精品解析：广东省佛山市第一中学2024届高三教学情况测试（三）数学试题A卷

佛山一中2023~2024学年度高三教学情况测试（三） 高三数学 本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，为单位向量，且，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 从社会效益和经济效益出发，某企业追加投入资金进行新兴产业进一步优化建设．根据规划，本年度追加投入4000万元，以后每年追加投入将比上年减少，本年度企业在新兴产业上的收入估计为2000万元，由于该项建设对新兴产业的促进作用，预计今后的新兴产业收入每年会比上一年增加1000万元，则至少经过（ ）年新兴产业的总收入才会超过追加的总投入． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 设函数，则方程的实根个数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有三名选手各比赛两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场. 则上述三名选手之间比赛的场数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ） A. 对应的点在复平面的第四象限 B. 是一个纯虚数 C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得是减函数； B. 存在实数，使得恰有1个零点； C. 存在实数，使得有最小值； D. 存在实数，使得恰有2个极值点． 11. 如图，已知矩形中，，.点为线段上一动点（不与点重合），将沿向上翻折到，连接，.设，二面角的大小为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则存在，使得平面 C. 若，则直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 点到平面的距离的最大值为，当且仅当且时取得该最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 中国客家博物馆坐落于有“世界客都”之称的广东省梅州市城区，是一间收藏、研究、展示客家历史文化的综合性博物馆，其主馆是一座圆台形建筑，如图.现有一圆台，其上、下底面圆的半径分别为3米和6米，母线长为5米，则该圆台的体积约为______立方米.（结果保留整数） 13. 设,则的最大值为 ________． 14. 已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，直线过点交抛物线于两点，且.直线分别过点且均与轴平行，在直线上分别取点（均在点的右侧），和的角平分线相交于点，则的面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解高中学生对数学课是否喜爱是否和性别有关，随机调查220名高中学生，将他们的意见进行了统计，得到如下的列联表. 喜爱数学课 不喜爱数学课 合计 男生 90 20 110 女生 70 40 110 合计 160 60 220 （1）根据上面的列联表判断，能否有的把握认为“喜爱数学课与性别”有关； （2）为培养学习兴趣，从不喜爱数学课的学生中进行进一步了解，从上述调查的不喜爱数学课的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“男生”的概率. 参考公式： P（） 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.其中，，点为弧的中点，且四点共面. （1）证明：四点共面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求长. 17. 已知函数f(x)=tanx-sinx，g(x)=x-sinx，x∈ （1）证明∶关于x的方程f(x)-g(x)=x在上有且仅有一个实数根； （2）当x∈时，f(x)≥ag(x)，求实数a的最大值. 18. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，直线与双曲线C交于两点，点在双曲线C上. （1）求线段中点的坐标; （2）若，过点D作斜率为的直线与直线交于点P，与直线交于点Q，若点满足，求的值. 19. 已知有穷数列满足．给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列． （1）判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由； （2）若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值； （3）若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佛山一中2023~2024学年度高三教学情况测试（三） 高三数学 本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶次根号下大于等于零求解集合A，根据指数函数值域求解集合B，再利用并集运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：若，则，故不充分； 当时，无意义，故不必要， 故选：D 3. 已知，为单位向量，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量夹角公式即可求解. 【详解】解：因为，为单位向量，且，， 所以， 又， 所以， 所以. 故选：C. 4. 从社会效益和经济效益出发，某企业追加投入资金进行新兴产业进一步优化建设．根据规划，本年度追加投入4000万元，以后每年追加投入将比上年减少，本年度企业在新兴产业上的收入估计为2000万元，由于该项建设对新兴产业的促进作用，预计今后的新兴产业收入每年会比上一年增加1000万元，则至少经过（ ）年新兴产业的总收入才会超过追加的总投入． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列、等比数列的知识列不等式，由此求得正确答案. 【详解】设等比数列的首项，公比； 设等差数列的首项，公差， 依题意， 整理得， 当时，左边，右边，左边右边. 当时，左边，右边，左边右边. 当时，左边，右边，左边右边. 当时，左边，右边，左边右边. 当时，左边，当时，单调递增. 而右边，所以当时，左边右边， 所以经过年新兴产业的总收入超过追加的总投入． 故选：B 5. 设函数，则方程的实根个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，则方程即，结合函数解析式分段求得t的值，继而再解，即可求得的解，即得答案. 【详解】令，则方程即， 当时，；当时，； 当时，若，则，符合题意； 若，则，不合题意； 当时，若，则，符合题意； 若，则，符合题意， 即方程的实根个数为3， 故选：B 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质、双曲线的定义结合余弦定理计算即可. 【详解】由题意可知线段的中点为，且满足，则, 故为等腰三角形， 又，则为正三角形， 根据双曲线定义知， 设，则， 在中，由余弦定理知， 故选：D 7. 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有三名选手各比赛两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场. 则上述三名选手之间比赛的场数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设这3 名选手之间比赛的场数是x，利用组合数计算列式求解即可. 【详解】设这3 名选手之间比赛的场数是x，一共有个选手， 故题意得总场次，则， 又，且，经验证，当时，. 故选：B 8. 设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【详解】令,可得． 设 根据题意与直线只有两个交点， 不妨设，结合图形可知，当时如右图， 与左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点， 根据对称性可得，即，此时， ， 同理可得，当时如左图，， 故选：B． 【点睛】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度较大，不易入手,具有很强的区分度. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（ ） A. 对应的点在复平面的第四象限 B. 是一个纯虚数 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由复数的运算求出，共轭复数的概念求出，即可判断各选项的正误． 【详解】由题意得：， 对于A项：，对应的点在复平面的第一象限，故A项错误； 对于B项：为纯虚数，故B项正确； 对于C项：，故C项正确； 对于D项：，故D项正确； 故选：BCD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得是减函数； B. 存在实数，使得恰有1个零点； C. 存在实数，使得有最小值； D. 存在实数，使得恰有2个极值点． 【答案】ABD 【解析】 【分析】若是减函数，可解得，即可判断；由选项可判断；由 和时，的单调性即可判断；当时，由求根，结合函数图象即可判断. 【详解】由条件知：当时，，当时，， 对于，若是减函数，则，解得， 所以当时，是减函数，如图所示，故选项正确； 对于，由知，当时，是减函数， 此时恰有一个零点，故选项正确； 对于，当时，在上是减函数， 当时，在上是减函数， 所以不存在实数a，使得有最小值，故选项错误； 对于，当时，令， 当时，， 当时，， 此时，恰有两个极值点，如图所示， 故选项正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对分类讨论，利用导数结合函数图象研究函数的性质. 11. 如图，已知矩形中，，.点为线段上一动点（不与点重合），将沿向上翻折到，连接，.设，二面角的大小为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则存在，使得平面 C. 若，则直线与平面所成角的正切值的最大值为 D. 点到平面的距离的最大值为，当且仅当且时取得该最大值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据翻折前后的几何关系，利用面面垂直的性质定理，结合余弦定理求解选项A；利用线面垂直的判定定理、性质定理判断选项B；利用翻折前后的几何关系，结合线面角的定义求解选项C；利用几何关系，以及线面垂直的性质定理、判定定理求解选项D. 【详解】 对A，取中点，连接，，, 则有,且，所以， 又平面平面，平面平面，平面, 所以平面，平面， 故，， 在直角三角形中，， 所以， 在中，由余弦定理得：，A正确； 对B，同选项A，知，若平面， 且平面,则， 且平面， 所以平面，平面，所以，显然矛盾，B错误； 对C，连接交于点,因为几何关系可知，, 所以, 又因为, 所以所以, 即，则，，平面, 所以平面，平面， 所以平面平面，故所求线面角为. 又点在以为圆心，为半径的圆上， 从而当直线与圆相切时，最大， 故，从而，C错误； 对D,点到平面的距离， 等号成立当且仅当平面， 因为平面，所以,从而， 且矩形中，平面, 所以平面，过作于点. 连接，在直角三角形中， 由等面积法可得，,所以, 所以， 因为以平面，平面， ,平面， 所以平面， 由翻折知，故，解得，即. 又由二面角的面积射影知：,D正确； 故选:AD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用翻折前后的几何关系，结合直线与平面、平面与平面的判定定理、性质定理证明相应的结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 中国客家博物馆坐落于有“世界客都”之称的广东省梅州市城区，是一间收藏、研究、展示客家历史文化的综合性博物馆，其主馆是一座圆台形建筑，如图.现有一圆台，其上、下底面圆的半径分别为3米和6米，母线长为5米，则该圆台的体积约为______立方米.（结果保留整数） 【答案】264 【解析】 【分析】由题意可得该圆台的高，利用圆台的体积公式求解即可. 【详解】圆台的上、下底面圆的半径分别为3米和6米，母线长为5米， 由题意可得该圆台的高为米， 则该圆台的体积为立方米. 故答案为：264. 13. 设,则的最大值为 ________． 【答案】 【解析】 【详解】由两边同时加上 得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”）， 从而有（当且仅当,即时，“=”成立） 故填：. 考点：基本不等式. 【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为（a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件. 14. 已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，直线过点交抛物线于两点，且.直线分别过点且均与轴平行，在直线上分别取点（均在点的右侧），和的角平分线相交于点，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】当直线的斜率不存在时，写出直线的方程，求出，不合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，,，,，联立抛物线的方程，由，求出，根据锐角三角函数表达边长，再进一步求出的面积． 【详解】由的右焦点为，所以抛物线的焦点为， 故，则，因此抛物线， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入抛物线的方程，得， 所以，，所以，不合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，,，,， 联立，得，所以， 所以，所以， 由对称性不妨设，则， 因为和的平分线相交于点，， 所以，，， 所以在中，， ， 所以 ， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解高中学生对数学课是否喜爱是否和性别有关，随机调查220名高中学生，将他们的意见进行了统计，得到如下的列联表. 喜爱数学课 不喜爱数学课 合计 男生 90 20 110 女生 70 40 110 合计 160 60 220 （1）根据上面的列联表判断，能否有的把握认为“喜爱数学课与性别”有关； （2）为培养学习兴趣，从不喜爱数学课的学生中进行进一步了解，从上述调查的不喜爱数学课的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“男生”的概率. 参考公式： P（） 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有的把握认为“喜爱数学课与性别有关”；（2） 【解析】 【分析】（1）根据公式计算，依据附表作出判断即可； （2）由分层抽样计算得男生应抽取2人，女生应抽取4人，采用列举法计算所求概率即可. 【详解】（1）根据列联表数据， 计算 ， 所以有的把握认为“喜爱数学课与性别有关”； （2）从不喜爱数学课的人员中按分层抽样法抽取6人， 男生应抽取2人，设为A，B，女生应抽取4人，设为a，b，c，d， 从中随机抽出2人，总的情况为，，， ，，，，，， ，，，，，，共15种， 至少有1名男生的情况数为9， 所以根据古典概型的公式，得. 【点睛】本题考查了独立性检验的应用，古典概率的计算，考查了学生的运算求解能力. 16. 如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成.其中，，点为弧的中点，且四点共面. （1）证明：四点共面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求长. 【答案】（1） 连接，因为， 所以直棱柱的底面为等腰直角三角形，， 在半圆上，是弧中点，所以， 所以，又， 所以，所以四点共面. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，由题意可得，根据平行线性质有，即可证结论； （2）法1：构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角列方程求线段长；法2：取中点，连接，过作于，过作于，连接，利用线面垂直及面面角定义有是平面与平面所成的夹角，根据已知列方程求线段长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法1：直棱柱中，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 设面的法向量为，则， 取，所以， ， 设面的法向量为，则， 取，所以， 平面与平面所成夹角，即与夹角或其补角， 所以，解得，所以， 法2：设，由（1）知四点共面，则面面. 取中点，连接，则，而面，面， 故，，面，则平面， 过作于， 又平面，所以平面， 过作于，连接，则，又是锐角. 所以是平面与平面所成的夹角，则， 所以在Rt中，， 在中，根据等面积法， 在中，. 所以. 所以，解得，即， 所以. 17. 已知函数f(x)=tanx-sinx，g(x)=x-sinx，x∈ （1）证明∶关于x的方程f(x)-g(x)=x在上有且仅有一个实数根； （2）当x∈时，f(x)≥ag(x)，求实数a的最大值. 【答案】（1）证明∶令，即， 所以 因此当x∈时，，，当x∈时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 又因为 所以在无零点，在只有一个零点， 因此方程有且仅有一个根 （2）3 【解析】 【分析】（1）设求出导数，得出单调性，根据零点存在原理可证明. （2）,因为，所以,，从而,从而可分和两种情况分类讨论出其单调性，得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令， 则 则 因为，所以,，从而 ①.因此当时，,则， 所以函数在单调递增，又， 因此，所以函数在调递增，又， 在恒成立 ②．当时,令,由 因为∈(0，1)必有一解，记为x0， 所以当时，，当时， 因此当时，单调递减，当时，单调递增， 又，所以在恒成立， 所以在上单调递减，又， 所以当时，与题意矛盾， 综上所述，所以a的最大值为3. 【点睛】关键点睛：本题考查方程根的个数的证明和不等式恒成立求参数的范围，解答本题的关键是由，当若时，由，得出，从而得出不等式成立，当当时，得到与条件相矛盾的结论，属于难题. 18. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，直线与双曲线C交于两点，点在双曲线C上. （1）求线段中点的坐标; （2）若，过点D作斜率为的直线与直线交于点P，与直线交于点Q，若点满足，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由离心率为，可得双曲线C的方程为，后将与双曲线方程联立，利用韦达定理可得答案； （2）结合（1），由题可得直线的方程为，，R为外心，设，通过联立OP，OQ中垂线方程可得，通过联立与及可得，. 则，由此结合可得答案. 【小问1详解】 依题意，双曲线C的离心率，则， 故双曲线C的方程为， 联立，得，且， 设，则， 设线段的中点为，故， 将代入直线，得， 故线段的中点坐标为； 【小问2详解】 依题意，，则双曲线C的方程为， 直线，又点在双曲线C上， 所以，故直线的方程为， 由题可知，点均不重合，由易知为的外心， 设，则，即，即， 线段的垂直平分线的方程为，线段的垂直平分线的方程为， 联立，得， 联立，得，同理可得， 故， 故， 即， 则. 【点睛】关键点点睛：本题涉及直线与双曲线方程的综合运用，难度较大. （1）虽然双曲线方程带有参数，但联立双曲线与直线方程后可发现，据此可得答案；（2）关键为从中得到为外心，从而得到m，n表达式. 19. 已知有穷数列满足．给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列． （1）判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由； （2）若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值； （3）若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值． 【答案】（1） 数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下: 因为，所以是连续等项数列. 因为为； 为； 为; 为， 所以不存在正整数，使得. 所以A不是连续等项数列. （2）11 （3）0 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接验证数列，1，0，1，0，1，，可得结论； （2）先根据新定义证明时，数列一定是连续等项数列，再验证时，不是连续等项数列即可； （3）由都是连续等项数列可得， ，再由反证法证得，即可得出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设集合，则中的元素个数为. 因为在数列中，所以. 若，则. 所以在这个有序数对中， 至少有两个有序数对相同， 即存在正整数，使得. 所以当项数时，数列一定是连续等项数列. 若，数列不是连续等项数列. 若，数列不是连续等项数列. 若，数列不是连续等项数列. 若，数列不是连续等项数列. 若，数列不是连续等项数列. 若，数列不是连续等项数列. 若，数列不是连续等项数列. 若,数列不是连续等项数列. 所以的最小值为11. 【小问3详解】 因为与都是连续等项数列， 所以存在两两不等的正整数, 使得， 下面用反证法证明. 假设， 因为， 所以中至少有两个数相等. 不妨设，则 所以是连续等项数列，与题设矛盾. 所以. 所以. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题，一般先要读懂定义内容，第一问一般是给具体的函数或数列验证是否满足所给定义，只需要结合新定义，验证即可，在验证过程中进一步加强对新定义的理解，第二步一般在第一步强化理解的基础上，所给函数或数列更加一般或复杂，进一步利用新定义处理，本题第三问根据与都是连续等项数列得出，，利用反证法求是关键点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $