精品解析：河南省南阳市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024年秋期高中一年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集与补集的概念运算计算. 【详解】由题意可知. 故选：B 2. 下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对于A：的定义域为，且， 所以为奇函数，但在上单调递增，不符合题意， 故A错误； 对于B，易知，即不是奇函数，故B错误； 对于C，易知的定义域为，即不具有奇偶性，故C错误； 对于D，定义域为R，且，在R上单调递增，故D正确. 故选：D 3. 已知命题p：，使，则为（ ） A. ，有 B. ，使 C. ，有 D. ，使 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有量词命题的否定的变换规则写出即可. 【详解】由题意得，命题p：，使， 根据含有量词的命题的否定变换规则，存在量词变为全称量词并否定结论， 可得：有. 故选：C. 4. “方程有实根”的充要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分和，利用判别式法求得a的范围，再利用逻辑条件判断. 【详解】解：当时，，方程有实根； 当时，，解得，此时，，且， 综上：方程有实根”的充要条件为， 故选：A 5. 已知函数（其中且），若在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数型函数的单调性以及一次函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解. 【详解】若在上单调递增，则需满足，解得， 故选：D 6. 制作一个面积为1且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（ ） A. 4.6m B. 4.8m C. 5m D. 5.2m 【答案】C 【解析】 【分析】设一条直角边为，由面积和勾股定理求出另外两条边，再结合基本不等式求周长最小值即可； 【详解】设一条直角边为，由于面积为1，所以另一条直角边为， 所以斜边长为， 所以周长为， 当且仅当且，即时取等号， 所以较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为5m， 故选：C. 7. 若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性与奇偶性求解即可. 【详解】当时，为增函数， 又是定义在上的奇函数，当时，， 故在上为增函数. 故则， 故，即，解得. 故选；A 8. 设，，，若，且，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数图象，即可根据，得求解. 【详解】当时，，且， 当时，，且， 作出的图象如下： 若，且，即可，故， 由于，由图象可知， 故选：D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列表述正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义和性质即可求解. 【详解】，故A错误，B正确 空集是不含任何元素的集合，且空集是任何集合的子集，故C错误，D正确， 故选：BD 10. 若函数的定义域为，对，，都有成立，且当时，，则（ ） A. 是上的增函数 B. 是上的减函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，令可得，再令，利用奇偶性的定义可判断函数的奇偶性；令，利用单调性的定义，结合已知条件可判断函数的单调性. 【详解】由题意知，函数的定义域为，对，，都有成立； 令，则，即， 令，得，则，即，所以函数是奇函数，故C正确，D不正确； 设，则，得，即， 因为时，，所以，得，即，所以函数是上的减函数，故A不正确，B正确； 故选：BC. 11. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值是 B. 若则的最小值是 C. 若，则的取值范围是或 D. 若，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由基本不等式可得A正确；由基本不等式的乘“1”法可得B错误；由一元二次不等式可得C正确； 由对勾函数的性质可得D正确； 【详解】对于A，当时，， 所以，即， 当且仅当即时取等号， 所以最小值为，故A错误； 对于B，当时，，即， 则， 当且仅当，时取等号，故B正确； 对于C，当时，，即， 因为，所以，又， 所以解得或，故C正确； 对于D，当时，，即， 所以， 令，由C可得，当时，为增函数， 此时， 当时，为减函数，此时， 综上的取值范围是，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】由，解之得. 故答案为：. 13. 设，，且，已知，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用完全平方公式结合对数的运算法则计算即可. 【详解】由可知，即 又， 所以，所以. 故答案为： 14. 若，对，不等式恒成立，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论t的范围，结合因式解高次不等式计算即可. 【详解】若，则恒成立，此时不等式的解集为， 与矛盾，舍去； 若，则不等式， ①当，即时， 此时原不等式的解集为， 要满足题意需（区间恒正），即； ②当，即，此时原不等式的解集为， 要满足题意需，即， ； ③当，即时， 此时不等式的解集为， 要满足题意需（区间恒正）， 即时，， 易知单调递减，可知，即， ； ④当，即，此时不等式的解集为， 而要满足题意需，显然不符合题意，舍去， ； ⑤，即，此时不等式的解集为， 同上需满足，仍不符合题意，舍去， ； 综上：实数m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：根据高次不等式的解法，分类讨论三个根的大小关系，结合题意分析即可，要注意讨论不重不漏. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1）6 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据指数运算性质运算求解即可； （2）方法一：根据对数运算性质运算求解即可； 方法二：利用对数的换底公式以及运算性质计算. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 方法一： 原式 ； 方法二： 由换底公式知：， 所以原式 . 16. 已知集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据真子集定义列出不等式组即可求解； （2）根据子集定义，对集合是否为空集进行分类讨论，列出对应不等式组即可求解. 【小问1详解】 由可得：，且等号不能同时取得 解得， 即a的取值范围是. 【小问2详解】 若，则，即，解得； 若，则 解得， 综上所述，a的取值范围是. 17. 已知函数，函数. （1）求函数的解析式； （2）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明. 【答案】（1） （2） 函数在区间上单调递减. 证明：任取，，且. 则， 又因为，所以，， 则， ∴，即， ∴函数在区间上单调递减. 【解析】 【分析】（1）利用换元法即可求解， （2）根据函数单调性的定义即可求解. 【小问1详解】 令，则， ∴， ∴，即， ∴. 【小问2详解】 函数在区间上单调递减. 证明：任取，，且. 则， 又因为，所以，， 则， ∴，即， ∴函数在区间上单调递减. 18. 已知关于x的一元二次不等式的解集为. （1）求a，b的值； （2）若关于x的不等式的解集为，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式与一元二次方程的关系直接待定系数计算即可； （2）利用一元二次不等式与二次函数的关系含参分类讨论计算即可. 【小问1详解】 由题可知的两根是和，且， 则由根与系数关系得： 解得； 【小问2详解】 由（1）知不等式的解集为， 根据题意： ①时，即或， 若，则得，解集为，不合题意，舍去. 若，则得，解集为，符合题意. ②当时，要使不等式的解集为， 只需，即, 解得， 综上：实数m的取值范围是. 19. 平均值不等式（，，…，，当且仅当时等号成立）是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究中占有重要的位置，在不等式证明、数列收敛性证明、函数性质分析、数学建模和优化问题等方面，平均值不等式常常能够发挥关键作用.当时，可得基本不等式（a，，当且仅当时，等号成立）.当时，可得，（a，b，，当且仅当时，等号成立），而利用该不等式我们可解决某些函数的最值问题，例如：（）求函数）的最小值我们可以这样处理：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12. （1）请利用当时的结论解决下面问题：已知，，，求证：； （2）请利用当时的结论解决下面问题： ①已知，求的最小值； ②已知矩形ABCD的周长为6，设（），将其绕AB所在直线旋转一周所得圆柱的体积为V，求V的最大值. 【答案】（1）证明：因为，，，所以由基本不等式，得 ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 以上三式相加，得， 即，当且仅当时，等号成立. （2）①6；②； 【解析】 【分析】（1）列出满足的基本不等式相加即可； （2）①配凑再利用结论求解即可； ②设（），由圆柱体积公式得表达式，再配凑根据求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ① 当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值为6． ②设（），则，由圆柱体积公式得： 当且仅当，即时等号成立， 即V的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期高中一年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题p：，使，则为（ ） A. ，有 B. ，使 C. ，有 D. ，使 4. “方程有实根”的充要条件为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（其中且），若在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 制作一个面积为1且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（ ） A. 4.6m B. 4.8m C. 5m D. 5.2m 7. 若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，若，且，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列表述正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 若函数的定义域为，对，，都有成立，且当时，，则（ ） A. 是上的增函数 B. 是上的减函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 11. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值是 B. 若则的最小值是 C. 若，则的取值范围是或 D. 若，则的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 不等式的解集为______. 13. 设，，且，已知，若，则__________. 14. 若，对，不等式恒成立，则实数m的取值范围是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 计算： （1）； （2）. 16. 已知集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 17. 已知函数，函数. （1）求函数的解析式； （2）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明. 18. 已知关于x的一元二次不等式的解集为. （1）求a，b的值； （2）若关于x的不等式的解集为，求实数m的取值范围. 19. 平均值不等式（，，…，，当且仅当时等号成立）是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究中占有重要的位置，在不等式证明、数列收敛性证明、函数性质分析、数学建模和优化问题等方面，平均值不等式常常能够发挥关键作用.当时，可得基本不等式（a，，当且仅当时，等号成立）.当时，可得，（a，b，，当且仅当时，等号成立），而利用该不等式我们可解决某些函数的最值问题，例如：（）求函数）的最小值我们可以这样处理：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12. （1）请利用当时的结论解决下面问题：已知，，，求证：； （2）请利用当时的结论解决下面问题： ①已知，求的最小值； ②已知矩形ABCD的周长为6，设（），将其绕AB所在直线旋转一周所得圆柱的体积为V，求V的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $