精品解析：北京市平谷中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

平谷中学2024至2025学年高二年级上期中考试数学试卷 2024.11 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 某工厂有共五个车间，各车间人数所占比例依次为：车间，车间车间车间车间．现采用等比例分层抽样的方法，从该工厂所有人中抽取300人作为样本，则该样本中得到车间或车间的人数共为（ ） A. 195 B. 165 C. 120 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比例分层抽样的概念列式可求解． 【详解】根据等比例分层抽样的方法，该样本中得到车间或车间的人数共为． 故选：B． 2. 已知向量，，并且，则实数x的值为（ ） A. 10 B. -10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据空间向量垂直的充分必要条件是其数量积为零，即，解出即可. 【详解】解：∵， ∴， 解得. 故选：B. 【点睛】本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题.向量等价于. 3. 圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可. 【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为， 则圆的方程为，又点在圆上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为． 故选：A 4. 某校举办知识竞赛，将人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下．则根据频率分布直方图，下列结论正确的是（ ） A. 中位数估计为 B. 众数估计为 C. 平均数估计为 D. 第百分位数估计为 【答案】C 【解析】 【分析】设频率分布直方图中与所对应的纵轴为，根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出，再根据平均数、中位数、百分位数及众数的计算规则计算可得. 【详解】设频率分布直方图中与所对应的纵轴为， 则，解得， 所以平均数为，故C正确； 众数为，故B错误； 因为，所以中位数为，故A错误； 因为，第百分位数估计为，故D错误； 故选：C 5. 圆的圆心到直线的距离是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的方程得出圆心坐标（1，0），直接依据点到直线的距离公式可以得出答案. 【详解】圆的圆心坐标为（1，0）， ∴圆心到直线的距离为. 故选：A. 【点睛】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题型. 6. 设不同直线：，：，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C. 点睛：充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件． 2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件． 7. 在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，因为二面角为直二面角，可得平面平面， 又因为平面平面，，且平面， 所以平面， 所以①正确； 对于②中，由平面，且平面，可得， 又因为，且，平面， 所以平面，所以②正确； 对于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正确； 对于④，中，因为平面，且平面，可得平面平面， 若平面平面，且平面平面，可得平面， 又因为平面，所以， 因为与不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D错误. 故选：C. 8. 从甲袋中摸出1个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则可能是（ ） A. 2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率 C. 至少有1个红球的概率 D. 2个球中恰有1个红球的概率 【答案】C 【解析】 【分析】运用概率计算公式分别计算四个选项中事件的概率即可. 【详解】记4个选项中的事件依次分别为A，B，C，D， 则，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ．故D错误. 故选：C． 9. 已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，向量的模，向量的数量积，建立方程，分析方程的解的个数即可得出答案. 【详解】当 时，，有无数组解，故A错误； 当时，，因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 故方程有且仅有一组解，故B正确； 当时，，当或时方程成立，方程有无数组解，故C错误； 当时，即，即，方程有无数组解，故D错误. 故选：B 10. 如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（ ） A. B. 点D到平面的距离为 C. 点D到直线的距离为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出图1中点 A,B,D,M的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点A,B,D,M 的坐标，再逐项判断作答. 【详解】在图1中，由，得，，，， 在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，得，A正确． 设平面的法向量为，， 则，即，取，则，， 所以平面的一个法向量， 所以点D到平面的距离为，B正确． 取，， 则，，所以点D到直线的距离为，C错误． 平面的一个法向量为， 则平面与平面夹角的余弦值为，D正确. 故选：C. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 11. 直线（a为常实数）的倾斜角的大小是_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，求出直线斜率，即可得出倾斜角. 【详解】设直线倾斜角为，直线可化为，斜率为， 则，所以. 故答案为：. 12. 经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆的圆心，直线斜率，通过点斜式求直线方程. 【详解】因为圆，即，所以圆心为， 又直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为， 所求直线的方程为，即. 故答案为：. 13. 某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲在该商区临时停车不超过4小时，若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，则甲停车付费恰好6元的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概率公式可解答。 【详解】设“甲临时停车付费恰为元”为事件， 则． 所以甲临时停车付费恰为元的概率是． 故答案为：. 14. 一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽为___________米. 【答案】16 【解析】 【分析】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴，以过拱顶的竖线为纵轴，建立直角坐标系，根据题意可以求出找到一个点，代入可以求出圆的方程，最后可以求出当水面下降2m后,水面宽的大小. 【详解】解：以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示： 由题意可知：设圆的方程为：(其中为圆的半径),因为拱顶离水面2m，水面宽12m， 所以设，代入圆的方程中得：，所以圆的方程为：, 当水面下降2m后,设代入圆的方程中得，解得：，所以水面宽为16米， 故答案为：. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，给出下列四个结论： ①当为线段的中点时，两点之间距离的最小值为； ②当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值； ③存在点，，使得平面； ④当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】对于①，根据垂线段最短，结合等边三角形图形特点进行计算即可； 对于②，根据三棱锥体积公式进行判断即可； 对于③，根据线面垂直的判定定理得到平面，进而判断即可； 对于④，根据正方体图形特点找到截面，进而求解周长即可. 【详解】对于①，当为线段的中点时，连接，如图所示， 则为线段的中点，是边长为的正三角形， 两点之间距离的最小值为到的垂线段长度， 此时，故①错误； 对于②，当为线段的中点时，连接，如图所示， 显然，到平面的距离为定值，面积为定值， 结合三棱锥体积公式可知，三棱锥的体积为定值，故②正确； 对于③，当与重合，与重合时，如图所示， 由正方体可知平面，， 因为平面，所以， 又因为平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 同理，， 又因为平面，， 所以平面，即平面， 所以存在点，，使得平面，故③正确； 对于④，当为靠近点的三等分点时，延长交于点， 取中点，连接，如图所示， 由得四边形是平行四边形，所以 ， 由可知，即， 所以是中点，又因为是中点，所以,， 所以平面截该正方体所得截面为等腰梯形， 在直角中，，同理， 所以截面的周长为, 即当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为，故④错误. 故答案为：②③ 【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有： （1）定义法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解； （2）空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解； （3）转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解. 三、解答题共6小题，共8B分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 求下列直线方程 （1）已知，，，在中： （ⅰ）求BC边所在的直线方程 （ⅱ）求BC边上的垂直平分线所在直线的方程， （2）已知点，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程. 【答案】（1）（i）；（ii）. （2）或. 【解析】 【分析】（1）（i）直接计算得，再写出点斜式方程再化简即可； （ii）求出中点，再根据垂直关系即可得到斜率，写出点斜式方程再化简即可； （2）首先验证直线斜率不存在的情况，再利用点斜式方程并结合点到直线的距离公式即可. 【小问1详解】 （i），则BC边所在的直线方程为， 即, （ii）线段的中点坐标为，即，由（i）知， 则其垂直平分线的斜率为， 则BC边上的垂直平分线所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，此时，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设，即， 则有，解得，此时. 综上所述直线的方程为或. 17. 已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程. （1）求顶点和的坐标； （2）求的外接圆的方程. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线，的方程求出点的坐标，由求出直线的斜率及方程，的方程与直线方程联立求出的坐标； （2）设圆的一般方程为，将三点坐标代入求出圆的一般方程求出的值即可求解. 【小问1详解】 由，解得，所以， ∵，且， ∴，∴，又， ∴直线的方程是，， 由，解得， 所以， 所以，； 【小问2详解】 设的外接圆的方程是， 将，，三点坐标分别代入，得 ，， 的外接圆的方程是. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的面积为4. （1）求角C的大小； （2）若，求边长c. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知由正弦定理得到，根据的范围可得答案； （2）利用和已知得到的值，然后结合余弦定理得到c的长度． 【小问1详解】 根据已知由正弦定理得， 得到， 因为，所以，所以，即． 【小问2详解】 由于，得， 由余弦定理，得， 所以. 19. 在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）： 题号 学生编号 1 2 3 4 5 1 × √ √ √ √ 2 √ √ √ √ × 3 √ √ √ √ × 4 √ √ √ × × 5 √ √ √ √ √ 6 √ × × √ × 7 × √ √ √ × 8 √ × × × × 9 √ √ × × × 10 √ √ √ √ × （1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数： 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度 （2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率； （3）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度（）.规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理. 【答案】（1） 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2 24人；（2）；（3）是合理的. 【解析】 【分析】（1）根据已知数据，进行统计，即可容易填表所得结果；结合实测难度，即可求得答对第5题的人数； （2）根据题意求得所有抽取的可能以及满足题意的可能，用古典概型的概率求解公式即可容易求得结果； （3）根据公式，即可求得对应的，则根据题意即可进行判断. 【详解】（1）每道题实测的答对人教及相应的实测难度如下表： 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2 所以，估计120人中有人答对第5题. （2）记编号为的学生为，从这5人中随机抽取2人， 不同的抽取方法有10种.其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为 ，，，，，，共6种. 所以，从编号为1~5的学生中随机抽取2人， 恰好有1人答对第5题的概率为. （3）为抽样的10名学生中第题的实测难度，用作为这120名学生第题的实测难度. ， 因为，所以，该次测试的难度预估是合理的. 【点睛】本题考查古典概型的概率求解，以及数据统计和估计，属综合基础题. 20. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：取的中点N，连接， 如图所示：为棱的中点，， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面． （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证四边形是平行四边形，可知，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）先利用面面垂直的性质定理证明平面，再证，，两两垂直，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，（ⅰ）利用向量法求平面与平面的夹角即可；（ⅱ）设，利用向量法表示出点到平面的距离，可得关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而，  ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点，                      （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为，           ， ∴平面PDM与平面BDM的余弦值为； （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设，则，       由（2）知平面的一个法向量为，， ∴点Q到平面的距离是，  ． 21. 设n为正整数，集合．对于集合A中的任意元素和，记． （1）当时，若，，求和的值； （2）当时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合B中元素个数的最大值； （3）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由． 【答案】（1）2,1； （2）最大值为4； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干定义写出M（）和M（）的值； （2）分析出数对的四种情况，得出集合中元素的情况； （3）使用反证法证明． 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 考虑数对只有四种情况：、、、， 相应的分别为、、、， 所以中的每个元素应有奇数个， 所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）： 、、、， 、、、， 对于任意两个只有1个1的元素，都满足是偶数， 所以集合满足题意， 假设中元素个数大于等于，就至少有一对互补元素， 除了这对互补元素之外还有至少个含有个的元素， 则互补元素中含有个的元素与之满足不合题意， 故中元素个数的最大值为． 【小问3详解】 ， 此时中有个元素，下证其为最大． 对于任意两个不同的元素，满足， 则，中相同位置上的数字不能同时为， 假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有， 所以除外至少有个元素含有， 根据元素的互异性，至少存在一对，满足， 此时不满足题意， 故中最多有个元素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平谷中学2024至2025学年高二年级上期中考试数学试卷 2024.11 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 某工厂有共五个车间，各车间人数所占比例依次为：车间，车间车间车间车间．现采用等比例分层抽样的方法，从该工厂所有人中抽取300人作为样本，则该样本中得到车间或车间的人数共为（ ） A. 195 B. 165 C. 120 D. 45 2. 已知向量，，并且，则实数x的值为（ ） A. 10 B. -10 C. D. 3. 圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 某校举办知识竞赛，将人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下．则根据频率分布直方图，下列结论正确的是（ ） A. 中位数估计为 B. 众数估计为 C. 平均数估计为 D. 第百分位数估计为 5. 圆的圆心到直线的距离是（ ） A. B. C. 1 D. 6. 设不同直线：，：，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 从甲袋中摸出1个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则可能是（ ） A. 2个球不都是红球的概率 B. 2个球都是红球的概率 C. 至少有1个红球的概率 D. 2个球中恰有1个红球的概率 9. 已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（ ） A. B. 点D到平面的距离为 C. 点D到直线的距离为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分 11. 直线（a为常实数）的倾斜角的大小是_______________． 12. 经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是__________. 13. 某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲在该商区临时停车不超过4小时，若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，则甲停车付费恰好6元的概率为__________. 14. 一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽为___________米. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，给出下列四个结论： ①当为线段的中点时，两点之间距离的最小值为； ②当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值； ③存在点，，使得平面； ④当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为. 其中所有正确结论的序号是___________. 三、解答题共6小题，共8B分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 求下列直线方程 （1）已知，，，在中： （ⅰ）求BC边所在的直线方程 （ⅱ）求BC边上的垂直平分线所在直线的方程， （2）已知点，求过点P且与原点距离为3的直线l的方程. 17. 已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程. （1）求顶点和的坐标； （2）求的外接圆的方程. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的面积为4. （1）求角C的大小； （2）若，求边长c. 19. 在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示： 题号 1 2 3 4 5 考前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）： 题号 学生编号 1 2 3 4 5 1 × √ √ √ √ 2 √ √ √ √ × 3 √ √ √ √ × 4 √ √ √ × × 5 √ √ √ √ √ 6 √ × × √ × 7 × √ √ √ × 8 √ × × × × 9 √ √ × × × 10 √ √ √ √ × （1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数： 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度 （2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率； （3）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度（）.规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理. 20. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 21. 设n为正整数，集合．对于集合A中的任意元素和，记． （1）当时，若，，求和的值； （2）当时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合B中元素个数的最大值； （3）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $