精品解析：甘肃省兰州市兰州新区第一高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

兰州新区高级中学2024—2025学年第一学期期中考试 高一年级数学试题（卷） 命题人：把多忠 审题人：郜梅兰 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题，本题共8小题，每题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“，”的否定是，. 故选：C. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】因为集合，所以. 故选：A. 3. 设是方程的两根，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根判别式、根与系数关系进行求解即可. 【详解】因为方程的判别式为， 所以， 因此， 故选：C. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】，或， 所以，“”“”，但“”“”， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 设都是正实数，则的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】对展开化简，然后利用基本不等式求最小值即可. 【详解】都是正实数，， 当且仅当，即，a，b为正数时等号成立，故最小值为9. 故选：D 6. 若函数，则等于（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】取，代入计算得到答案. 【详解】，取得到. 故选：B. 7. 若，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，根据不等式的性质判断B、D，利用作差法判断C. 【详解】对于A：当时，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为，则，所以， 所以，故C错误； 对于D：因为，所以，，所以，故D正确； 故选：D 8. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，则关于实数的取值正确的是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】BCD 【解析】 【分析】由元素与集合的关系求解，并注意验证集合中元素的互异性. 【详解】由已知，则可能有以下几类情况： （1）若，则. 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； （2）若，则. 此时，不符合集合中元素的互异性，不合题意； （3）若，解得（已舍），或 当时，，满足题意. 综上所述，. 故选：BCD. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的单调递减区间是 C. 若定义在R上的奇函数在区间上单调递增，则在R上单调递增 D. 偶函数的图象必有对称轴 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数的定义域、单调性、奇函数的定义以及性质进行运算求解、判断． 【详解】对于A，若函数的定义域为，则函数的定义域为，故A正确； 对于B，函数的单调递减区间是和，故B错误； 对于C，若定义在R上的奇函数在区间上是单调增函数，则在区间上也是单调增函数，从而易得在R上单调递增，故C正确； 对于D，偶函数的图象关于轴对称，故必有对称轴，D正确． 故选：ACD． 11. 下列函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【解析】 【分析】判断每个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的为同一个函数，否则不是同一个函数. 【详解】A中的定义域为，的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数； B中，的定义域都是R，定义域和对应关系都相同，表示同一个函数； C中的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数； D中，的定义域为，， ，定义域和对应关系都相同，表示同一个函数. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等价于，求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 13. 比较大小：______.（填“”“”“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】， 所以. 故答案为： 14. 若函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数在区间上的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 因为函数在区间上是单调增函数，则，解得. 故答案为：. 四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用集合并运算求结果； （2）由题设，讨论、列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题设，则 【小问2详解】 由， 若，则，满足题设； 若，则，满足题设； 综上，. 16. 求下列不等式的解集. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可. 【小问1详解】 原不等式，解之得， 即不等式的解集为； 【小问2详解】 原不等式，显然不等式无解， 即不等式的解集为； 【小问3详解】 原不等式，显然不等式在时恒成立， 即不等式的解集为. 17. 已知函数. （1）求； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明. 【答案】（1）-1； （2）函数在上单调递增，证明如下： 任取且， ∴， ∵，∴，， ∵，∴， ∴，从而， ∴函数在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）先求出，再求得解； （2）先判断函数在上单调递增，再利用单调性的定义证明. 【小问1详解】 ∵，∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断和证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18. 已知函数是定义在R上的增函数，满足 （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）若，求x的取值范围. 【答案】（1）0； （2）奇函数，证明：函数是奇函数. 函数的定义域为R，，令，， 即，所以函数为奇函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定等式，利用赋值法求解作答. （2）利用（1）的结论，并取，代入计算，再利用奇偶函数定义推理作答. （3）利用（2）的结论，结合单调性去掉法则“f”解不等式作答. 【小问1详解】 依题意，，，令，则， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得，又， 因此不等式，而函数是R上的增函数， 则有，解得， 所以x的取值范围是. 19. 求解下列各题： （1）求的最大值. （2）求的最小值. （3）已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【小问1详解】 当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. 【小问2详解】 当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 【小问3详解】 因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州新区高级中学2024—2025学年第一学期期中考试 高一年级数学试题（卷） 命题人：把多忠 审题人：郜梅兰 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题，本题共8小题，每题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是方程的两根，那么的值是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 设都是正实数，则的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. 7 D. 9 6. 若函数，则等于（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 3 7. 若，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，则关于实数的取值正确的是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的单调递减区间是 C. 若定义在R上的奇函数在区间上单调递增，则在R上单调递增 D. 偶函数的图象必有对称轴 11. 下列函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为______. 13. 比较大小：______.（填“”“”“”“”或“”） 14. 若函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 16. 求下列不等式的解集. （1）； （2）； （3）. 17. 已知函数. （1）求； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明. 18. 已知函数是定义在R上的增函数，满足 （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）若，求x的取值范围. 19. 求解下列各题： （1）求的最大值. （2）求的最小值. （3）已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $