精品解析：云南省长水教育集团2024-2025学年高三上学期11月期中质量检测数学试题

长水教育集团2024~2025学年第一学期质量检测（11月） 高三年级数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用子集关系来求解参数，最后要检验元素的互异性. 【详解】因为，所以， 由， 所以或， 解得或或1， 经检验集合中元素的互异性，把或舍去， 所以. 故选：A. 2. “，”成立的充分必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】讨论是否为0，当时，显然无解，故，用表示出方程的解，令结果大于0，求得的取值范围. 【详解】当即时，，，所以； 当即时，，. 故选：C. 3. 国家射击运动员在某次训练中的8次射击成绩（单位：环）分别为10，7，8，10，，10，8，6，其中为整数，若这8次射击成绩的中位数为9，则（ ） A. 6 B. 7 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】按中位数的定义结合选项逐一验证，即可求解. 【详解】将成绩（除了）从小到大排列为：6，7，8，8，10，10，10， 结合选项，只有时，这8次射击成绩的中位数. 故选：D. 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件对进行变形，得到，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以，所以， 当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 故选：B. 5. 已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由面积求得侧棱与底面边长的关系，再根据线面角定义求解． 【详解】如图，正四棱锥中，是底面中心，是中点，则是棱锥的高，是斜高，是侧棱与底面所成的角， 设底面边长为，， 由已知，则，又， 所以，而， 所以， . 故选：D． 6. 设向量与的夹角为，定义，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算法则求得与，进而求得，再代入，利用数量积求模长公式即可得解. 【详解】，，， 即，则， 故，得， ，， . 故选：D. 7. 已知数列的首项，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 8. 设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件求出点坐标，代入中形成齐次方程，解出离心率即可. 【详解】 如图：由题意不妨设在第一象限，知， 因为，所以， 所以， 则，且，即， 又由，所以，又，即， 结合解得， 代入中，整理得， 即，解得（舍）或. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. 的虚部为2 D. 点在直线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的运算化简，再由复数和共轭复数的概念，复数的几何意义对选项进行判断. 【详解】， ，故A正确； ，故B错误； 的虚部为2，故C正确； 点坐标代入直线成立，故D正确. 故选：ACD. 10. 设为正实数，已知函数，则下列结论正确的是（    ） A. 当时，函数的图象的一条对称轴为 B. 已知，，且的最小值为，则 C. 当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数 D. 若在区间上单调递增，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称轴公式计算判断A，根据函数最值结合函数的图象特征得出参数判断B,应用平移化简结合诱导公式得出函数判断C,结合正弦函数的单调性列出不等式计算判断D. 【详解】A选项，当时，函数的图象的对称轴为,即,不能取到,A错误； B选项，为的最小值点，为的最大值点，则，即，且，所以，B正确； C选项，当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数，故C正确； D选项，∵，则， 若在区间上单调递增，则，解得，D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数的极值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 有三个零点 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据极值点的概念可得，进而判断函数单调性及零点情况，判断各选项. 【详解】由， 得， 由是函数的极值点，得，解得， 故函数，， 令，解得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 故为极小值点，A选项正确； 又，，，， 所以函数分别在，，上各有一个零点，共三个零点，B选项正确； 又在上单调递减，且， 所以， 又，故，C选项错误； 同理， 且， ，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求值 【详解】 . 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为，若以轴正方向的射线绕焦点逆时针旋转，与抛物线交于点，过作轴，交准线于点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】联立直线的方程和抛物线方程得到的坐标，从而利用三角形面积公式计算出结果. 【详解】由题知焦点，准线为，直线的方程为：， 联立，可得， 所以或（舍），， ， 所以． 故答案为：. 14. 已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意计算可得，，，再设出该圆台的外接球球心，借助球的性质得到，再代入数据计算即可得. 【详解】如图，设、分别为上下底面圆心，为母线，为点在底面的投影， 为该圆台的外接球球心， 由该圆台的侧面积为，则有， 即， 由下底面半径比上底面半径大，则有， 由母线与下底面所成角的正切值为，则有，即， 又，即有， 则，即，则， 则有， 即，即，即， 设该圆台的外接球半径为，则, 故该圆台的外接球体积. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于设出该圆台的外接球球心，从而借助勾股定理得到. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求B； （2）若，，求c.（提示：.） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边再结合余弦定理求解即可； （2）由正弦定理得到，结合求得，，然后由正弦定理求解边即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得：，即， 所以由余弦定理的：， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，， 由正弦定理得，所以， 所以， 所以，因为， 所以由正弦定理得：，所以. 16. 如图，长方体中，点分别在上，且，. （1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为平面平面，所以， 又且，平面，所以平面， 且平面，故，同理，， 平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证，，根据线面垂直的判定定理证明平面. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量求二面角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 在平面中， 设平面的一个法向量为， 则，可取 由（1）知，平面的一个法向量为 设平面与平面的夹角为， 则 故所求的夹角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解， （2）将问题转化为存在，成立，构造函数，求导得函数的最值即可求解． 【小问1详解】 ， 解得， 因为，所以， 当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 ， 当时，由可得不成立， 当时，， 令恒成立， 故在单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 18. 设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． （1）求点的轨迹的方程； （2）过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）为定值，且定值为 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解， （2）由题意，设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，结合条件求出即可． 【小问1详解】 设，到定直线的距离为则， 故，平方后化简可得， 故点的轨迹的方程为： 【小问2详解】 由题意，, 设直线的方程为，,，,， 由，可得， 所以，． 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，，此时， 综上，为定值． 19. 现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏. （1）甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大（直接写出结果，不用写过程）； （2）甲将游戏币向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币的个数，求的分布列； （3）将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 【答案】（1）， （2）分布列： X 0 1 2 3 P （3）公平，理由：不妨假设按照的顺序抛这n枚游戏币；记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为； 于是； 即，即. 记，则， 故数列为首项是，公差为的等差数列； 故，则， 故，则，因此公平. 【解析】 【分析】（1）依题意可得随机变量服从二项分布，即可得出期望值，依据二项式性质可得时，最大. （2）写出的所有可能取值，求出对应概率即可求得分布列； （3）根据题意可求得，可知游戏规则是公平的. 【小问1详解】 依题意得：每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为， 故，于是， 当时，最大. 【小问2详解】 记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”， 则，Y可取.由事件相互独立， 则. ； ； ； 故分布列为： X 0 1 2 3 P 【小问3详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长水教育集团2024~2025学年第一学期质量检测（11月） 高三年级数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. “，”成立的充分必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 国家射击运动员在某次训练中的8次射击成绩（单位：环）分别为10，7，8，10，，10，8，6，其中为整数，若这8次射击成绩的中位数为9，则（ ） A. 6 B. 7 C. 9 D. 10 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 设向量与的夹角为，定义，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的首项，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. 的虚部为2 D. 点在直线上 10. 设为正实数，已知函数，则下列结论正确的是（    ） A. 当时，函数的图象的一条对称轴为 B. 已知，，且的最小值为，则 C. 当时,函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数 D. 若在区间上单调递增，则的取值范围是 11. 已知函数的极值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 有三个零点 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 13. 已知抛物线的焦点为，若以轴正方向的射线绕焦点逆时针旋转，与抛物线交于点，过作轴，交准线于点，则的面积为______． 14. 已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大，母线与下底面所成角的正切值为，则该圆台的外接球圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上的体积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求B； （2）若，，求c.（提示：.） 16. 如图，长方体中，点分别在上，且，. （1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 18. 设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． （1）求点的轨迹的方程； （2）过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 19. 现有n枚质地不同的游戏币，向上抛出游戏币后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这n枚游戏币玩游戏. （1）甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并写出当为何值时，最大（直接写出结果，不用写过程）； （2）甲将游戏币向上抛出，用表示落下时正面朝上游戏币的个数，求的分布列； （3）将这枚游戏币依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $