上海市第二中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

市二中学2024学年第一学期高三年级数学期中 2024.11 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.已知集合,,则集合_. 2.复数(为虚数单位)的虚部是_. 3.若,,,则的最大值是_. 4.在平面向量中,已知是单位向量,向量满足,则的最大值为_. 5.已知角的终边在直线上,则的值为_. 6.设函数,其中,则曲线在点处的切线方程 为_. 7.记等差数列的前项和为,已知,则_. 8.已知函数为奇函数,则_. 9.已知函数,其中对任意的,,且,总满足不等关系,则实数的取值范围是_. 10.对于任意,用表示、中的较小者,记,设函数,,且,.若对于任意,都有,则的取值范围是_. 11.如图所示,已知满足,,为所在平面内一点.定义点集.若存在点,使得对任意,满足恒成立,则的最大值为_. 12.已知,,且,则的取值范围是_. 二、选择题(本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13.若、、,,则下列不等式中成立的是( ) A. B. C. D. 14.记函数在区间上的最大值为,最小值为,则( ) A.2 B. C. D. 15.设函数在在上存在导函数,对任意的实数都有,当时,.若,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 16.已知数列是公差不为零的等差数列,且函数是定义在上的严格增函数且为奇函数,数列的前项和为.对于命题: ①若数列为严格增数列,则对一切,,有; ②若对一切,,有,则数列为严格增数列; ③若存在,,使得,则存在,,使得; ④若存在,,使得,则存在,,使得. 其中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 三、解答题(本大题共有5题,满分78分). 17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 集合,集合. (1)求集合; (2)若,求实数的取值范围. 18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 设是实数,在复数范围内,关于的方程有两根、. (1)若,求的取值范围; (2)若,求的取值集合. 19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满8分) 已知,,设,其中. (1)求函数的单调减区间和对称轴; (2)若关于的不等式在上恒成立,求的取值范围. 20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分) 已知函数,其中,无穷数列的首项. (1)如果,写出数列的通项公式. (2)如果(且),要使得数列是等差数列,求首项的取值范围. (3)如果(且),求出数列的前项和. 21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 已知函数,其中. (1)设函数,,求函数的极值; (2)若不等式当且仅当在区间上成立(其中为自然对数的底数),求的最大值; (3)实数、满足,求证:.