精品解析：四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

嘉陵一中高2023级高二上期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，是椭圆的两个焦点，点在上且，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 6. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 7. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（ ） A. 的方程为 B. 在上存在点，使得到点的距离为3 C. 在上存在点，使得 D. 上的点到直线的最小距离为1 8. ，函数的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 对于随机事件和事件，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与互斥，则 C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点O，有，则四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，，则在上的投影向量为 11. 伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则______. 13. 已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是___________. 14. 已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线为切点，则四边形面积的最小值为__________；直线过定点__________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线的方程为． （Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，-3），求直线的方程； （Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 16. 某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段： ，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示. （1）估计这40名读书者中年龄分布在区间上的人数； （2）估计这40名读书者年龄的众数和第80百分位数； （3）从年龄在区间上的读书者中任选两名，求这两名读书者年龄在区间上的人数恰为1的概率. 17. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段AB的中点， （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点C，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 19. 圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆 （1）求圆C与圆M的根轴l； （2）已知点P为根轴l上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，当最小时，求直线的方程； （3）给出定点，设N，Q分别为根轴和圆M上的动点，求的最小值及此时点N的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉陵一中高2023级高二上期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出给定直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】直线的斜率，则该直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两圆的公共弦所在直线的特点，两圆方程相减即可得解. 【详解】圆：，圆： 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：. 故选：B 3. 平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 故，故椭圆的标准方程为. 故选：B 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可. 【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件； 当与直线平行时，，则 ∴或， 当时显然成立，当时，，， 整理后与重合，故舍去， ∴，满足必要条件； ∴“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：C 5. 已知，是椭圆的两个焦点，点在上且，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆，可得，所以， 由椭圆的定义可得， 故，又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C. 6. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用点面距的向量公式，可得答案. 【详解】由题意建立空间直角坐标系，如下图： 则，，，， 取，，， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则，，所以平面的一个法向量， 点到平面的距离. 故选：C. 7. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（ ） A. 的方程为 B. 在上存在点，使得到点的距离为3 C. 在上存在点，使得 D. 上的点到直线的最小距离为1 【答案】C 【解析】 【分析】对A：设点，由两点的距离公式代入化简判断；对B：根据两点间的距离公式求得点到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C：设点，求点M的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对D：结合点到直线的距离公式求得C上的点到直线的最大距离，由此分析判断. 【详解】对A：设点， ∵，则，整理得， 故C的方程为，故A正确； 对B：的圆心，半径为， ∵点到圆心的距离， 则圆上一点到点的距离的取值范围为， 而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为9，故B正确； 对C：设点， ∵，则，整理得， ∴点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆， 又，则两圆内含，没有公共点， ∴在C上不存在点M，使得，C不正确； 对D：∵圆心到直线的距离为， ∴C上的点到直线的最小距离为，故D正确； 故选：C. 【点睛】思路点睛：利用点与圆的位置关系来判定B，利用圆与圆的位置关系来判定C，结合数形思想即可. 8. ，函数的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据距离公式，利用的几何意义求最小值. 【详解】表示的几何意义为平面内的点到定点的距离， 表示的几何意义为平面内的点到定直线的距离， 所以表示的几何意义是动点到定点和到定直线的距离和， 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，当点在线段时，最小，最小值为. 故选：C 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 对于随机事件和事件，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与互斥，则 C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】对于A：若与互斥，则，故A错误； 对于B：若与互斥，则，故B正确； 对于C：若与相互独立，则，故C正确； 对于D：若与相互独立， 则，故D错误. 故选：BC 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点O，有，则四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由平面法向量的定义分析A，由空间向量基本定理分析B，由向量平行的性质分析C，由投影向量分析D． 【详解】对于A：若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，易得，即，则有，A正确； 对于B：在中，由于，故四点共面，B正确； 对于C：当， 反向共线时， 也成立，但与夹角不为钝角，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选：ABD． 11. 伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算计算A选项即可；建立空间直角坐标系，利用向量法求解判断BCD即可. 【详解】由题可知，,故选项A正确； 建立如图所示的空间直角坐标系 得，,,,， 由题可知，，平面的一个法向量为， 所以直线与平面所成角的正弦值为，选项B正确； 由题可知,， 所以, 所以异面直线与所成角的余弦值为，故选项C错误； 易知，,， 设点到直线的距离为，则，故选项D正确. 故选：ABD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可得，由向量的数量积公式求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围． 【详解】解：点，，过点的直线与线段有公共点， 直线的斜率或， 的斜率为，的斜率为， 直线的斜率或，即， 故答案为：． 14. 已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线为切点，则四边形面积的最小值为__________；直线过定点__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据切线的相关性质将四边形面积化为，即求出最小值即可，即圆心到直线的距离；又可得四点在以为直径的圆上，且是两圆的公共弦，设出点坐标，求出圆的方程可得直线方程，即可得出定点. 【详解】由圆得圆心，半径， 由题意可得, 在中，， ， 可知当垂直直线时，， 所以四边形的面积的最小值为， 可得四点在以为直径的圆上，且是两圆的公共弦， 设，则圆心为，半径为， 则该圆方程为， 整理可得， 联立两圆可得直线AB的方程为，即 可得当时，，故直线过定点. 故答案为：；. 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线的方程为． （Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，-3），求直线的方程； （Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 【答案】（1）（2）直线的方程为：或 【解析】 【详解】试题分析：（1）由直线与垂直，可设直线的方程为：，将点 代入方程解得，从而可得直线的方程；(2)由直线与平行，可设直线的方程，由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得可得直线的方程. 试题解析：（1）设直线的方程为： 直线过点（1，-3）， 解得 直线的方程为：． (2)设直线的方程为： 令，得；令，得 则，得 直线的方程为：或． 16. 某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内读书者进行年龄调查，随机抽取了一天中40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段： ，，，，，，得到的频率分布直方图如图所示. （1）估计这40名读书者中年龄分布在区间上的人数； （2）估计这40名读书者年龄的众数和第80百分位数； （3）从年龄在区间上的读书者中任选两名，求这两名读书者年龄在区间上的人数恰为1的概率. 【答案】（1）30 （2）众数为55；第80百分位数为66 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据频率分布直方图求出频率，再根据频数的计算方法可得答案； （2）最高矩形中点横坐标即为众数；根据百分位数的定义可求得样本的第80百分位数； （3）计算抽取的人中，位于的有2人，记为，数学成绩位于的有4人，记为，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，年龄在区间上的频率为： 所以40名读书者中年龄分布在区间上的人数为： 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，40名读书者年龄的众数约为55； 年龄在区间上的频率为： 年龄在区间上的频率为：， 故第80百分位数位于之间，设为， 所以，解得， 所以这40名读书者年龄的第80百分位数约为66. 【小问3详解】 由频率分布直方图知：年龄在区间上的读书者有人， 分别记为，年龄在区间上的读书者有人，分别记为， 从上述6人中选出2人，则有，共15种情况； 其中恰有1人在的情况有，共8种情况； 所以恰有1人在的概率为. 17. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段AB的中点， （1）求点M的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点C，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点，根据题意得到，代入圆，即可求解； （2）根据题意，设直线，求得圆心到直线的距离为，得到，结合基本不等式，求得最小值，进而求得直线的方程. 【小问1详解】 解：设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 解：过点定点的直线与曲线交于两点，则直线的斜率一定存在且不为， 设直线，即， 则圆心到直线的距离为， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以时，取得最大值，此时，解得或， 所以取得最大值，此时直线的方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，平面，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面平面， 所以， 又因为， 所以，而平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量线面角夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为平面平面， 所以，而， 于是建立如图所示的空间直角坐标系， ， 由（1）可知：平面， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则有， 设平面与平面夹角为， ； 【小问3详解】 设，设， 于是有， ，由（2）可知平面的法向量为， 假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去， 即. 19. 圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆 （1）求圆C与圆M的根轴l； （2）已知点P为根轴l上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，当最小时，求直线的方程； （3）给出定点，设N，Q分别为根轴和圆M上的动点，求的最小值及此时点N的坐标. 【答案】（1）； （2）； （3）的最小值为，此时. 【解析】 【分析】（1）先求出圆C和圆M的圆心C和M以及半径和，接着由列式化简即可得解. （2）先由题意求得，进而结合求得取得最小值时亦即取得最小值时，接着求出此时的点P坐标，再求出以线段为直径的圆的方程，从而求出该圆与圆C的公共弦所在直线方程即可得解. （3）先求出关于根轴对称的点，接着得，从而得与圆M和根轴l相交的点和使得最小，进而求得的最小值，再由联立根轴的方程即可求出. 【小问1详解】 由题圆的圆心为，半径为；圆圆心为，半径为， 设点为圆C与圆M的根轴l上的任意一点， 则由题可得，即， 整理得，即圆C与圆M的根轴l为直线. 【小问2详解】 由题意可知且，， 设与相交于点H， 则， 又， 所以，所以取得最小值时即为取得最小值时， 又，所以取得最小值时亦即取得最小值时， 而取得最小值时，且该最小值为圆心C到根轴l的距离为， 此时即， 联立，故此时， 所以此时中点坐标为， 所以以线段为直径的圆的方程为，即， 则是该圆与圆C的公共弦，所以两圆方程相减即为直线的方程为：即. 【小问3详解】 设关于根轴对称的点为， 则，故， 则由三角形两边之和大于第三边可得， 连接，则此时与圆M和根轴l相交的点和使得最小为， 且此时即， 联立，即此时， 所以的最小值为，此时. 【点睛】关键点睛：求解直线的方程的关键点1是将转化为，从而求得取得最小值时亦即取得最小值时，进而求出此时的点P坐标，关键点2是求出以线段为直径的圆的方程，从而将直线的方程转化为该圆与圆C的公共弦所在直线方程而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $