精品解析：天津市第一中学2025届高三上学期数学统练8

天津一中2024-2025-1高三年级数学统练8 一、选择题 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义进行求解. 【详解】∵ ，， ∴ ，又， ∴ ， 故选：B. 2. 已知，为正实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用均值不等式，可证明；若，举反例可知不一定成立，即得解 【详解】由，为正实数，，当且仅当时等号成立 若，可得，故必要性成立； 当，此时，但，故充分性不成立； 因此“”是“”的必要不充分条件 故选：B 3. 函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析给定函数的奇偶性可排除两个选项，再对函数求导并求出在0处的导数值即可判断作答. 【详解】令，则其的定义域为， ， 则函数是奇函数，其图象关于原点对称，于是排除选项A，B； ， 于是得，即函数图象在原点处切线斜率大于0，显然选项C不满足，D满足. 故选：D 4. 已知函数，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的单调性，再根据对数函数、指数函数性质比较的大小后可得结论． 【详解】是增函数，是减函数，因此在是增函数，且此时． 在时是增函数，所以在定义域内是增函数． ， ，， 即，所以． 故选：A． 5. 在等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的基本量即可完成相应的计算. 【详解】设等比数列的公比为，由题意，，即， ，则，， 则，所以D正确. 故选：D. 6. 在等差数列中，前n项和为，若，，则在，，…，中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，，知，得最大值是，从而判断结果． 【详解】∵等差数列前n项和， 由，，得， ∴， 故为递减数列，当时，；当时，，所以最大值是， 则当时，且单调递增，当时，，∴最大． 故选：B． 7. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象 B. 是函数的一条对称轴 C. 是函数的一个对称中心 D. 函数在上的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移变换的原则，可判断A的正误；代入检验，根据余弦型函数的对称性，可判断B、C的正误，根据x的范围，可得的范围，结合余弦型函数性质，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：函数的图象向右平移个单位长度可得，故A错误. 对于B： ， 所以为函数的一条对称轴，故B正确； 对于C：， 所以不是函数的一个对称中心，故C错误； 对于D：因为，所以，根据余弦型函数性质可得， 当时，即时，有最小值，且为，故D错误. 故选：B 8. 已知函数满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（　　） A. B. (0，1) C. D. (0，3) 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得. 【详解】因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，则f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数， 则函数在上是减函数，有， 函数在上是减函数，有，即， 并且满足：，即，解和， 综上得， 所以a的取值范围为. 故选：A 9. 定义在R上的偶函数满足，且当时，若关于x的不等式的整数解有且仅有9个，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出示意图，根据数形结合解题即可. 【详解】因为定义在R上的偶函数满足， 所以，从而函数的周期为4， 根据函数性质画出函数的示意图， 关于x的不等式的整数解有且仅有9个， 从而满足 ，解得实数m的取值范围为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的对称性，奇偶性，周期性等函数性质，利用数形结合进行解题，数形结合思想是高中数学思想方法中非常重要的一个思想方法，平时在学习中注意理解消化吸收. 二、填空题 10. 计算：__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用复数的除法运算化简即可. 【详解】. 故答案为： 11. 在的二项展开式中，的系数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出展开式的通项，然后令的指数为2，求出的值，在代入通项中进行化简，即可求得结果. 【详解】的展开式的通项公式为：， 令，解得， 所以的系数是. 故答案为：. 12. 过点且与函数图象相切的直线方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点，由导数的几何意义求出切线的斜率，即可得切线方程，将点代入切线方程可得的值，即可求解. 【详解】设切点为，则， 由可得：， 由导数的几何意义可知：切线的斜率为， 所以切线方程为， 将点代入切线方程可得， 所以，解得， 所以切线方程为：即， 故答案为：. 13. 已知三棱锥如图所示，、、两两垂直，且，点分别是棱的中点，点是棱靠近点的四等分点，则空间几何体的体积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作，交于点，证明出平面，计算出三棱锥、 的体积，可得出，即可得解. 【详解】过点作，交于点， 由，，，平面，得平面， 则平面，且，于是， 由、分别为、的中点，得， 因此，， 所以. 故答案为： 14. 已知正实数，满足，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用“1”的代换，转化为，利用基本不等式求解. 【详解】， ，当且仅当，时取等号． 所以则的最小值是， 故答案为： 15. 已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将已知转化为对于任意，恒成立，利用同构思想，构造函数，将不等式转化为，再结合函数的单调性转化为恒成立，利用参数分离，构造函数即可得解. 【详解】∵对于任意，，不等式恒成立 ∴对于任意，，即恒成立 当时，； 当，， 设，则，所以在上单调递增， 由，知，即，即 设，，求导 令，得 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ∴在处取得极大值，且为最大值， 所以时，不等式恒成立 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，利用导数研究函数的极值与最值，着重考查了函数的构造思想、等价转化思想与导数在函数中的综合应用，本题的解答中把恒成立问题利用同构思想转化为，再利用函数的单调性及求参方法求解. 三、解答题 16. 已知在中，三个内角的对边分别为，若，. （1）求角的大小； （2）若点为上一点，满足，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式，结合三角形内角和定理，通过解一元二次方程，结合特殊角的余弦值、正弦定理、同角三角函数关系式中商关系进行求解即可； （2）由（1），可以得知为等腰三角形，顶角，由的面积建立等式关系，结合三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：由得， 即，解得或 因为，所以，. 根据正弦定理知，代入得， 因为，， 所以，故， 因此或（舍去），故. 【小问2详解】 解：由（1）知为等腰三角形，顶角. 设，由， 即， 整理得，解得， 故. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若，，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，进而求出周期. （2）由（1）的结论求出，再利用同角公式、差角的余弦公式计算即得. 【小问1详解】 依题意，函数， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 由，得，， 所以 . 18. 如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知．//，，点P为线段EC的中点． （1）求证：∥平面CDE； （2）求直线DP与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为//，面，面， 所以//平面， 同理，//平面，又， 面，所以平面//平面， 因为平面， 所以//平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用面面平行的性质直接证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法处理即可. （3）用面面角的向量求法处理即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，故． 而四边形是正方形，所以， 又，以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系 ，则，，，，，，，． 设平面的法向量为， 则即 令，则，所以． 设直线与平面所成角的大小为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 取平面的一个法向量， 设平面与平面夹角的大小为， 则 所以平面与平面夹角的余弦值是． 19. 等比数列{an}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足a4＝4a32，数列{bn}的前n项和Sn＝，n∈N*，且b1＝1. （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）设cn＝，求证：； （3）设Rn＝a1b1+a2b2++anbn，Tn＝a1b1﹣a2b2++（﹣1）n-1anbn，n∈N*，求R2n+3T2n﹣1. 【答案】（1），bn＝n； （2）证明：由（1）得cn＝＝＝（）• ＝＝， 所以 ＝； （3）. 【解析】 【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，由题设条件列出q的方程，再结合a4＝4a32求出公比与首项，写出数列{an}的通项公式.利用整理得，得出数列是各项均为的常数列，从而求出bn； （2）由（1）得cn＝＝，利用裂项相消法求出，证明结论； （3）先利用错位相减法分别求出Rn、Tn，再求R2n+3T2n﹣1. 【详解】（1）解：设等比数列{an}的公比为q，依题意，有2a4＝2a5+4a6， 所以a4＝a，因为an＞0，所以q＞0，且2q2+q﹣1＝0，解得或q＝﹣1（舍），因为，所以所以 所以数列{an}的通项公式为. 当n≥2时，整理得（n﹣1）bn＝nbn﹣1， 即所以数列是各项均为的常数列.所以，即bn＝n， 所以数列{bn}的通项公式为bn＝n； （2）略； （3）解：∵Rn＝①， ∴＝（）2+2•（）3+…+n•（）n+1②， ∴由①﹣②可得： ＝＝ ∴，∴. 又③， ∴④， 由③﹣④可得： ＝＝ ∴，∴， ∴. 【点睛】结论点睛：本题考查了等差数列与等比数列的综合、数列的求和，其中裂项相消法求数列和的常见类型： （1）等差型，其中是公差为的等差数列； （2）无理型； （3）指数型； （4）对数型. 20. 已知函数（是自然对数的底数，且）. （1）求的单调区间； （2）若是函数在上的唯一的极值点，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； （2）求出函数的导数，得到在内无变号根或无根；设，通过讨论的范围，求出函数的最小值，得到关于的不等式，解出即可； （3），，令，通过讨论的范围，去掉绝对值，结合函数的零点个数，确定的取值范围即可． 【小问1详解】 ∵，∴ 当时，时，，单调递增，时，，单调递减； 当时，时，，单调递减，时，，单调递增； 综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 由题意可求得 ， 因为是函数在上的唯一的极值点， 所以在内无变号根或无根. 设，则， ①当且时，，， 所以在上单调递增，，符合条件. ②当时，令得， ，，递减，，，递增. 所以，即； 综上所述，的取值范围为 【小问3详解】 由题意得：，， 令，则，所以在上单调递增，在上单调递减. （ⅰ）当时，，则，所以. 因为，，所以，因此在上单调递增. （ⅱ）当时，，则，所以. 因为，，，∴，即，又， 所以，因此在上单调递减. 综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当时，， 因为函数有两个不同的零点，所以， 即且， 而当且时， ①当时，， ∴，故在内有1个零点； ②当时，， ∴， 故在内有1个零点； 所以当且时，有两个零点， 故的取值范围为. 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中2024-2025-1高三年级数学统练8 一、选择题 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，为正实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若，则有（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 在等差数列中，前n项和为，若，，则在，，…，中最大的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象 B. 是函数的一条对称轴 C. 是函数的一个对称中心 D. 函数在上的最小值为 8. 已知函数满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（　　） A. B. (0，1) C. D. (0，3) 9. 定义在R上的偶函数满足，且当时，若关于x的不等式的整数解有且仅有9个，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 计算：__________. 11. 在的二项展开式中，的系数是__________． 12. 过点且与函数图象相切的直线方程为_________. 13. 已知三棱锥如图所示，、、两两垂直，且，点分别是棱的中点，点是棱靠近点的四等分点，则空间几何体的体积为_____． 14. 已知正实数，满足，则的最小值是______． 15. 已知，对任意的，不等式恒成立，则的最小值为___________. 三、解答题 16. 已知在中，三个内角的对边分别为，若，. （1）求角的大小； （2）若点为上一点，满足，且，求的面积. 17. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若，，求的值． 18. 如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知．//，，点P为线段EC的中点． （1）求证：∥平面CDE； （2）求直线DP与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 等比数列{an}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足a4＝4a32，数列{bn}的前n项和Sn＝，n∈N*，且b1＝1. （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）设cn＝，求证：； （3）设Rn＝a1b1+a2b2++anbn，Tn＝a1b1﹣a2b2++（﹣1）n-1anbn，n∈N*，求R2n+3T2n﹣1. 20. 已知函数（是自然对数的底数，且）. （1）求的单调区间； （2）若是函数在上的唯一的极值点，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $