上海市复旦大学附属青浦分校、上海交通大学附属中学嘉定分校、上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

复附青浦、交附嘉分、上外云间2024学年第一学期 高二年级数学联考 2024.11 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知集合，则 . 2.不等式的解集为 . 3.若,则的值为 . 4.已知函数且的图像恒过点,则点的坐标是 . 5.已知复数对应的点到原点的距离是,则实数 . 6.已知函数，则不等式的解集为 . 7.已知,则 . 8.已知向量满足，且，则与的夹角为 . 9.若正数满足，则的最小值是 . 10.记为等差数列的前项和.若,则 . 11.已知向量，若对任意单位向量，均有，则的最大值是 . 12.已知函数，若，实数满足，则实数的取值范围是 . 二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分） 13.函数的最小正周期是（ ）. A. B. C. D. 14.已知复数,则的虚部是（ ）. A.2 B. C. D. 15.已知函数，若关于的不等式的解集为,则的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 16.已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（ ）. A.有3个 B.有2个 C.有1个 D.不存在 三.解答题（本大题共5小题，满分78分） 17.(本题满分14分,第1小题8分,第2小题6分) 已知复数（其中）. （1）若为实数,求的值; （2）当时，复数是方程的一个根，求实数的值. 18.(本题满分14分,第1小题8分,第2小题6分) 已知函数,其中.且的图象与直线的两个相邻交点的距离等于。 （1）求函数的解析式及最小正周期; （2）若关于的方程在区间上恰有两个不同解，求实数的取值范围. 19.(本题满分14分,第1小题8分,第2小题6分) 将一块圆心角为，半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法（如图所示），让矩形一边在扇形的一条半径（图1），或让矩形一边与弦平行（图2），对于图1和图2,均记. （1）记图1裁出的矩形面积为，图2裁出的矩形面积为，请写出矩形面积和关于的函数解析式; （2）求的最大值和的最大值,并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大. 20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 在函数定义域内，若存在区间，使得函数值域为，则称此函数为"档类正方形函数"，已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）若函数的最大值是1，求实数的值； （3）当时，是否存在，使得函数为"1档类正方形函数"？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由. 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 若项数为的有穷数列满足且，我们称这样的数列为数列: （1）若数列是数列，且为等比数列，项数为2024，求该数列的通项； （2）若数列是数列，且为等差数列，项数为且，求该数列的通项； (3)若数列是数列,项数为,记的前项和为,若存在，使，试问：数列能否是数列，若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 复附青浦、交附嘉分、上外云间2024学年第一学期 高二年级数学联考 2024.10 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知集合，则 . 【答案】 【解析】集合,则.故答案为:. 2.不等式的解集为 . 【答案】 【解析】,,即,且, 即，且,解得,故答案为:. 3.若,则的值为 . 【答案】81 【解析】, 故答案为:81. 4.已知函数且的图像恒过点,则点的坐标是 . 【答案】 【解析】令，解得，此时.故函数恒过点.故答案为：. 5.已知复数对应的点到原点的距离是,则实数 . 【答案】 【解析】复数对应的点的坐标为， 复数在复平面内对应的点到原点的距离为,即. 故答案为:4. 6.已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】根据题意，函数，其定义域为， 易得在上为减函数，又由, 则,解可得:, 即不等式的解集为.故答案为:. 7.已知,则 . 【答案】 【解析】因为, 所以, 所以 故答案为:. 8.已知向量满足，且，则与的夹角为 . 【答案】 【解析】向量满足，且， 设与的夹角为， 求得,故答案为:. 9.若正数满足，则的最小值是 . 【答案】9 【解析】正数满足,则当且仅当时，取得等号，则所求最小值为9.故答案为:9. 10.记为等差数列的前项和.若,则 . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为，则由可得，， 故答案为:4. 11.已知向量，若对任意单位向量，均有，则的最大值是 . 【答案】 【解析】由绝对值不等式得, 于是对任意的单位向量，均有， 因此的最大值，则， 下面证明：可以取得， （1）若，则显然满足条件. （2）若,此时, 此时于是，符合题意，综上的最大值是, 设,则, 由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时取得最大值6， 由于,于是取得最小值4， 则,的最大值是.故答案为:. 12.已知函数，若，实数满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，则， 当时，； 当时,， 若,则, 若,则. 由,得,即. 实数的取值范围是.故答案为:。 二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分） 13.函数的最小正周期是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】, 的最小正周期是.故选：. 14.已知复数,则的虚部是（ ）. A.2 B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，所以的虚部为.故选：D. 15.已知函数，若关于的不等式的解集为,则的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】当时，恒成立，可得,所以； 当时,, 可得当时，的解集为； 当时，的解集为，不满足题意，舍去. 因为关于的不等式的解集为， 当时,,满足； 当时,,不满足. 综上可得，的取值范围是.故选：C. 16.已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（ ）. A.有3个 B.有2个 C.有1个 D.不存在 【答案】A 【解析】当时，， 解得，此时保证等式成立的每个值，只有一个值，不符合题意； 当时, ，即， 若整数恰有2个，则首先，解得， 设该方程有两实数根,则， 若，显然不合题意，则，则， 若,此时,解得,满足,符合题意； 若,此时,解得,满足,符合题意; 若,此时,解得,满足,符合题意; 故可取到的值有或102或100.故选：. 三.解答题（本大题共5小题，满分78分） 17.(本题满分14分,第1小题8分,第2小题6分) 已知复数（其中）. （1）若为实数,求的值; （2）当时，复数是方程的一个根，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为, 所以, 因为为实数,所以,解得.故为实数时，的值为. （2）当时，，则复数, 因为是方程为实数)的一个根， 所以，化简得, 由,解得. 18.(本题满分14分,第1小题8分,第2小题6分) 已知函数,其中.且的图象与直线的两个相邻交点的距离等于。 （1）求函数的解析式及最小正周期; （2）若关于的方程在区间上恰有两个不同解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为 ,所以, 因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,所以, 所以,所以,最小正周期； （2）由，知， 因为,所以,由于在区间上有两个不同解， 所以,即. 19.(本题满分14分,第1小题8分,第2小题6分) 将一块圆心角为，半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法（如图所示），让矩形一边在扇形的一条半径（图1），或让矩形一边与弦平行（图2），对于图1和图2,均记. （1）记图1裁出的矩形面积为，图2裁出的矩形面积为，请写出矩形面积和关于的函数解析式; （2）求的最大值和的最大值,并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大. 【答案】（1） （2）选择图2裁法得到的矩形的面积更大. 【解析】（1）对于图1,在中,, 矩形的面积为； 对于图2,在中,由正弦定理得, 由对称性可知,的平分线所在直线为对称轴,则, 所以矩形的面积为 （2）,当时,取最大值,最大值为 ,当时,取最大值,最大值为, 所以,选择图2裁法得到的矩形的面积更大. 20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 在函数定义域内，若存在区间，使得函数值域为，则称此函数为"档类正方形函数"，已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）若函数的最大值是1，求实数的值； （3）当时，是否存在，使得函数为"1档类正方形函数"？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】（1）由题意，当时，，函数的值域为. （2）由题意，设，则， ①若，则函数无最大值，即无最大值，不合题意； ②若,则最大值在时取到,且, 解得，或.由,可得. （3）由题意，因为时，设.设真数为. 此时对称轴，当时,为增函数,且, 即在上为增函数. 即方程在上有两个不同实根， 即，设. 即方程有两个大于1的不等实根，,解得,由,得, 即存在，使得函数为"1档类正方形函数"，且. 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 若项数为的有穷数列满足且，我们称这样的数列为数列: （1）若数列是数列，且为等比数列，项数为2024，求该数列的通项； （2）若数列是数列，且为等差数列，项数为且，求该数列的通项； (3)若数列是数列,项数为,记的前项和为,若存在，使，试问：数列能否是数列，若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 【答案】（1）, （2）当时，， 当时，; （3）不能 【解析】（1）设等比数列的公比为， 若,则由题意得,得, 由得或， 若,由题意得,,得,不可能， 综上所述，, （2）设等差数列的公差为, 即,当时，与数列的条件矛盾; 当时，据数列的条件得，, ,即,由得，即，; 当时，同理可得，即, 由得，即，, 综上所述，当时，， 当时，; （3）记中非负项和为,负项和为,则, 得,即, 若存在，使，由前面的证明过程知：,且, 若数列为数列，记数列的前项和为, 则,又 又 又与不能同时成立, 数列不为数列. 学科网（北京）股份有限公司 $$