精品解析：河北省石家庄辛集中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题

河北辛集中学2024-2025学年度第一学期阶段二考试 高一数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 设全集,则的值为（ ） A. 2或－4 B. 2 C. －3或1 D. 4 4. 下列选项是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“对任意的正数，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如果函数在区间上是单调函数，那么实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 8. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合为正整数}，则的所有非空真子集的个数是（ ） A. 30 B. 31 C. 510 D. 511 11. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 12. 若，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 13. 有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A. 与表示同一函数 B. 函数的图象与直线的交点最多有1个 C. 若，则 D. 函数的最小值为 14. 已知函数的定义域为，值域为，则的可能的取值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则（ ） A. 的值域为 B. C. D. ，不等式的解集为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 16. 集合，，则________．（填“”“”“”或“”） 17. 已知集合，则集合中元素的个数是______. 18. 函数为定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是________________． 19. 设，，且，则的最小值为______. 四、解答题（本题共4小题，共52分） 20. 已知命题；命题. （1）若p为真命题，求实数a的最小值； （2）若与q恰有1个为假命题，求实数a的取值范围. 21. 解关于x的不等式：. 22. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 23. 已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若. （1）判断并证明的单调性; （2）解关于的不等式. 五、选做题（10分） 24. 对于函数，若，则称实数为的“不动点”，若，则称实数为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为和，即，. （1）对于函数，分别求出集合和； （2）设，若，求集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北辛集中学2024-2025学年度第一学期阶段二考试 高一数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】这是一个全称命题,写否命题时,””改成””,大于等于改成小于. 【详解】命题，，则为: ，. 【点睛】本题考查了命题的否定,关键是抓住全称量词和特称量词进行互化.属基础题. 2. 下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出各选项中函数的单调区间，从而可得正确的选项. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，故A错. 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，故B对. 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，故C错. 对于D，因为在上单调递减，在上单调递增，故D错. 故选：B. 【点睛】本题考查具体函数的单调性，此类问题一般根据函数解析式的具体形式求出单调区间即可，本题属于基础题. 3. 设全集,则的值为（ ） A. 2或－4 B. 2 C. －3或1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的定义计算即可. 【详解】由题意可知或， 当或，此时都有，符合题意. 故选：A 4. 下列选项是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】 取特殊值可判断ABC错误，根据不等式的性质可判断D正确. 【详解】对于A，若，当时，，故A错误； 对于B，令，此时，故B错误； 对于C，令，此时，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：D. 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算具体函数定义域列不等式组计算求解. 【详解】由题意可得，解得或. 故选：D. 6. “”是“对任意的正数，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 已知“对任意的正数x，”利用分离参数，求出a的范围, 再根据充分必要条件的定义进行判断. 【详解】由对任意的正数，成立时， 可得， ， 即对任意的正数，成立推不出， 当成立时，可推出， 即能推出对任意的正数，， 所以“”是“对任意的正数，”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件，二次函数的最值，均值不等式，属于中档题. 7. 如果函数在区间上是单调函数，那么实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出二次函数的对称轴，讨论在区间上单调递减和单调递增，列不等式即可求解. 【详解】函数的对称轴为， 若函数在区间上是单调函数， 若在区间上是单调递减，则，解得：， 若在区间上是单调递增，则，解得：， 故实数的取值范围是：或， 故选：A. 8. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解集求出、和的关系，代入不等式中，化简求出不等式的解集． 【详解】解：不等式的解集为， 方程的实数根为和2，且； ， 解得，； 则不等式变为， 即， 解得：， 所求不等式的解集为． 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，属于基础题． 9. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求定义域，再判断函数的单调性，最后求得值域. 【详解】要使函数有意义，需满足，解得：， 所以函数的定义域为， 根据函数的解析式，增大时，增大，减小，增大，所以增大，即该函数为增函数， 所以最小值为，最大值为， 所以值域为， 故选：. 【点睛】本题考查具体函数值域求解，判断定义域是前提，根据函数单调性求解最值是解题关键，属于基础题 10. 已知集合为正整数}，则的所有非空真子集的个数是（ ） A. 30 B. 31 C. 510 D. 511 【答案】C 【解析】 【分析】根据为正整数可计算出集合中的元素，然后根据非空真子集个数的计算公式（是元素个数）计算出结果. 【详解】因为为正整数，所以{−，0， ，1，，2，，3，}， 所以集合中共有9个元素，所以的非空真子集个数为29-2=510， 故选C. 【点睛】本题考查用列举法表示集合以及计算集合的非空真子集的个数，难度较易.一个集合中含有个元素则： 集合的子集个数为：； 真子集、非空子集个数为：； 非空真子集个数为：. 11. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，令，可知该函数在上单调递减，由单调性的性质即可得出答案. 【详解】解：由，解得, 所以函数的定义域为， 令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为， 该函数在上单调递减， 则函数的单调递增区间是. 故选：C. 12. 若，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化，利用对应系数解方程求得，再利用不等式性质求范围即可 【详解】，则 ，则 故选：B 【点睛】本题考查不等式的性质，考查方程思想的应用，是基础题 二、多选题（共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 13. 有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A. 与表示同一函数 B. 函数的图象与直线的交点最多有1个 C. 若，则 D. 函数的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A根据相等函数的概念来判断；B根据函数的定义来判断；C直接带值计算；D基本不等式求最值时的适用条件来判断. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故不是相等函数，A错误； 对于B，根据函数的定义可知，当的定义域中含有1时，函数与有一个交点， 当的定义域中不含1时，函数与没有交点，故B正确； 对于C，因为，则，所以，故C正确． 对于D，函数， 当且仅当时取等号，该方程无解，即该等号不成立，故D错误； 故选：BC． 14. 已知函数的定义域为，值域为，则的可能的取值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】BCD 【解析】 【分析】分析函数的单调性，求得在R上的最小值为，且，分类讨论当时，求得的范围；当时，求得的范围，即可求得的范围，进而得解. 【详解】因为函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以在R上的最小值为，且， （1）当时，由的值域为，可知必有 所以且，解得，此时 （2）当时，由的值域为，可知必有 所以且，解得，此时 综上可知， 所以的可能的取值为 故选：BCD 15. 已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则（ ） A. 的值域为 B. C. D. ，不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据待定系数法求出函数的解析式判断C，然后根据图象求解函数值域判断A，代入解析式求值判断B，结合函数值根据图象法解不等式判断D. 【详解】根据题意，当时，设解析式为，图象经过， 所以，解得， 当时，设解析式为，图象经过， 所以，解得，所以解析式为， 所以，所以C正确； 对于A选项，根据函数的图象可知的值域为，故A正确； 对于B选项，根据函数图象得，故B错误； 对于D选项，由于，所以当，使得不等式的解集为， 故D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 16. 集合，，则________．（填“”“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】通过对，研究集合，与集合比较即可判断． 【详解】解：对于，时，； 时，， ， 故答案为：． 17. 已知集合，则集合中元素的个数是______. 【答案】5 【解析】 【分析】分别给进行取值，可计算求得中元素，进而确定集合，得到结果. 【详解】当或或时， 当，或时，或 ， 当，或时，或 ， 当，或时，或 ， 综上所述：，共个元素 故答案为： 【点睛】本题考查集合中元素个数的求解问题，关键是能够读懂描述法所表示的集合的含义，进而根据要求求得集合. 18. 函数为定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是________________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据函数的单调性可得，解不等式组即可求解. 【详解】由题意得，解得． 所以实数的取值范围是. 故答案为： 19. 设，，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，得，又，由乘法，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，，且，则， 则 ， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 四、解答题（本题共4小题，共52分） 20. 已知命题；命题. （1）若p为真命题，求实数a的最小值； （2）若与q恰有1个为假命题，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用不等式的解集为，求解可得实数a的最小值， （2）利用基本不等式求得为真命题时a的取值范围，为真命题时a的取值范围，进而可求结论. 【小问1详解】 因为为真命题，所以的解集为， 所以，解得， 所以实数a的最小值为； 【小问2详解】 因为，所以，所以， ， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 因为，所以当为真命题时，， 由（1）可知为真命题时，， 当为真命题，为假命题时，，所以， 当为假命题，为真命题时，，所以， 综上所述：与恰有1个为假命题，实数a的取值范围为. 21. 解关于x的不等式：. 【答案】当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 【解析】 【分析】利用解一元二次不等式的方法，结合含参讨论思想，即可求出解集. 【详解】由得：， 当时，解上式得； 当时，，所以可得一元二次不等式的解集为或； 当时，，所以可得一元二次不等式的解集为； 当时，，所以可得一元二次不等式的解集为； 当时，，所以可得一元二次不等式的解集为； 综上可得： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 22. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解. 【小问1详解】 ，， ，解得， . 【小问2详解】 在上单调递减，证明略； 【小问3详解】 由对任意恒成立得， 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数的取值范围为. 23. 已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若. （1）判断并证明的单调性; （2）解关于的不等式. 【答案】（1）在上为增函数，证明如下： 设，则， 又当时，， 在上为增函数. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，然后根据单调性的定义证明； （2）利用单调性解不等式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，令，则. ，不等式，可转化为，即， 由函数在上为增函数，可得. ，原不等式解集为. 五、选做题（10分） 24. 对于函数，若，则称实数为的“不动点”，若，则称实数为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为和，即，. （1）对于函数，分别求出集合和； （2）设，若，求集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的“不动点”和“稳定点”的定义，列出方程，即可求解； （2）由，根据题意，列出方程组，求得的值，得到，再由，列出方程，求得方程的解，即可得到答案. 【小问1详解】 解：由的“不动点”和“稳定点”的集合为，， 令，可得，解得； 令，可得，解得， 所以集合． 【小问2详解】 解：由函数， 因为，可得，即， 解得，所以， 可得， 整理得，即， 所以，解得或或， 所以集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $