5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

利用函数性质判定方程解的存在性 北师大版 数学 必修一 一 教学目标　 1.了解函数零点的概念,领会方程的根与函数零点之间的关系. 2.掌握函数零点存在定理. 3.能结合图象求解零点问题. 4.初步理解函数与方程思想. 5.感受数学抽象的不同层次,感受直观想象的作用,提高数形结合的意识. 二 教学重难点　　 重点：理解零点存在定理. 难点：理解零点存在定理的条件. 数学文化 方程解法时间图 · 中国 公元50年—100年 一次方程、二次方程 和三次方程根 11世纪·北宋·贾宪 三次方程正根数值解法 13世纪·南宋秦九韶 特殊的高次方程正根解法 7世纪·隋唐·王孝通 三次或三次以上方程 方程解法时间图 · 西方 一次方程、二次方程 的一般解法 1541年·意大利 塔尔塔利亚 三次方程一般解法 1802～1829 挪威·阿贝尔 证明了五次以上一般方程没有求根公式 记载了费拉里的四次方程一般解法 9世纪·阿拉伯 花拉子米 1545年·意大利 卡尔达诺 解方程的历史 问题:判定下列方程在[-1,0]内是否有实根？ ① ② ③ ④ 答：①解得 ②解得 ③解得 有 有 无 嗯？？？老师出的什么题，没见过啊！ 不会做 导入新课 ④ ? 思考 方程有解吗？ 方程有解吗？ 方程有解吗？ 思考 引例：如何判定方程实数根的存在性? 角度一：利用判别式 角度二：利用函数图象 引例探究 函数零点： 对于函数)，把使的实数叫做函数)的零点. 函数零点 函数图象与轴交点横坐标 方程的根 注意：零点不是点,是一个数值 零点概念 函数零点的定义 数的角度 形的角度 思考 1：零点是不是点？ 思考 2：函数是不是都有零点？ 上午 下午 上午 下午 定理探究 小实验 定理探究 第一组 第二组 小实验 定理探究 第三组 第四组 例1 方程有没有实数解？为什么？ 解 设函数, ， . 又因为函数的图象是一条连续的曲线，所以由零点存在定理可知方程在区间内有解. 故方程有实数解. 例题讲解 例2 求证：对于任意一条封闭的曲线，都存在外切正方形. 例题讲解 例2 求证：对于任意一条封闭的曲线，都存在外切正方形. 例题讲解 证明： 记封闭曲线为，在初始时刻的外切四边形为矩形，它的边长分别为和若，则结论成立；若，不妨设 现在，保持不动，逆时针转动矩形，转动过程中始终保持它与外切.设转动角为，则与边长之差可以看成在上的连续函数，且，.由函数的零点存在定理可知，一定存在，使.这时，封闭曲线的外切矩形是正方形. 例题讲解 例2 求证：对于任意一条封闭的曲线，都存在外切正方形. 练习：求出下列函数的零点 (1)f(x)＝－8x2＋7x＋1； (2)f(x)＝1＋log3x； (3)f(x)＝4x－16. 解: (1)令-8x2+7x+1=0,即8x2-7x-1=0, ∴x=- 或x=1 ∴f(x)的零点为- 和1 (2)令1+log3x=0,则log3x=-1 解得X= 所以函数的零点为 (3)令4x-16=0,则4x=42，解得x=2， 所以函数的零点为2 数学知识 函数的零点存在定理及其应用． 思想方法 函数与方程、数形结合、转化等数学思想方法． 作业： 教材第132页：练习1、2 、3． 课堂小结 数学学科素养 数学抽象、数学建模、直观想象、逻辑推理 $$