的周长为16，以为折痕将向翻折，翻折后边交于点.则当的面积取最大值时，_____. 14. 设函数.若，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 安溪作为世界藤铁工艺之都，孕育了藤铁家居工艺企业2200多家，加工点3000多个，从业人员15万人，产品出口到世界60多个国家和地区.为了更好地发展，某公司投入2百万资金，设计开发了，两种工艺品.现公司拟投入资金开展生产，经市场调查与预测，生产工艺品的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1百万元，公司获得毛收入0.25百万元；生产工艺品的毛收入（百万元）关于投入的资金（百万元）的函数为，其图象如图所示. （1）分别求生产，两种工艺品的毛收入（百万元）关于投入资金（百万元）的函数关系式； （2）公司计划投入80百万元资金用于生产，两种工艺品，则如何安排，使公司所获利润最大，最大利润是多少？ 17. （1）已知，，证明：，当且仅当时等号成立； （2）若，，且，求的最小值； （3）当时，，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）求，，，的值，并判断奇偶性； （2）判断在的单调性； （3）已知曲线关于直线对称的充要条件是函数为偶函数.类比此结论，写出曲线关于点中心对称的充要条件，并据此求出函数的图象的对称中心. 19. 设为非空数集，定义，. （1）若，求，； （2）已知，，若，求证：； （3）若，且，求的元素个数的最大值，并写出满足条件的一个集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季高一年期中质量监测数学试题 本试卷共19题，满分150分，考试用时120分钟．當校注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效． 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据否定命题的定义求解. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 2. 托马斯说：“函数是近代数学思想之花”.下列对应关系中，满足从集合到集合的一个函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，，A不是； 对于B，集合中的每个值，按，在集合中都有唯一值与之对应，B是； 对于C，集合中没有元素与集合中的0对应，C不是； 对于D，当时，，D不是. 故选：B 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可. 【详解】因为集合， 根据集合中5个元素的特点知，. 所以， 故选：C. 4. 下列函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数的判定方法即可得到答案. 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，则两个不是同一个函数，故A错误； 对B，函数有意义，则满足，解得，即函数的定义域为， 又由函数有意义，则满足，解得或 即函数的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以B不符合题意； 对C，，，两者不等，所以两者不是同一个函数，故C错误； 对D，，，，，则两函数为相同函数，故D正确. 故选：D. 5. 已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. {或} B. C. {或} D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的解集是可得，，从而不等式可化为，解出即可. 【详解】关于的不等式的解集为， ，， 可化为， 即 ， 关于的不等式的解集是. 故选：B. 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，利用“”的代换和基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，，判断函数的奇偶性，再结合已知解不等式即可. 【详解】令，，函数是上的奇函数，则， 函数是偶函数，而不等式化为，即， 又当时，，于是，解得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A 8. ，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】整理可得恒成立，分类讨论的符号，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，则， 因为，可得， 当时，则， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得； 当时，则； 当时，则， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得； 综上所述：的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设全集为，集合，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合的交并补和维恩图的关系即可得到答案. 【详解】对A，由图知，故A正确； 对B，由图知不是的子集，故B错误； 对C，由图知，故C正确； 对D，由图知，故D正确. 故选：ACD. 10. 设，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则关于的不等式的解集为 B. 若，则关于的不等式的解集为 C. 若关于不等式的解集为，则 D. 若关于的不等式的解集为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】解不等式判断AB；利用一元二次不等式的解集确定参数的取值判断CD. 【详解】对于A，，，解得，A正确； 对于B，，，解得或，B正确； 对于C，是方程的两个不等实根，且， 而此方程的二根为，则或，，C正确； 对于D，是方程的两个不等实根，且，则， 于是，，当时，，D错误. 故选：ABC 11. 已知定义在上的函数满足对任意实数，，都有，，且，则（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解AB，根据函数单调性的定义即可求解C,由函数的单调性，即可求解D. 【详解】令，则有：，即， 再令，，则有：， ，,即：, 再令，，则有：， 故,故A错误， 取，则，B正确， 由可得，当 任取，则， 由可得， ， 故当时，，C错误， 当时，则，故，D正确， 故选；BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】代入得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 13. 如图，已知矩形的周长为16，以为折痕将向翻折，翻折后边交于点.则当的面积取最大值时，_____. 【答案】 【解析】 【分析】画出示意图，设且，则，由全等三角形及勾股定理求得，用表示出的面积，应用基本不等式求最值并确定取值条件，即可得结果． 【详解】如图，设且，则，， 由，，，故， 令，，故， 所以，整理得， 则， 当且仅当时等号成立， 所以的面积取最大值时，的长为． 故答案为：． 14. 设函数.若，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】令，探讨函数的奇偶性及单调性，再解不等式即可. 【详解】函数， 令，函数，， 函数是偶函数，函数在上单调递增， 不等式，即， 因此，即或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）首先根据指数函数的单调性解不等式求出集合B，然后再利用集合的交、并、补运算即可求解. （2）根据题意可得，再对分是否为空集讨论即可. 【小问1详解】 ∵ ∴或. ∴或，. 又∵， ∴，. 【小问2详解】 ∵， ∴. 当时，，解得. 当时，∴，解得. 综上实数m的取值范围是或. 16. 安溪作为世界藤铁工艺之都，孕育了藤铁家居工艺企业2200多家，加工点3000多个，从业人员15万人，产品出口到世界60多个国家和地区.为了更好地发展，某公司投入2百万资金，设计开发了，两种工艺品.现公司拟投入资金开展生产，经市场调查与预测，生产工艺品的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1百万元，公司获得毛收入0.25百万元；生产工艺品的毛收入（百万元）关于投入的资金（百万元）的函数为，其图象如图所示. （1）分别求生产，两种工艺品的毛收入（百万元）关于投入资金（百万元）的函数关系式； （2）公司计划投入80百万元资金用于生产，两种工艺品，则如何安排，使公司所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1），，，， （2）投入百万元生产工艺品，投入百万元生产工艺品，公司所获利润最大，最大利润为19百万元. 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法可求出函数解析式； （2）设投入百万元生产工艺品，则得到利润表达式，利用二次函数的性质求出最值即可. 【小问1详解】 因为生产工艺品的毛收入与投入的资金成正比，所以设，因为当时，，所以，所以， 即生产工艺品的毛收入（百万元）与投入资金（百万元）的函数关系式为， 对于生产工艺品的，因为函数图像过点， 所以 ，解得，所以， 即生产工艺品的毛收入（百万元）与投入的资金（百万元）的函数关系为 ， 【小问2详解】 设投入百万元生产工艺品，则投入百万元生产工艺品，则公司所获利润 ， 所以当，即百万元时， 即投入百万元生产工艺品，投入百万元生产工艺品，公司所获利润最大，最大利润为19百万元. 17. （1）已知，，证明：，当且仅当时等号成立； （2）若，，且，求的最小值； （3）当时，，求的取值范围. 【答案】（1）证明：因为，，则，当且仅当，即时等号成立， 整理可得，即， 所以，当且仅当时等号成立； （2）4；（3） 【解析】 【分析】（1）根据化简整理即可证明； （2）整理可得，结合基本不等式分析求解； （3）利用乘“1”法，结合基本不等式运算求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，，且，即，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4； （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 由题意可得：，即，解得， 所以的取值范围为. 18. 已知函数. （1）求，，，的值，并判断奇偶性； （2）判断在的单调性； （3）已知曲线关于直线对称的充要条件是函数为偶函数.类比此结论，写出曲线关于点中心对称的充要条件，并据此求出函数的图象的对称中心. 【答案】（1），非奇非偶函数； （2）单调递增，理由：函数在上都单调递增， 所以函数在上单调递增. （3）曲线关于点中心对称的充要条件是函数是奇函数，. 【解析】 【分析】（1）求出函数值，利用奇偶性定义判断即可. （2）借助幂函数、二次函数单调性判断即可. （3）类比写出结论，再求出对称中心. 【小问1详解】 函数，则， 且，因此函数是非奇非偶函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 曲线关于点中心对称的充要条件是函数是奇函数， 由于， 则，即函数是奇函数， 所以函数的对称中心为. 19. 设为非空数集，定义，. （1）若，求，； （2）已知，，若，求证：； （3）若，且，求的元素个数的最大值，并写出满足条件的一个集合. 【答案】（1）， （2）证明：由于集合且， 所以中也只包含三个元素，即 剩下的，所以. （3）1350， 【解析】 【分析】（1）根据新定义和集合绝对值及集合的互异性直接求解即可； （2）由题意可得且，即可证明； （3）由新定义可得、，由题意和容斥原理得，最小的元素为0，最大的元素为，则，求出的范围，设且，求出的最小值即可. 【小问1详解】 由， ，故 ， 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设满足题意，其中， ， 所以，，所以， 因为，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为， 所以，则，所以， 当时满足题意，证明如下： 设且，则， ， 依题意有，故的最小值为675， 于是当时A中元素最多，即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350. 【点睛】方法点睛：本题考查集合新定义问题，处理问题的关键是充分把握，再研究集合元素最多时元素个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $