精品解析：广东省广州市番禺区仲元中学2023-2024学年上学期八年级期中数学试卷

2023-2024学年广东省广州市番禺区仲元中学 八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列每组数分别表示三条线段的长，将三条线段首尾连接后，能构成三角形的一组是（ ） A. 3，6，3 B. 2，3，3 C. 1，3，4 D. 1，3，5 3. 一个多边形每个内角都是150°，这个多边形是（　　） A. 九边形 B. 十边形 C. 十二边形 D. 十八形 4. 下列条件中一定能确定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（ ） A. 108° B. 36° C. 72° D. 144° 6. 在平面直角坐标系中，P点坐标为(3，﹣2)，则点P关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. (3，2) B. (﹣3，﹣2) C. (﹣3，2) D. (2，﹣3) 7. 如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图所示，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（ ） A. 40° B. 75° C. 85° D. 140° 9. 小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第_____块去，这利用了三角形全等中的_____原理（　　） A. 2；SAS B. 4；SAS C. 2；AAS D. 4； ASA 10. 如图，已知Rt△OAB，∠OAB＝50°，∠AOB＝90°，O点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且△APB是等腰三角形，则点P的坐标可能有（　　）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分） 11. 已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的取值范围_______. 12. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是_______． 13. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是___． 14. 如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是_____（只需写出一个即可）． 15. 如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 16. 如图，的面积为2，分别倍长（延长一倍）得到，则的面积为______． 17. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则①平分；②；③；④．则正确结论是______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. 如图，、、、在同一直线上，，，，求证：． 19. 如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数． 20. 如图，已知． （1）求作边的垂直平分线，交于点D，交于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，的周长为，求的周长． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 已知：如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E． （1）求证：CE＝CB； （2）如果连接BE，请写出BE与AC的关系并证明． 22. 如图，已知△ABC中，AB=AC,AD为中线，点P是AD上一点，点Q是AC上一点，且∠BPQ+∠BAQ=180°. （1）若∠ABP=α，求∠PQC的度数（用含α的式子表示）； （2）求证：BP=PQ. 23. 如图1，已知线段相较于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字形”． （1）直接写出的数量关系； （2）如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点M，N．，求的度数，并直接写出与之间存在的数量关系． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）． （1）求证：ABDE． （2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）． （3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值． 25. 在和中，． （1）如图1，将延长，延长线相交于点O： ①求证：； ②用含的式子表示的度数（直接写出结果）； （2）如图2，当时，连接，作于M点，延长与交于点N，求证：N是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年广东省广州市番禺区仲元中学 八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形识别．若一个平面图形能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这个图形是轴对称图形，据此进行解答即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图标都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； C选项中的图标不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：C． 2. 下列每组数分别表示三条线段的长，将三条线段首尾连接后，能构成三角形的一组是（ ） A. 3，6，3 B. 2，3，3 C. 1，3，4 D. 1，3，5 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 【详解】解：A、3+3=6，故A不符合题意； B、2+3>3，故B符合题意； C、1+3=4，故C不符合题意； D、1+3<5，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 3. 一个多边形每个内角都是150°，这个多边形是（　　） A. 九边形 B. 十边形 C. 十二边形 D. 十八形 【答案】C 【解析】 【分析】设这个正多边形的边数为n，根据正多边形的内角公式，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴这个多边形是十二边形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正多边形的内角，解题的关键是掌握正多边形的内角． 4. 下列条件中一定能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握判定三角形全等的几种方法是解决本题的关键，在做此题时可画出图形，根据图形进行判断，切记判定定理的条件里必须有边，且没有边边角这一定理． 根据全等三角形的判定定理进行判断． 【详解】解：如图： A．根据不能判定，故本选项错误； B．的对应角应该是，故不能判断，故本选项错误； C．根据能判定，故本选项正确； D．没有边的参与，不能判定，故本选项错误； 故选：C． 5. 如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（ ） A. 108° B. 36° C. 72° D. 144° 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作l1的平行线BF，利用平行线的性质推出∠CBF+∠1=180°，∠CBF+∠2=108°，两个式子相减即可． 【详解】解：过点B作l1的平行线BF，则l1∥l2∥BF， ∵l1∥l2∥BF， ∴∠ABF=∠2，∠CBF+∠1=180°①， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴， ∴∠ABF+∠CBF=∠CBF+∠2=108°②， ∴①-②得∠1-∠2=72°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及正多边形的内角问题，解题的关键是通过作辅助线，搭建角之间的关系桥梁． 6. 在平面直角坐标系中，P点坐标为(3，﹣2)，则点P关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. (3，2) B. (﹣3，﹣2) C. (﹣3，2) D. (2，﹣3) 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数分析得出答案． 【详解】解：点P（3，-2）关于x轴的对称点的坐标为（3，2）． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的符号是解题关键． 7. 如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴，，． ∴， 故A，B，D正确， 不一定成立， 故选：C． 8. 如图所示，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（ ） A. 40° B. 75° C. 85° D. 140° 【答案】C 【解析】 【详解】∵AE，DB是正南正北方向， ∴BD//AE， ∵∠BAE=45°， ∴∠BAE=∠DBA=45°， ∵∠EAC=15°， ∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°， 又∵∠DBC=80°， ∴∠ABC=80°-45°=35°， ∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85° 故选：C 9. 小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第_____块去，这利用了三角形全等中的_____原理（　　） A. 2；SAS B. 4；SAS C. 2；AAS D. 4； ASA 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定解题即可. 【详解】由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃. 故选D. 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键. 10. 如图，已知Rt△OAB，∠OAB＝50°，∠AOB＝90°，O点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且△APB是等腰三角形，则点P的坐标可能有（　　）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】以B点为圆心，AB长为半径画弧与x轴有两个加点，再以A为圆心，AB长为半径画弧与x轴还有一个焦点，AB的中垂线与x轴又有一个交点共有4个点满足△APB为等腰三角形即可． 【详解】解：如图，在x轴上共有4个这样的P点（图中实心点）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的形状以及坐标与图形的简单结合，能够熟练掌握是解题关键． 二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分） 11. 已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的取值范围_______. 【答案】设第三边为c ， 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案. 【详解】解：设第三边为c，则 根据三角形的三边关系，8-3＜c＜8+3， 解得5＜c＜11 故答案为设第三边为c ， 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，.掌握任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键. 12. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，分的角为顶角和底角，两种情况进行求解即可． 【详解】解：①的角可以为顶角； ②当的角为底角时，顶角的度数为：； 故答案为：或 13. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是___． 【答案】4 【解析】 【分析】作于，先利用角平分线的性质得到，再根据即可得． 【详解】解：如图，作于， 平分，， ， ， ， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 14. 如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是_____（只需写出一个即可）． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理进行条件的添加即可． 【详解】∵， ∴， 即． 若添加，再加上，可用证明， 若添加，再加上，可用证明， 添加，再加上，可用证明． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 15. 如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，的面积为2，分别倍长（延长一倍）得到，则的面积为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，掌握三角形的中线等分三角形的面积是解本题的关键．连接，，，根据等底等高的三角形面积相等，求解即可． 【详解】解：如图，连接，，． ∵与同底等高， ∴与的面积都相等， 同理可知：，，，，，，的面积都相等， ∵的面积为2， ∴的面积为， 故答案为14． 17. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则①平分；②；③；④．则正确结论是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理即可判断①结论；证明，，得出，，进而得到，再利用四边形内角和，即可判断②结论；根据角平分线的定义和三角形的外角性质，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，即可判断④结论． 【详解】解：①如图，过点作于， 平分，，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分，①结论正确； ②，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ，②结论正确； ③平分， ， ，， ， 平分， ， ， ，③结论正确； ④由②可知，，， ，， ， ，④结论不正确， 正确的结论是①②③． 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查了角平分线的平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的判定和性质，四边形内角和，三角形的外角性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. 如图，、、、在同一直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：如下图所示， ， ， 在和中，， ， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】首先根据两直线平行内错角相等证明，再根据证明，利用全等三角形对应角相等可证，根据同角或等角的补角相等可证，再利用内错角相等两直线平行可证结论成立． 【详解】略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质．解决本题的关键是根据平行线的性质找出相等的角，再根据证明三角形全等，最后根据内错角相等两直线平行证明结论成立． 19. 如图，△ABC中，∠B＝38°，∠C＝74°，AD是BC边上的高，D为垂足，AE平分∠BAC，交BC于点E，DF⊥AE，求∠ADF的度数． 【答案】72° 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理和角平分线的性质计算即可； 【详解】∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B＝38°，∠C＝74°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°． ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×68°＝34°． ∵AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣38°＝52°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝52°﹣34°＝18°． ∵DF⊥AE，∴∠ADF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣18°＝72°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，结合角平分线的性质计算是解题的关键． 20. 如图，已知． （1）求作边的垂直平分线，交于点D，交于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，的周长为，求的周长． 【答案】（1） 如图，为所作； （2） 【解析】 【分析】此题考查垂直平分线的作图和性质． （1）利用基本作图作出的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长的定义和等线段代换得到，然后计算的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：垂直平分， ，， ∴ 的周长为， 即， ， 即， ， 的周长为． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 已知：如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E． （1）求证：CE＝CB； （2）如果连接BE，请写出BE与AC的关系并证明． 【答案】（1） 证明：∵AD=CD， ∴∠DAC=∠DCA， ∵， ∴∠DCA=∠CAB， ∴∠DAC=∠CAB， ∴AC是∠EAB的角平分线， ∵CB⊥AB，CE⊥AD， ∴CE=CB； （2） AC垂直平分BE，理由如下： 由（1）得：CE=CB， ∵CB⊥AB，CE⊥AD， ∴∠CEA=∠CBA=90°， 在Rt△CEA和Rt△CBA中， ∵CE=CB，AC=AC， ∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL）， ∴AE=AB， ∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BE． 【解析】 【分析】（1）根据AD=CD，可得∠DAC=∠DCA，再由，可得∠DCA=∠CAB，从而得到∠DAC=∠CAB，然后根据角平分线的判定定理，即可求证； （2）证明Rt△CEA≌Rt△CBA，可得AE=AB，CE=CB，从而得到点A、点C在线段BE的垂直平分线上，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的判定定理，线段垂直平分线的判定定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线的判定定理，线段垂直平分线的判定定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 22. 如图，已知△ABC中，AB=AC,AD为中线，点P是AD上一点，点Q是AC上一点，且∠BPQ+∠BAQ=180°. （1）若∠ABP=α，求∠PQC的度数（用含α的式子表示）； （2）求证：BP=PQ. 【答案】（1）α； （2）过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F       ∵AB=AC,AD为△ABC的中线 ∴AD平分∠BAC ∴PE=PF 在△PEB和△PFQ中 ∴△PEB≌△PFQ ∴BP=PQ 【解析】 【分析】（1）由四边形的内角和即可求出∠AQP，从而求出∠PQC； （2）过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，证明△PEB≌△PFQ即可. 【详解】解：（1）∵∠BPQ+∠BAQ=180°，∠ABP=α ∴∠AQP=360°－∠BPQ－∠BAQ－∠ABP=180°－α ∴∠PQC=180°－∠AQP=α （2） 略 【点睛】此题考查的是四边形的内角、等腰三角形的性质和全等三角形的判定，掌握四边形的内角和等于360°、三线合一和用AAS判定两个三角形全等是解决此题的关键. 23. 如图1，已知线段相较于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字形”． （1）直接写出的数量关系； （2）如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点M，N．，求的度数，并直接写出与之间存在的数量关系． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①根据角平分线的定义得到，，再根据“8字形”得到，两等式相减得到，即，即可求解；②证明，，则，，则，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：在中，， 在中，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①∵和的平分线和相交于点P， ∴， ∵①，②， 由，得：， 即， ∵， ∴； ②∵和的平分线和相交于点P， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）． （1）求证：ABDE． （2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）． （3）连结PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值． 【答案】 （1）证明：在ABC和EDC中， ， ∴ABC≌EDC（SAS）， ∴∠A＝∠E，AB=DE=4 ∴ABDE． （2）线段AP的长为3tcm或（8﹣3t）cm；（3）t的值为1s或2s． 【解析】 【分析】（1）由SAS证明ABC≌EDC（SAS），得∠A＝∠E，即可得出结论； （2）分两种情况计算即可； （3）先证ACP≌ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分两种情况，当0≤t≤时，3t＝4﹣t，解得t＝1；当＜t≤时，8﹣3t＝4﹣t，解得t＝2即可． 【详解】（1）略 （2）解：当0≤t≤时，AP＝3tcm； 当＜t≤时，BP＝（3t﹣4）cm， 则AP＝4﹣（3t﹣4）＝（8﹣3t）cm； 综上所述，线段AP的长为3tcm或（8﹣3t）cm； （3）解：由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm， 在ACP和ECQ中， ， ∴ACP≌ECQ（ASA）， ∴AP＝EQ， 当0≤t≤时，3t＝4﹣t， 解得：t＝1； 当＜t≤时，8﹣3t＝4﹣t， 解得：t＝2； 综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为1s或2s． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及一元一次方程的应用等知识；证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 25. 在和中，． （1）如图1，将延长，延长线相交于点O： ①求证：； ②用含的式子表示的度数（直接写出结果）； （2）如图2，当时，连接，作于M点，延长与交于点N，求证：N是的中点． 【答案】（1） ①∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ② （2） 证明：如图2，作交的延长线于P，作于Q， ，， ， 在与中， ， ， ， 同理，， ， 在与中， ， ， ， ∴是的中点． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）①根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； ②根据全等三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）如图2，作交的延长线于，作于，根据全等三角形的性质得到，同理，，等量代换得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：①略 ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $