河南省驻马店市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

普通高中2024－2025学年（上）高一年级期中考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列图象中，可以表示函数的为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数中，表示同一函数的为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，，则（ ） A. 27 B. 9 C. 3 D. 5. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 6. “，”的一个充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知实数x，y满足，则和的最大值分别为（ ） A. 2， B. 2，1 C. 4， D. 4， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数x，y满足，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数满足对任意，都有，则（ ） A. B. 可能是增函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“任何正数的立方根都是正数”的否定为_____，否定后的命题是_____命题（填“真”或“假”）. 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____. 14. 已知函数，，且在定义域内恒成立，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数，. （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 16. 近年来，国家发展改革委、国务院、工信部、生态环境部等有关部门纷纷出台污水处理领域指导、支持及规范类政策，该相关政策的落实不仅促进了环境保护，同时也带动了一批企业的发展.已知某企业每年生产某种智能污水处理设备的最大产能为100台，其年度总利润（单位：万元）与产能（单位：台）的函数关系为 （1）当产能不超过40台时，求每年生产多少台时，平均每台设备的年利润最大？ （2）当产能为多少台时，该企业所获年度总利润最大？最大利润是多少？ 17. 按照要求解答下列问题. （1）已知函数在区间上不单调，求实数的取值范围； （2）求函数，的最小值. 18. 已知函数. （1）求的值； （2）判断的单调性，并用定义法进行证明； （3）证明：. 19. 已知函数的定义域为，给定，设，，若存在使得，则称为函数的一个“点”. （1）若为上的单调函数，证明：不存在“点”； （2）若，讨论的“点”个数，并在存在“点”的前提下，求出所有的“点”； （3）若，证明：“为函数的一个‘点’”的充要条件是“”. 普通高中2024－2025学年（上）高一年级期中考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 ①. 存在正数的立方根不是正数 ②. 假 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）14台 （2）35台，最大利润为2050万元 【17题答案】 【答案】（1） （2）3 【18题答案】 【答案】（1）3 （2） 在上单调递减.证明如下： 取，，且， ， 因为， 故， 即，， 则， 即， 故，即， 所以在上单调递减； （3） 证明：由（2）可得， 又因为， 故， 故. 【19题答案】 【答案】（1） 证明：若在上单调递增，则时，对，有， 则，不存在“点”； 若在上单调递减，则时，对，有，则不存在“点”. 综上所述，不存在“点”. （2） 当时，在上单调递增，则不存在“点”； 当时，则使在时有解的的个数即为的“点”的个数， 整理得，由得， 故，即存在唯一“点”. 综上所述，当时，不存在“点”； 当时，存在唯一“点”，. （3） 证明：由题得在时有解， 即，等式两边平方后有， 即，又， 故等式两边平方得，且此时， 即“为函数的一个‘点’”的充要条件是“在时有解且满足”. 又在时，单调递增，故，解得， 由得，即，恒成立，故； 的正数解为且在此时成立， 得，解得， 则“为函数的一个‘点’”的充要条件是“”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $普通高中2024一2025学年（上）高一年级期中考试 数学 评分细则 12.存在正数的立方根不是正数（不一定和答 最大 (7分) 案保证一字不差，表达意思对即给3分)； (2)当0<x≤40时，W(x)=-2x2+140x一 假(2分) 400, 13.(2,+∞) 易知当x=35时，W(x)取最大值， 14.[-3,3] W(35)=2050(万元)； (9分) 15.解：(1)由幂函数的定义可得m2一6m+ 当40<x≤100时， 10=1, (3分) W(x)=-x- 3600 +1700=-（x+ 解得m=3, (4分) x 则3m-6=3, (5分) 3600 +1700≤-2x· 3600 +1700= 故f(x)=x3. (6分) (2)易知f(x)=x3在R上单调递增， 1580(万元)， (12分) (8分) 当且仅当x=60时等号成立. (13分) 又f(a2-5a+7)<f(1), 因为2050>1580， (14分) 所以a2-5a+7<1, (10分) 故当产能为35台时，所获年度总利润最 即a2-5a+6<0, 大，最大利润为2050万元 (15分) 解得2<a<3,故a的取值范围为(2,3). 17.解：(1①由题意可得2×-()<3， (13分) (3分) 16.解：(1)因为当0<x≤40时，W(x)= -2x2+140x-400. 解得 3<a<4, 则平均每台设备的年利润为f(c)=W(x) 放a的取值范图是（停，小 (6分) 140-2+29), (3分) (2)由题意可得f(x)=|x-1+ 17-x-22,x≤1， x 200≥2200=20E,当且仅当x= |2-16=x-2+15,1<x<4,x∈Z, 10√2时取等号， (4分) x+2-17,x≥4， (8分) 由于x∈N*,14<10V2<15,且f(14)= 当x≤1时，函数y=x和y=2”单调递增， 83>f15)-833, (6分) 故函数f(x)=17一x-2在(-∞，1]上 故当生产14台时，平均每台设备的年利润 单调递减， ·数学评分细则（第1页，共3页)· 故f(x)≥f(1)=17-1-2=14;(10分) 故f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 当x≥4时，函数f(x)=x+2一17在 (11分) [4,十∞)上单调递增，故f(x)≥f(4)= 所以f(x)在[0，十∞)上单调递减.(12分) 4+24-17=3; (12分) (3)证明：由(2)可得f(x)≤f(0)=3, 当1<x<4时，f(x)=x-22+15,可知 (13分) f(2)=13>3,f(3)=10>3. (14分) 又因为f(x)=√x2十1-x十√x2+4- 综上可知f(x)的最小值为3. (15分) 4 (15分) 18.解：(1)f(0)=1+√4-0=3. (3分) √x2+1+x√x2十4+x (2)f(x)在[0，+∞)上单调递减. (4分) 故f(x)>0, (16分) 证明如下： 故0<f(x)≤3. (17分) 取Hx1,x2∈[0，+∞)，且x1<x2, 19.解：(1)证明：若f(x)在R上单调递增，则 x>0时，对Hx。∈R,有f(xo十x)> 则f(x1)-f(x2)=√x+1+√x+4 f(xo)>f(zo-x), 2x1-(√Jx+1+√x+4-2x2)=-2(x1 则G(x)>H(x),f(x)不存在“M点”； xi-x2 x2)+ x好-x (2分) √+1+√+√+4+√x+4 若f(x)在R上单调递减，则x>0时，对 (x1-x2)· x1十x2 Hxo∈R,有f(x0+x)<f(xo)< √x+1+√x+1 f(x。-x),则G(x)<H(x),f(x)不存在 x1十x2 -2, (6分) “M点” (4分) √x+4+√x+4 综上所述，f(x)不存在“M点”. (5分) 因为x1-x2<0,0≤x1<√x+1,0< (2)当a=0时，f(x)=x在R上单调递 x2<√x+1, 增，则不存在“M点”； (6分) 当a≠0时，则使a(x。十x)2十x。十x= 故0<x1+x2<√x十1+√Jx+1< a(x,一x)2十x。一x在x>0时有解的xo √x十4十√x+4, (7分) 的个数即为f(x)的“M点”的个数，(7分) x1十x2 即0< <1,0< 整理得4axox十2x=0,由x>0得4a.x十 Wx+I+√x+1 x1十x2 x1十x2 2=0,故x0= ,即存在唯-“M点” 1 <1，则 √x+4+√x+4 √x+I+√x+I (9分) x1十x2 综上所述，当a=0时，f(x)不存在“M <2, √x+4+√x+4 点”；当a≠0时，存在唯一“M点”，x。= x1十x2 x1十x2 1 2a (10分) √+1+√+'√+4+√+4 2<0, (10分) (3)证明：由题得x。十x-a√xo十x=xo ·数学评分细则（第2页，共3页)· x一a√xo一x在0<x≤x0时有解，即 故4如x0a>0,解得>a 4 2x=a(W/x。+x-√x。-x), (11分) 由x≤x0得4a2xo-a4≤4x6,即(2x0 等式两边平方后有4x2=a2(2x。一 a" 2√x6-x2),即a2√x-x=a2x。-2x2, a2)2≥0，恒成立，故x0>4 (14分) 又a2√x-x2≥0， 4a2x0-a4=4x2的正数解为x= 故等式两边平方得ax-ax2=ax6- V4a2xo-a 且a2xo≥2x2在此时成立，得 4a2xox2+4x4,且此时a2x0-2x2≥0， 即“x。为函数∫(x)的一个‘M点’”的充要 4a'xo-a" a a2xo≥ 2二，解得x≤2，(16分) 条件是“4a2x0一a4=4x2在0<x≤x。时 则“x。为函数f(x)的一个‘M点’”的充要 有解且满足a2x。-2x2≥0”. (12分) a'n 条件是，<名 (17分) 又在x>0时，y=x2单调递增， ·数学评分细则（第3页，共3页）·