精品解析：福建省泉州市永春第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

永春一中高一年期中考试数学试卷 （2024.11） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知x，y都是非零实数，可能的取值组成的集合为A，则下列判断正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（ ） A. B. C. D. 与互不包含 3. 已知，若集合，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知x＞0，y＞0，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（ ）． A. 36平方米 B. 48平方米 C. 64平方米 D. 72平方米 6. 设函数的定义域为，满足，且当时，.则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. ，则函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 8. 世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，.已知，，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 9. 给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（ ） A. 集合为闭集合； B. 集合为闭集合； C. 集合为闭集合； D. 若集合为闭集合，则为闭集合． 10. 下列叙述不正确的是（ ） A. 的解是 B. “”是“”的充要条件 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值是 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在上的值域为 C. 若在上单调递减，则 D. 若，则在定义域上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解为______. 13. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是______． 14. 已知，，当最小时，恒成立，则的取值集合是___________. 四、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求集合； （2）若，满足：①，②，从①②中任选一个作为条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数的最小值为. （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）作出函数的图象； （2）求函数的单调区间，并指出其单调性； （3）求（）的解的个数. 18. 集合A＝{x|}，B＝{x|}； （1）用区间表示集合A； （2）若a＞0，b为（t＞2）的最小值，求集合B； （3）若b＜0，A∩B＝A，求a、b的取值范围. 19. 已知是定义在[－2,2]上的函数，若满足且. （1）求的解析式； （2）判断函数在[－2,2]上的单调性，并求使成立的实数t的取值范围； （3）设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永春一中高一年期中考试数学试卷 （2024.11） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知x，y都是非零实数，可能的取值组成的集合为A，则下列判断正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 分别讨论的符号，然后对进行化简，进而求出集合A，最后根据集合元素的确定性即可得出答案. 【详解】当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，. 所以，. 故选：B. 【点睛】本题考查了对含有绝对值符号的式子的化简，考查了集合元素的特点，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题. 2. 若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（ ） A. B. C. D. 与互不包含 【答案】C 【解析】 【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系. 【详解】对于集合，当时，，当时，，所以. 故选：C. 3. 已知，若集合，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据两集合相等，对应元素相等，然后列出方程求出即可得到结果. 【详解】因为 所以有，解得或 当时，不满足集合中元素的互异性， 故 则 故选:B. 4. 已知x＞0，y＞0，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，根据“1”的变形技巧，利用基本不等式求出的最小值，解不等式即可得解． 【详解】可化为， 则， 当且仅当时等号成立，即的最小值为8， 因为恒成立，所以，解得， 则实数m的取值范围是． 故选：A． 5. 某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（ ）． A. 36平方米 B. 48平方米 C. 64平方米 D. 72平方米 【答案】C 【解析】 【分析】设不靠墙的两个侧面的长度分别为，由题有，利用基本不等式可得答案. 【详解】设不靠墙的两个侧面的长度分别为，由题有 . 令，则 ，即，当且仅当时取等号. 故选：C 6. 设函数的定义域为，满足，且当时，.则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分，和进行分类讨论，即可求解 【详解】当，，解得无实数解； 当，，则由可得， 令，整理得，解得 解得， 当，，则由可得， 因为，所以，所以恒成立， 综上所述，不等式的解集是 故选：A 7. ，则函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】作出的图像，将的零点个数即的实数根个数，令，解有三个实数根，再结合图像即可得到答案. 【详解】由题意，的零点个数即的实数根个数， 作的图像如图所示， 设，则， 当时，即，解得，； 当时，即，解得； 结合图像知，时有一个根， 时有三个根，时有三个根， 所以有7个根，即的零点个数为7. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的零点问题、解函数值以及一元二次函数和指数函数的图像，考查学生数形结合的思想，属于中档题. 8. 世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，.已知，，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将其变形分析其取值范围结合取整函数，即可求得结果. 【详解】易知，在上单调递减，上单调递增. 当时， ；当时，；当时，； 所以，则函数的值域为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 9. 给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（ ） A. 集合为闭集合； B. 集合为闭集合； C. 集合为闭集合； D. 若集合为闭集合，则为闭集合． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断,且是否满足即可得到结论. 【详解】对于A：按照闭集合的定义，故A正确; 对于B：当时,.故不是闭集合.故B错误; 对于C：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故是闭集合.故C正确; 对于D：假设,.不妨取,但是, ,则不是闭集合.故D错误. 故选：AC 10. 下列叙述不正确的是（ ） A. 的解是 B. “”是“”的充要条件 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、均值不等式判断各选项即可. 【详解】选项A：的解是或，故A不正确； 选项B：由得，恒成立则或，解得 ，所以“”是“”的充要条件，故B正确； 选项C：由得，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 选项D：由均值不等式得，当且仅当时等号成立，此时无实数解，所以的最小值大于，故D不正确； 故选：AD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在上的值域为 C. 若在上单调递减，则 D. 若，则在定义域上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】求得的定义域判断选项A；求得在上的值域判断选项B；求得a的取值范围判断选项C；求得时的单调性判断选项D. 【详解】选项A：由得，则的定义域为.判断正确； 选项B：， 由，可得，则， 当时，，则在上的值域为； 当时，，， 即在上的值域为； 当时，，， 即在上的值域为. 综上，当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为.判断错误； 选项C：， 若在上单调递减，则，解之得.判断正确； 选项D：， 则时，在和上单调递增.判断错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式. 【详解】解：幂函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又，则为偶函数，所以在上单调递减， 则由不等式可得，平方后整理得， 即，解得，则不等式的解集为. 故答案为：. 13. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全称命题为真命题等价转化为不等式恒成立问题，再利用二次函数的性质及充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由“，”为真命题，等价于在上恒成立， 所以，即可. 设，，则 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增. 当时，取得最小值为，即， 所以的一个充分不必要条件是的真子集，则满足条件. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 已知，，当最小时，恒成立，则的取值集合是___________. 【答案】或## 【解析】 【分析】由，结合基本不等式可得最小时为1，进而得，利用二次函数得最大值，进而得，从而得解. 【详解】可化为 当且仅当时，等号成立， 此时，， 即. 因为， 所以 即或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求集合； （2）若，满足：①，②，从①②中任选一个作为条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）选①，；选②， 【解析】 【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案. （2）选择条件后，根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，求集合， . 【小问2详解】 若选择条件①，， 当时，，解得， 当时， 由可得或， 解得或， 综上的取值范围是. 若选择条件②，则集合是集合的子集， 当时，，解得， 当时，有， 解得， 综上的取值范围是. 16. 已知函数的最小值为. （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的动轴定区间问题分类讨论得函数单调性从而可得函数的最小值； （2）根据的解析式确定函数单调性从而解不等式即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 函数，对称轴为， ①当即时，函数在上单调递增， 所以，即； ②当即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即； ③当即时，函数在上单调递减， 所以，即， 故. 【小问2详解】 由（1）知，当时，，函数单调递减， 当时，，对称轴为，函数在上单调递减， 当时，，函数单调递减， 注意到是连续函数，所以函数在R上单调递减. 由，得，解得， 故实数m的取值范围为. 17. 已知函数. （1）作出函数的图象； （2）求函数的单调区间，并指出其单调性； （3）求（）的解的个数. 【答案】（1）作的图象如下， （2）由图象可知，在，上单调递减，在，上单调递增； （3）当时，有两个解；当时，有三个解；当时，有四个解；当时，有两个解；当时，无解. 【解析】 【分析】（1）借助对称性作的图象即可， （2）由图象写出函数的单调区间即可； （3）（）的解的个数与图象的交点个数，作出与（）的图象，讨论的位置得到解的个数. 【详解】（1）略 （2）略 （3）（）的解的个数与图象的交点个数， 在同一坐标系下作与的图象，易知直线有如下几种位置（虚线部分）， ①当时，与的图象有两个交点，两个解； ②当时，与的图象有三个交点，三个解； ③当时，与的图象有四个交点，四个解； ④当时，与的图象有两个交点，两个解； ⑤当时，与的图象有无交点，无解. 【点睛】本题考查函数图象和函数零点的应用，考查数形结合思想，考查转化思想，考查逻辑思维能力，正确作出函数图象是解题的关键，属于中档题. 18. 集合A＝{x|}，B＝{x|}； （1）用区间表示集合A； （2）若a＞0，b为（t＞2）的最小值，求集合B； （3）若b＜0，A∩B＝A，求a、b的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3），. 【解析】 【分析】（1）解分式不等式即可得集合A；（2）利用基本不等式求得b的最小值，将b代入并因式分解，即可得解；（3）由题意知A⊆B，对a分类讨论即求得范围 【详解】解：（1）由，有，解得x≤﹣2或x＞3 ∴A＝(-∞, -2]∪(3, +∞) （2）t＞2， 当且仅当t＝5时取等号，故 即为：且a＞0 ∴，解得 故B＝{x| } （3）b＜0，A∩B＝A，有A⊆B，而 可得： a＝0时，化为：2x﹣b＜0，解得但不满足A⊆B，舍去 a＞0时，解得：或但不满足A⊆B，舍去 a＜0时，解得或 ∵A⊆B ∴，解得 ∴a、b 的取值范围是a∈，b∈ (- 4,0). 【点评】本题考查了集合运算性质、不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 19. 已知是定义在[－2,2]上的函数，若满足且. （1）求的解析式； （2）判断函数在[－2,2]上的单调性，并求使成立的实数t的取值范围； （3）设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1）（） （2）单调递增， （3） 【解析】 【分析】（1）由求得，由及求得得函数解析式； （2）由定义证明单调性，然后由奇偶性、单调性解不等式； （3）问题等价于，求出的最小值，转化为在[1,2]上恒成立，用分离参数法转化为max，再由勾形函数的单调性求得右边的最大值即得． 【小问1详解】 ∵为奇函数，∴ ∴， 由，得， ∴ ， ∴ ， ∴（）； 【小问2详解】 设，则， ∵，， ∴，即， ∴在[－2,2]上为单调递增，又∵， ∴ ,得，即为所求； 【小问3详解】 问题等价于，由（2）题得在[1,2]上为增函数， ∴最小值为， 故问题转化为在[1,2]上恒成立， ∴max， 易知在上递减，在上递增，而时，. 时，，故，∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $