精品解析：广东省湛江市第二十中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

湛江市第二十中学2024年秋季学期期中测试 高二数学试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 命题人：sth 做题人：ly 一.单选题（每题5分，共8小题，满分40分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，若，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆中，，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 过直线上一点P向圆作切线，切点为Q，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 8. 已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二.多选题（每题6分，共3小题，满分18分） 9. 已知直线，，则（ ） A. 当时，直线的一个方向向量为 B. 若与相互平行，则或 C. 若，则 D. 若不经过第二象限，则 10. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 11. 圆与圆，下列说法正确的是（ ） A. 对于任意的，圆与圆始终相切 B. 对于任意的，圆与圆始终有四条公切线 C. 当时，圆被直线截得的弦长为 D. P，Q分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4 三.填空题（每题5分，共3小题，满分15分） 12. 已知空间向量和，则在上的投影向量为________(用坐标表示). 13. 已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍，则直线的方程为_________． 14. 椭圆的焦距为2，则__________． 四.解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）若a=2，求△ABC面积的最大值. 16. 某偏远县政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展种植产业，根据当地土壤情况，挑选了两种农作物，，鼓励每户选择其中一种种植.为了解当地农户对两种农作物的选择种植情况，从该县的甲村和乙村分别抽取了户进行问卷调查，所得数据如下：所有农户对选择种植农作物，相互独立． 村庄 农作物 甲村 乙村 A 250 150 B 250 350 （1）分别估计甲、乙两村选择种植农作物的概率； （2）以样本频率为概率，从甲、乙两村各随机抽取户，求至少有户选择种植农作物的概率； （3）经调研，农作物的亩产量为斤、斤、斤的概率分别为，，，甲、乙两村各有一农户种植了一亩农作物，求这两个农户中，甲村农户种植农作物的亩产量高于乙村的概率． 17. 设常数，已知直线：，：． （1）若，求的值； （2）若，求与之间的距离． 18. 已知平面四边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面. （1）证明：平面； （2）若是线段上一点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、． （1）若，求点坐标； （2）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程； （3）求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第二十中学2024年秋季学期期中测试 高二数学试卷 （试卷满分150分，考试时间120分钟） 命题人：sth 做题人：ly 一.单选题（每题5分，共8小题，满分40分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线方程求得斜率，再利用斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】解：因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角是， 故选：A 2. 已知空间向量，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标运算，即可进一步求解. 【详解】根据题意，由， 设， 即 解得：， 则有， 由此得． 故选：B. 3. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可 【详解】因为， 所以， 因为平面的法向量， 所以点到平面的距离. 故选：B 【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题 4. 已知椭圆中，，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆离心率的定义和的大小关系求解离心率的取值范围即可. 【详解】由椭圆， 则椭圆的离心率， 又因为，则， 所以. 故选：B 5. 过直线上一点P向圆作切线，切点为Q，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆C的半径和圆心，由勾股定理可得，当时最小，再由点到直线的距离公式可得答案. 【详解】因为圆C的半径为，所以， 当时，最小，因为圆C的圆心为， 所以，所以的最小值为． 故选：A. 6. 如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到，故. 【详解】为四面体的棱的中点，为的中点， 故，， ， 因为，所以， . 故选：A 7. 在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将所求直线转化为为两圆的公切线，结合两圆位置关系分析求解. 【详解】到点距离为3的点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆， 到点距离为1的点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 则所求直线即为两圆的公切线， 因为，且， 可知两圆相离，有4条公切线，所以符合题意的直线有4条. 故选：D. 8. 已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】易知圆的圆心是为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到，然后由求解. 【详解】如图所示： 由，得， 则， 则圆的圆心是为椭圆的左焦点， 则右焦点为， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， ， 故选：C 二.多选题（每题6分，共3小题，满分18分） 9. 已知直线，，则（ ） A. 当时，直线的一个方向向量为 B. 若与相互平行，则或 C. 若，则 D. 若不经过第二象限，则 【答案】CD 【解析】 【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将直线方程化简可得，结合一次函数的性质即可判断D. 【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为， ，A错误； 对B，若与相互平行，则，解得或， 当时，与重合，B错误； 对C，若，则，解得，故C正确； 对D，若不经过第二象限，，即， 则，解得，D正确. 故选：CD 10. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据即可算出的值；对于B，根据计算；对于C，根据计算即可；对于D，根据求出，从而可计算出. 【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，因为，所以，所以，故B错误； 对于C，假设，则， 所以，该方程组无解，故C正确； 对于D，因为，所以，解得， 所以，，所以，故D错误. 故选：AC. 11. 圆与圆，下列说法正确的是（ ） A. 对于任意的，圆与圆始终相切 B. 对于任意的，圆与圆始终有四条公切线 C. 当时，圆被直线截得的弦长为 D. P，Q分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】 求出圆心距，判断两圆位置关系絈可判断AB，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长判断C，由两圆心距离可判断D． 【详解】由已知，，等于两圆半径之和，两圆始终相切，A正确，B错误； 时，，到已知直线的距离为，则弦长为，C正确； 由于，∴，共线时最大值．D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：本题考查圆与圆的位置关系．判断方程是求出圆心距离，根据与两圆半径和与差的大小关系判断，当两圆外离时，两圆有4条公切线，外切时有3条公切线，相交时有2条公切线，内切时有1条公切线，内含时无公切线． 三.填空题（每题5分，共3小题，满分15分） 12. 已知空间向量和，则在上的投影向量为________(用坐标表示). 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标运算可得在上的投影向量的坐标. 【详解】已知空间向量和， 则在上的投影向量为 . 故答案为：. 13. 已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍，则直线的方程为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】当纵截距为时，设直线方程为，代入点求得的值，当纵截距不为时，设直线的截距式方程，代入点求解. 【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，所以直线的方程为； ②当直线在两坐标轴上的截距均不为时， 设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为， 则直线的方程为， 又因为直线过点，所以， 解得：， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或， 故答案为：或． 14. 椭圆的焦距为2，则__________． 【答案】3或5 【解析】 【分析】本题首先可根据焦距为得出，然后将椭圆分为焦点在轴上以及焦点在轴上两种情况，分别进行计算即可得出结果． 【详解】解：因为椭圆的焦距为，所以， 若焦点在轴上，则有，解得； 若焦点在轴上，则有，解得； 综上所述，或． 故答案为：3或5． 四.解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且. （1）求A； （2）若a=2，求△ABC面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理化角为边，再结合余弦定理、商数关系可求得； （2）由余弦定理结合基本不等式求得的最大值后可得面积最大值． 【小问1详解】 因为，由余弦定理得， 整理得， 因为，所以，所以，则，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以三角形ABC的面积最大值为． 16. 某偏远县政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展种植产业，根据当地土壤情况，挑选了两种农作物，，鼓励每户选择其中一种种植.为了解当地农户对两种农作物的选择种植情况，从该县的甲村和乙村分别抽取了户进行问卷调查，所得数据如下：所有农户对选择种植农作物，相互独立． 村庄 农作物 甲村 乙村 A 250 150 B 250 350 （1）分别估计甲、乙两村选择种植农作物的概率； （2）以样本频率为概率，从甲、乙两村各随机抽取户，求至少有户选择种植农作物的概率； （3）经调研，农作物的亩产量为斤、斤、斤的概率分别为，，，甲、乙两村各有一农户种植了一亩农作物，求这两个农户中，甲村农户种植农作物的亩产量高于乙村的概率． 【答案】（1）甲、乙两村选择种植农作物的概率分别为， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据表中数据，利用古典概型的概率求解； （2）根据甲村和乙村选择种植农作物与种植农作物的概率，利用独立事件和互斥事件的概率求得随机抽取的户中有户选择和有户选择种植农作物的概率，再利用对立事件的概率求解； （3）分甲村种植农作物的亩产量为斤，乙村为800斤和甲村为1000斤，乙村为800斤或900斤三类，利用独立事件的概率求解. 【小问1详解】 解：记“甲村选择种植农作物”为事件，“乙村选择种植农作物”为事件， 则，． 【小问2详解】 因为甲村选择种植农作物与种植农作物的概率估计值分别为，， 乙村选择种植农作物与种植农作物的概率估计值分别为，． 随机抽取的户中有户选择种植农作物的概率为： ． 有户选择种植农作物的概率为： ． 记“至少有户选择种植农作物”为事件， 则． 【小问3详解】 记“甲村农户种植农作物的亩产量高于乙村”为事件， 则． 17. 设常数，已知直线：，：． （1）若，求的值； （2）若，求与之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由一般式下两直线垂直的充要条件可得，即可求解；（2）根据题意，由一般式下两直线平行的必要条件可求得的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案． 【小问1详解】 根据题意，直线：，：， 若，则，解可得a 【小问2详解】 根据题意，若，则有，解可得或， 当时，直线：，：，两直线重合，不符合题意， 当时，直线：，：，即，两直线平行，此时与之间的距离 18. 已知平面四边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面. （1）证明：平面； （2）若是线段上一点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因，，故， 又，且，故 在直角梯形中，， 由可得； 因平面平面，，平面平面， 则平面，又平面， 则，又，因平面， 故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理证，再由面面垂直证平面，得，可得平面； （2）依题意建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接交于，因为，， 故，，故， 则为等腰直角三角形，故， 又，故，为靠近的三分点， 又因为平面平面，平面，平面， 故，则为靠近的三分点， 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，可取， 因为靠近的三分点，则， 故， ， 设平面的法向量为， 则由，可取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、． （1）若，求点坐标； （2）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程； （3）求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标． 【答案】（1）或；（2）或；（3） 【解析】 【详解】试题分析：解：（Ⅰ）由条件可知，设，则解得或，所以或 (Ⅱ)由条件可知圆心到直线的距离，设直线的方程为， 则，解得或 所以直线的方程为或 （III）设，过、、三点的圆即以为直径的圆， 其方程为 整理得与相减得 即 由得 所以两圆的公共弦过定点 考点：两点间的距离公式；点到直线的距离公式；圆的方程． 点评：本题第一、二小题较容易，第三小题较难．但第三小题解法巧妙，使得问题简化．这种解法是这样的，将两圆的方程相减，得到一条直线的方程，由于两圆相交于两点，因而这条直线也经过这两点，故这条直线就是弦所在的直线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $