精品解析：江苏省连云港市东海县2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024～2025学年第一学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题“，”是真命题，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 定义在上的偶函数，在区间上单调递减，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数图象如右图所示，则的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 设正数，满足，则的最小值为（ ） A B. C. D. 6. 设，则“”的充要条件是（ ） A. a，b不都为1 B. a，b都不为0 C. a，b中至多有一个是1 D. a，b都不为1 7. 已知函数，，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列各式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 在定义域上为减函数 D. 不等式解集为 11. 关于的方程的两实根为，，且，，则（ ） A. B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是_________． 13. 若集合，则______. 14. 若，则的最小值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简求值：； （2）已知，求的值. 16. 设为实数，集合，. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 17. 定义在的函数满足，且当时，. （1）证明：函数奇函数； （2）判断函数在上单调性并证明. 18. 已知二次函数的两个零点为和，且. （1）求的解析式； （2）当时，求的最小值； （3）解关于的不等式. 19. 设函数的定义域为，若存在常数满足，且对任意的，总存在，使得，称函数为函数. （1）求证：函数是函数； （2）若函数是函数，求实数； （3）若函数是函数，求实数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年第一学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集运算的定义求出即可. 【详解】由题意得，因为，， 所以根据交集运算的定义，两集合的公共元素为， 所以， 故答案选：D. 2. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的最小值即可得． 【详解】，的最小值是，因此， 故选：B． 3. 定义在上的偶函数，在区间上单调递减，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，对函数值比较大小即可. 【详解】∵在单调递减，∴，故B错误； 又是偶函数，所以在上单调递增， ∴，故C错误； 而由是偶函数以及其单调性可得， ∴，故A正确，D错误； 故选：A． 4. 已知函数图象如右图所示，则的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据与的图象关于轴对称，再将的图象向右平移1个单位即可求解. 【详解】将与的图象关于轴对称，再将的图象向右平移1个单位得到，因此D符合， 故选：D 5. 设正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最小值. 【详解】正数，满足，则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故选：A 6. 设，则“”的充要条件是（ ） A. a，b不都为1 B. a，b都不为0 C. a，b中至多有一个是1 D. a，b都不为1 【答案】D 【解析】 【分析】由，求得且，即可求解. 【详解】由，可得，所以且， 所以“”的充要条件是“都不为”. 故选：D. 7. 已知函数，，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式和函数定义域，可由定义法先求出函数的单调性，再根据单调性求出函数值域. 【详解】由题意得，设，且， 则 ， 因为，所以， 又因为， 若， 则，此时， 所以在上为减函数； 若， 则，此时， 所以在上为增函数； 综上所述，函数在上为减函数，在上为增函数， 所以， 因为， 所以， 所以函数，的值域为， 故答案选：B. 8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由绝对值定义化简函数式，结合单调性求解． 【详解】， ，则，解得， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列各式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对数运算法则、换底公式判断． 【详解】，A错； ，B正确； 由换底公式知C正确； ，D错， 故选：BC． 10. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 在定义域上为减函数 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用奇函数的定义求解在给定区间外的函数表达式，然后分析函数的单调性，最后求解不等式即可 【详解】利用奇函数的性质，对于所有，， 因为是奇函数，对于所有， ， 因此， 所以A正确；B错误； 当，函数的导数为， 在时，，所以函数在内是减函数， 当，的导数为，在时，， 所以函数在内是减函数，故在整个定义域上是减函数；故C正确； 若， 当时，，即 因为在整个定义域上是减函数， 解得，即，所以选项D错误； 故选：AC. 11. 关于的方程的两实根为，，且，，则（ ） A. B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，即可代入求解A，根据基本不等式即可求解B，利用，结合基本不等式即可求解CD. 【详解】由的两实根为，可得， 故，或， 对于A，，A正确， 对于B，由，，可得，故，当且仅当时取等号，故B正确， 对于C，由可得， 故， 当且仅当，即取等号，故C错误， 对于D，由可得，故，当且仅当，即时取等号，故D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义即可求得定义域. 【详解】解：由解析式可知， 故函数的定义域为： 13. 若集合，则______. 【答案】1 【解析】 分析】利用集合相等，分和两种情况求解. 【详解】当时，，即，则； 当时，，解得，此时，即，则， 综上：. 故答案为：1 14. 若，则的最小值是________. 【答案】 【解析】 【分析】用反证法证明的最小值不小于，再确定能等于，即可得． 详解】由题意， 若存在使得，则， 因此，但， 因此假设错误，不存在使得， 所以的最小值不小于， 又时，， 所以的最小值为， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）化简求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）11；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂以及对数的运算性质即可求解， （2）根据指数幂的性质可得，即可利用立方差公式求解. 【详解】（1）原式= . （2）因为，两边平方得， 所以. 16. 设为实数，集合，. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简集合A，再由得到求解； （2）分和时，由求解. 【小问1详解】 解：由得， 则. 若，则， 所以，解得. 【小问2详解】 当时，有，则； 当时，则，或， 解得或. 综上，实数的取值范围是 17. 定义在的函数满足，且当时，. （1）证明：函数是奇函数； （2）判断函数在上的单调性并证明. 【答案】（1）证明见解析 （2）函数在上单调递减，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明； （2）利用函数的单调性的定义证明. 【小问1详解】 证明：函数的定义域为， 令，得：，， 再令，则， 即， 所以函数在上是奇函数. 【小问2详解】 在上是单调递减函数， 证明如下： 任取，，且，则， 则， 因为当时，， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减. 18. 已知二次函数的两个零点为和，且. （1）求的解析式； （2）当时，求的最小值； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由函数的零点性质可设，代入求解即可； （2）由二次函数的性质讨论对称轴与区间的关系即可； （3）讨论与零和的关系，结合一元二次不等式解法求解即可； 【小问1详解】 因为二次函数的两个零点为和， 可设， 又， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 因为的对称轴为， 当时，在上单调递增，； 当，即时，； 当，即时，在上单调递减，； 综上，. 【小问3详解】 由题意可得，即， ①当时，不等式的解集为， ②当时，不等式可化为， 不等式的解集为或. ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 设函数的定义域为，若存在常数满足，且对任意的，总存在，使得，称函数为函数. （1）求证：函数是函数； （2）若函数是函数，求实数； （3）若函数是函数，求实数. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数为函数的定义求解. （2）法一：根据函数是函数，先由不成立，得到或；再根据函数的新定义，由，转化为，令，根据在单调递减，由求解；法二：根据函数是函数及在是增函数，由求解； （3）法一：由，得到，从而，再由函数是函数，化简得到，由求解；法二：同上，由求解. 【小问1详解】 解：任取，总存在， 使得， 所以是函数. 【小问2详解】 法一：因为函数是函数， 若，则当时，， 此时不存在，使得， 所以或； 若任取，存在，使得， 所以，化简得， 令， 因为在单调递减， 所以 当时，得， 当时，得， 综上所述. 法二：因为函数是函数，若，则当时，， 此时不存在，使得， 所以或； 若任取，存在，使得， 只需满足即可，因为在是增函数， 故有，即， 解得. 【小问3详解】 法一：因为，所以， 所以， 又 所以函数为增函数； 函数函数， 所以任取，存在，使得， 化简得， ，得，所以. 法二：因为，所以，所以， 又 所以函数为上的增函数； 又函数是函数， 所以任取，存在，使得， 等价于， 即，即， 解得. 【点睛】方法点睛：对任意，存在，使得，由而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$