精品解析：山西省忻州市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中 八年级数学 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如右图，线段AD，AE，AF分别为的中线、角平分线和高线，其中能把分成两个面积相等的三角形的线段是（ ） A. AD B. AE C. AF D. 无 3. 如图，在中，点、分别在边、上，、相交于点，，添加下列条件中的一个，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，点D在上，且，则的度数是（ ） A. 36° B. 45° C. 54° D. 72° 5. 下列多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ） A. 正方形与正六边形 B. 正四边形和正八边形 C. 正五边形和正八边形 D. 正三角形和正十边形 6. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知、、三点共线，、分别垂直于，垂足为点、，，如果添加的条件判断的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 下列各命题的逆命题，属于假命题的是（ ） A. 锐角三角形是等边三角形 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等 D. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等 9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 10. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形． _______________ 12. 若（a﹣4）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是_____． 13. 如图，△ABC中，AB=4cm，BC=AC=5cm，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，点D到AC的距离是1cm，则△ABC的面积是_____． 14. 在 中， ， ，则边上的中线 的取值范围是___________ 15. 如图，在等腰中，平分，点C在的垂直平分线上．若的周长为，则的长为 _____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）如图，五边形中，，求图中的值． （2）如图，在中，，求的度数． 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC 的三个顶点都在格点上，请完成下列问题： （1）画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标； （2）的面积为______________； （3）在轴上找一点，使最小，在图中画出点P的位置.（不限作图工具，保留作图痕迹）． 18. 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． （1）求证： （2）若，求的度数． 19. 如图，，，垂足分别是，，交于点，，，与有什么关系？请说明理由． 20. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BE⊥AC于点E，点D在AC上，且AD＝AB，AK平分∠CAB，交线段BE于点F，交边CB于点K． （1）在图中找出一对全等三角形，并证明； （2）求证：FD∥BC ． 21. 如图，在中，是边上的中线，且，的垂直平分线交于F，交于M． （1）求的度数； （2）证明是等边三角形； （3）若的长为2，求的边长． 22. 在中，，点是直线上一点不与、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接E． （1）如图1，当点在线段上，如果． ①则与全等吗？请说明理由； ②求的度数； （2）如图2，如果，当点在线段上移动，则的度数是 ； （3）如图2，当点在线段上，如果，点为中边上的一个动点与、均不重合，当点运动到什么位置时，的周长最小？ 23. （1）课本习题回放： “如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”．请直接写出此题答案：的长为_______cm． （2）探索证明： 如图②，点B，C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用： 如图③，在中，，．点D在边上，点E在线段上，．若，则_______．（图中画出分析思路；直接填写结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中 八年级数学 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 如右图，线段AD，AE，AF分别为的中线、角平分线和高线，其中能把分成两个面积相等的三角形的线段是（ ） A. AD B. AE C. AF D. 无 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，可得等底等高的两个三角形面积相等，再根据三角形的角平分线、中线和高的性质，可知三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，所以面积相等． 【详解】解：∵三角形的中线把三角形分成两个三角形，底边相等高是同一条高， ∴分成的两个三角形的面积相等． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的性质，解决本题的关键是熟练的掌握三角形中中线的性质． 3. 如图，在中，点、分别在边、上，、相交于点，，添加下列条件中的一个，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．根据全等三角形的判定解决此题． 【详解】解：A．∵，， ∴， 在与中， ， ∴， 故选项A不符合题意； C．∵， ∴， 在与中， ， ∴， 故选项C不符合题意； C．∵， ∴， 在与中， ， ∴， 故选项D不符合题意， 无法推出选项B能证明， 故选：B 4. 如图，在中，，点D在上，且，则的度数是（ ） A. 36° B. 45° C. 54° D. 72° 【答案】A 【解析】 【分析】设，通过线段相等得到角相等，再根据三角形内角和列方程求出x的值即可． 【详解】解：设 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，根据题意明确各角之间的关系是解答本题的关键． 5. 下列多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ） A. 正方形与正六边形 B. 正四边形和正八边形 C. 正五边形和正八边形 D. 正三角形和正十边形 【答案】B 【解析】 【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满． 【详解】解：A、正六边形的每个内角是120°，正方形的每个内角是90°，120m+90n=360°，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满； B、正八边形和正四边形内角分别为135°、90°，显然能构成360°的周角，故能铺满； C、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，108m+135n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满； D、正十边形和正三角形内角分别为144°、60°，不能构成360°的周角，故不能铺满，故此选项错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 6. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可． 【详解】解：由题意可知 在中 ∴(SSS) ∴ ∴就是的平分线 故选：D 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键． 7. 如图，已知、、三点共线，、分别垂直于，垂足为点、，，如果添加的条件判断的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据HL定理解答． 【详解】解：∵、分别垂直于， ∴， ∵，， ∴利用HL证明， 故选：D． 【点睛】此题考查直角三角形全等的判定定理，熟记定理并熟练应用是解题的关键． 8. 下列各命题的逆命题，属于假命题的是（ ） A. 锐角三角形是等边三角形 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等 D. 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是命题与逆命题的真假判断，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先写出各选项的逆命题，再判断即可． 【详解】解：锐角三角形是等边三角形的逆命题是“等边三角形是锐角三角形”，逆命题是真命题，故A不符合题意； 直角三角形的两个锐角互余的逆命题是“有两个角互余的三角形是直角三角形”，逆命题是真命题，故B不符合题意； 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等的逆命题是“如果两个三角形中三边分别对应相等，那么这两个三角形全等”，逆命题是真命题，故C不符合题意； 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等的逆命题是“如果两个三角形中三角分别对应相等，那么这两个三角形全等”，逆命题是假命题，故D符合题意； 故选D 9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 10. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键． 此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出与是等腰三角形，再证明为等边三角形即可． 【详解】解：连接． ∵的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形． _______________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题是一道规律型的题，首先要从图中找出规律，然后再根据规律画图．同时考查了轴对称图形的性质．仔细观察会发现它们都是轴对称图形，其中1、3、5是上下对称；2、4、6是左右对称．根据此规律即可得到图形． 【详解】解∶由题意，1，3，5上下对称即得， 则空白处可补： ， 故答案是：（答案不唯一）． 12. 若（a﹣4）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是_____． 【答案】14或16##16或14 【解析】 【分析】先根据非负数的性质得到a、b的长，再分为两种情况：①当腰是4，底边是6时，②当腰是6，底边是4时，求出即可． 【详解】解：∵（a﹣4）2+|b﹣6|＝0， ∴a﹣4＝0，b﹣6＝0， ∴a＝4，b＝6， ①当腰是4，底边是6时，三边长是4，4，6，此时符合三角形的三边关系定理， 即等腰三角形的周长是4+4+6＝14； ②当腰是6，底边是4时，三边长是6，6，4，此时符合三角形的三边关系定理， 即等腰三角形的周长是6+6+4＝16． 故答案为：14或16． 【点睛】本题考查了非负数的性质（偶次方和绝对值），解题的关键是根据三角形三边关系判定等腰三角形，及三角形的周长公式． 13. 如图，△ABC中，AB=4cm，BC=AC=5cm，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，点D到AC的距离是1cm，则△ABC的面积是_____． 【答案】7 【解析】 【分析】根据垂线的定义，分别过D点作AB、AC、BC的垂线，然后根据角平分线的性质，可得DH、DE、DF长为1，最后运用三角形的面积公式分别求出三个三角形的面积，相加即可得出答案. 【详解】解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，连接AD，则DH=1， ∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB， ∴DF=DH=1，DE=DF=1， ∴S△ABC=S△ABD+S△BCD+S△ACD= ×4×1+×5×1+×5×1=7． 故答案为7． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义以及角平分线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用角平分的性质. 14. 在 中， ， ，则边上的中线 的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使得，可证 ，可得 ，在中，根据三角形三边关系即可求得的取值范围，进而求出的取值范围； 【详解】解：如图，延长至点，使得 在 和 中 ∴ ， 在 中， 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中证明是解题的关键． 15. 如图，在等腰中，平分，点C在的垂直平分线上．若的周长为，则的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，由题意得的周长，根据点C在的垂直平分线上得，即可求解； 【详解】解：∵平分， ∴， ∴的周长， ∴， ∵点C在的垂直平分线上． ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）如图，五边形中，，求图中的值． （2）如图，在中，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，三角形内角和定理，平行线的性质，等边对等角： （1）先由平行线的性质求出的值，再根据五边形内角和定理求出的值，据此可得答案； （2）先根据等边对等角求出的度数，再根据内角和为180度建立方程求出x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC 的三个顶点都在格点上，请完成下列问题： （1）画出关于轴的对称图形，并写出点的坐标； （2）的面积为______________； （3）在轴上找一点，使最小，在图中画出点P的位置.（不限作图工具，保留作图痕迹）． 【答案】（1）画图见解析， （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变换； （1）利用关于轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点连线即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，利用两点之间线段最短可判断点满足条件． 【小问1详解】 如图1，为所作； 【小问2详解】 的面积； 【小问3详解】 如图，点为所作， 18. 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． （1）求证： （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：为中点， ， 在和中， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可． 本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ． 19. 如图，，，垂足分别是，，交于点，，，与有什么关系？请说明理由． 【答案】，，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，证明，根据推出，根据全等三角形的性质得出，，求出即可． 【详解】解：，， 理由是：∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BE⊥AC于点E，点D在AC上，且AD＝AB，AK平分∠CAB，交线段BE于点F，交边CB于点K． （1）在图中找出一对全等三角形，并证明； （2）求证：FD∥BC ． 【答案】（1）△ADF≌△ABF；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由AK平分∠CAB，可得∠DAF=∠BAF，再由AD＝AB，AF=AF，利用SAS即可判定△ADF≌△ABF； （2）由△ADF≌△ABF，可得∠ADF=∠ABF，再由∠CAB+∠C=90°，∠CAB+∠ABF =90°，可得∠ABF =∠C，即可得∠ADF=∠C，根据同位角相等，两直线平行即可判定FD∥BC ． 【详解】（1）△ADF≌△ABF， ∵AK平分∠CAB，∴∠DAF=∠BAF， 在△ADF和△ABF中， ， ∴△ADF≌△ABF； （2）∵△ADF≌△ABF， ∴∠ADF=∠ABF， ∵∠ABC=90°，BE⊥AC于点E， ∴∠CAB+∠C=90°，∠CAB+∠ABF =90°， ∴∠ABF =∠C， ∴∠ADF=∠C， ∴FD∥BC ． 21. 如图，在中，是边上的中线，且，的垂直平分线交于F，交于M． （1）求的度数； （2）证明是等边三角形； （3）若的长为2，求的边长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）8 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出，从而可得结论；． （2）是等腰三角形，满足三线合一的性质．点F在线段的垂直平分线上，点F到线段两端点的距离相等可求出． （3）在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半求出．由线段垂直平分线的性质得出再由是等边三角形得,从而得出结论 【小问1详解】 在中， ∵， ∴． 又∵， ∴． 在中， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【小问3详解】 ∵垂直平分， ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 22. 在中，，点是直线上一点不与、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接E． （1）如图1，当点在线段上，如果． ①则与全等吗？请说明理由； ②求的度数； （2）如图2，如果，当点在线段上移动，则的度数是 ； （3）如图2，当点在线段上，如果，点为中边上的一个动点与、均不重合，当点运动到什么位置时，的周长最小？ 【答案】（1）①全等，见解析；② （2） （3）点运动到中点 【解析】 【分析】（1）①根据已知条件直接证明；②根据，得出，根据等腰三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据（1）的方法证明，同理可得结论； （3）根据全等三角形的性质得出的周长，根据等边三角形的性质可得当最小时，即当点运动到中点时，的周长最小，即可求解． 【小问1详解】 解：①与全等 证明：， ，即． 在与中， ， ②， ， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 ， ，即． 在与中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 当点运动到中点时，的周长最小． ， ， 为等边三角形 ， 的周长 ； 当最小时，即当点运动到中点时，的周长最小． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 23. （1）课本习题回放： “如图①，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长”．请直接写出此题答案：的长为_______cm． （2）探索证明： 如图②，点B，C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用： 如图③，在中，，．点D在边上，点E在线段上，．若，则_______．（图中画出分析思路；直接填写结果） 【答案】（1）； （2）证明：如图， ，，，， ，， 在和中， ， ； （3）如图所示；， 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）利用同角的余角相等证明，再利用证明，根据全等三角形的性质、结合图形解答； （2）利用三角形的外角性质证明，，再利用即可证明； （3）在线段上截取，连接，由证明，由全等三角形的性质结合三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，． ，， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）解：在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，则，，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $