第二十四章 圆能力提升试题（培优题）2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆能力提升试题（培优题） 考试范围：人教版数学第24章；考试时间：100分钟；总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（　　） A．4 B．6 C．2 D．8 3．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （1题） （2题） （3题） （4题） （5题） 4．如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a，b大小无法比较 5．如图，AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，．则下列结论：①BA⊥DA；②OC∥AE；③∠COE＝2∠CAE；④OD⊥AC，一定正确的个数有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．在同一平面内，有⊙O和直线l，已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞0），半径是2，与y轴相切于点C，直线y＝x被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（　　） A． B．2± C． D． 8．如图，平面直角坐标系中，⊙O的半径长为1，点P（a，0），⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为（　　） A．3 B．1 C．1，3 D．±1，±3 9．已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面半径等于（　　） A．9 B．27 C．3 D．10 10．如图，等腰Rt△ABC的一个锐角顶点A是⊙O上的一个动点，∠ACB＝90°，腰AC与斜边AB分别交⊙O于点E、D，分别过点D，E作⊙O的切线交于点F，且点F恰好是腰BC上的点，连接OC，OD，OE，若⊙O的半径为4，则OC的最大值为（　　） A．22 B．42 C．6 D．8 （8题） （10题） （11题） （12题） 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为 　 　． 12．如图，AB为半圆O的直径，延长AB到点P，使BPAB，PC切半圆O于点C，点D是上和点C不重合的一点，则∠CDB的度数为　 　度． 13．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为OC⊥AB交外圆于点C．测得CD＝10cm，AB＝60cm，则这个车轮的外圆半径是　 　． （13题） （14题） （15题） 14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 　 　cm． 15．如图，Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，O为AC上一点，OA＝2，以O为圆心，以 OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是　 　． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°． （1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长． 17．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求的长． 18．（9分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C． （1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数； （2）若AB＝AC，CE＝2，求⊙O半径的长． 19．（9分）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B． （Ⅰ）如图①，若∠BAC＝25°，求∠AMB的大小； （Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠AMB的大小． 20．（9分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB． （1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； （2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB＝8cm，BC＝10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π） 21．（9分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O为对角线BD的中点，分别以OB，OD为直径作⊙O1，⊙O2． （1）求⊙O1的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 22．（10分）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH． 计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C． （1）求OC的长． 操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D． 探究：在图2中． （2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小． 23．（11分）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F＝∠ABC． （1）若CD＝2，BP＝4，求⊙O的半径； （2）求证：直线BF是⊙O的切线； （3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论． 参考答案 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB， ∴， ∴∠DOB＝2∠C＝50°． 选：D． 2．解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D， ∵∠AOC＝2∠B，且∠AOD＝∠COD∠AOC， ∴∠COD＝∠B＝60°； 在Rt△COD中，OC＝4，∠COD＝60°， ∴CDOC＝2， ∴AC＝2CD＝4． 选：A． 3．解：∵点A的坐标为（0，1），圆的半径为5， ∴点B的坐标为（0，﹣4）， 又∵点P的坐标为（0，﹣7）， ∴BP＝3， ①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小， 连接BC，在Rt△BCP中，CP4； CD＝2CP＝8， ②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD＝直径AE＝10； 所以，8≤CD≤10， 综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个． 选：C． 4．解：连接P4P5，P5P6． ∵点P1～P8是⊙O的八等分点， ∴P3P4＝P4P5＝P5P6＝P6P7，P1P7＝P1P3＝P4P6， ∴b﹣a＝P3P4+P7P6﹣P1P3， ∵P5P4+P5P6＞P4P6， ∴P3P4+P7P6＞P1P3， ∴b﹣a＞0， ∴a＜b， 选：A． 5．解：∵AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A， ∴BA⊥DA，①正确； ， ∴∠EAC＝∠CAB， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠ACO， ∴∠EAC＝∠ACO， ∴OC∥AE，②正确； ∵∠COE是所对的圆心角，∠CAE是所对的圆周角， ∴∠COE＝2∠CAE，③正确； 只有当时，OD⊥AC，④错误． 选：A． 6．解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d， ∵d＝5，r＝6， ∴d＜r， ∴直线l与圆相交． 选：A． 7．解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PF⊥x轴于F，交AB于D，连接PA． ∵AB＝2， ∴AE，PA＝2， ∴PE1， ∵点D在直线y＝x上， ∴∠AOF＝45°， ∵∠DFO＝90°， ∴∠ODF＝45°， ∴∠PDE＝∠ODF＝45°， ∴∠DPE＝∠PDE＝45°， ∴DE＝PE＝1， ∴PD． ∵⊙P的圆心是（2，a）， ∴点D的横坐标为2， ∴OF＝2， ∴DF＝OF＝2， ∴a＝PD+DF＝2． 当点P在OB的下方时，同法可得a＝2， 选：B． 8．解：当两个圆外切时，圆心距d＝1+2＝3，即P到O的距离是3，则a＝±3． 当两圆相内切时，圆心距d＝2﹣1＝1，即P到O的距离是1，则a＝±1． a＝±1或±3． 选：D． 9．解：扇形的弧长为：6π， ∴圆锥的底面半径为6π÷2π＝3，选C． 10．解：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠B＝45°， ∴∠DOE＝2∠A＝90°， ∵分别过点D，E作⊙O的切线， ∴OD⊥DF，OE⊥EF， ∴四边形ODFE是矩形， ∵OD＝OE＝4， ∴四边形ODFE是正方形， ∴EF＝4， ∵点F恰好是腰BC上的点， ∴∠ECF＝90° ∴点C在以EF为直径的半圆上运动， ∴设EF的中点为G，则EG＝FG＝CGEF＝2，且当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大， 此时，在Rt△OEG中，OG2， ∴OC＝OG+CG＝22． 选：A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．解：连接OP，过点P作PD⊥OA，垂足为D， ∵点A的坐标为（6，0）， ∴OA＝6， ∵PD⊥OA， ∴OD＝ADOA＝3， 在Rt△OPD中，OP， ∴PD2， ∴点P的坐标为（3，2）， 答案为：（3，2）． 12．解：连接OC， ∵PC切半圆O于点C， ∴OC⊥PC， ∴OC＝OB＝PB， ∴∠P＝30°，即∠COP＝60°， ∴∠CDB∠COP＝30°． 13．解：如图，连接OA， ∵CD＝10cm，AB＝60cm， ∵CD⊥AB， ∴OC⊥AB， ∴ADAB＝30cm， ∴设半径为r，则OD＝r﹣10， 根据题意得：r2＝（r﹣10）2+302， 解得：r＝50． ∴这个车轮的外圆半径长为50cm． 答案为：50cm． 14．解：连接OE，OD， ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠C＝∠ODB， ∴OD∥AC， ∴∠EOD＝∠AEO， ∵OE＝OA， ∴∠OEA＝∠BAC＝50°， ∴∠EOD＝∠BAC＝50°， ∵ODAB6＝3（cm）， ∴的长π（cm）． 答案为：π． 15．解：∵∠B＝90°，∠C＝30°， ∴∠A＝60°， ∵OA＝OF， ∴△AOF是等边三角形， ∴∠COF＝120°， ∵OA＝2， ∴扇形OGF的面积为： ∵OA为半径的圆与CB相切于点E， ∴∠OEC＝90°， ∴OC＝2OE＝4， ∴AC＝OC+OA＝6， ∴ABAC＝3， ∴由勾股定理可知：BC＝3 ∴△ABC的面积为：3×3 ∵△OAF的面积为：2， ∴阴影部分面积为：ππ 答案为：π 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．解：（1）如图，切线AD即为所求； （2）过点O作OH⊥BC于H，连接OB，OC． ∵AD是切线， ∴OA⊥AD， ∴∠OAD＝90°， ∵∠DAB＝75°， ∴∠OAB＝15°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝15°， ∴∠BOA＝150°， ∴∠BCA∠AOB＝75°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝120°， ∵OB＝OC＝2， ∴∠BCO＝∠CBO＝30°， ∵OH⊥BC， ∴BC＝2． 17．（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOC＝2∠ABC， ∴∠AOB＝∠AOC， ∴， ∴∠OAB＝∠OAC， ∴AF⊥BC， ∵AE∥BC， ∴∠OAE＝∠AFB＝90°， ∴OA是⊙O的半径，且AE⊥OA， ∴AE是⊙O的切线． （2）解：∵∠ACB＝∠ABC＝75°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝30°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°， ∴△BOC是等边三角形，∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°， ∴OC＝BC＝2， ∴， ∴的长是． 18．解：（1）连接OA， ∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径， ∴OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∵，∠ADE＝25°， ∴∠AOE＝2∠ADE＝50°， ∴∠C＝90°﹣∠AOE＝90°﹣50°＝40°； （2）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵， ∴∠AOC＝2∠B， ∴∠AOC＝2∠C， ∵∠OAC＝90°， ∴∠AOC+∠C＝90°， ∴3∠C＝90°， ∴∠C＝30°， ∴OAOC， 设⊙O的半径为r， ∵CE＝2， ∴r， 解得：r＝2， ∴⊙O的半径为2． 19．解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于点A， ∴∠MAC＝90°，又∠BAC＝25°， ∴∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC＝65°， ∵MA、MB分别切⊙O于点A、B， ∴MA＝MB， ∴∠MAB＝∠MBA， ∴∠M＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝50°； （Ⅱ）如图，连接AD、AB， ∵MA⊥AC，又BD⊥AC， ∴BD∥MA，又BD＝MA， ∴四边形MADB是平行四边形，又MA＝MB， ∴四边形MADB是菱形， ∴AD＝BD． 又∵AC为直径，AC⊥BD， ∴， ∴AB＝AD，又AD＝BD， ∴AB＝AD＝BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠D＝60°， ∴在菱形MADB中，∠AMB＝∠D＝60°． 20．解：（1）BC所在直线与小圆相切． 理由如下： 过圆心O作OE⊥BC，垂足为E； ∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O， ∴OA⊥AC； 又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC， ∴OE＝OA， ∴BC所在直线是小圆的切线． （2）AC+AD＝BC． 理由如下： 连接OD． ∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E， ∴CE＝CA； ∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，， ∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL）， ∴EB＝AD； ∵BC＝CE+EB， ∴BC＝AC+AD． （3）∵∠BAC＝90°，AB＝8cm，BC＝10cm， ∴AC＝6cm； ∵BC＝AC+AD， ∴AD＝BC﹣AC＝4cm， ∵圆环的面积为：S＝π（OD）2﹣π（OA）2＝π（OD2﹣OA2）， 又∵OD2﹣OA2＝AD2， ∴S＝42π＝16π（cm2）． 21．解：（1）在正方形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝90°， ∴BD4 ∴BO1BD ∴⊙O1的半径． （2）设线段AB与圆O1的另一个交点是E，连接O1E ∵BD为正方形ABCD的对角线 ∴∠ABO＝45° ∵O1E＝O1B ∴∠BEO1＝∠EBO1＝45° ∴∠BO1E＝90° ∴S1＝S扇形O1BE﹣S△O1BE1 根据图形的对称性得：S1＝S2＝S3＝S4 ∴S阴影＝4S1＝2π﹣4． 22．解：（1）连接OM， ∵O为圆心，OC⊥MN于点C，MN＝48cm， ∴MCMN＝24cm， ∵AB＝50cm， ∴OMAB＝25cm， 在Rt△OMC 中，OC7（cm）； （2）∵GH与半圆的切点为E， ∴OE⊥GH， ∵MN∥GH， ∴OE⊥MN于点D， ∵∠ANM＝30°，ON＝25cm， ∴， ∴操作后水面高度下降高度为：； （3）∵OE⊥MN于点D，∠ANM＝30°， ∴∠DOB＝60°， ∵半圆的中点为Q， ∴， ∴∠QOB＝90°， ∴∠QOE＝30°， ∴EF＝tan∠QOE•OE（cm）， 的长为（cm）， ∵0， ∴EF． 23．（1）解：CD⊥AB， ∴PC＝PDCD， 连接OC，设⊙O的半径为r，则PO＝PB﹣r＝4﹣r， 在RT△POC中，OC2＝OP2+PC2， 即r2＝（4﹣r）2+（）2，解得r． （2）证明：∵∠A＝∠C，∠F＝∠ABC， ∴∠ABF＝∠CPB， ∵CD⊥AB， ∴∠ABF＝∠CPB＝90°， ∴直线BF是⊙O的切线； （3）四边形AEBF是平行四边形； 理由：解：如图2所示：∵CD⊥AB，垂足为P， ∴当点P与点O重合时，CD＝AB， ∴OC＝OD， ∵AE是⊙O的切线， ∴BA⊥AE， ∵CD⊥AB， ∴DC∥AE， ∵AO＝OB， ∴OC是△ABE的中位线， ∴AE＝2OC， ∵∠D＝∠ABC，∠F＝∠ABC． ∴∠D＝∠F， ∴CD∥BF， ∵AE∥BF， ∵OA＝OB， ∴OD是△ABF的中位线， ∴BF＝2OD， ∴AE＝BF， ∴四边形AEBF是平行四边形． 第1页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $$