第一章 预备知识 第二节 常用逻辑用语随堂练习——2025届高三数学一轮复习

第1章　 预备知识 第2节　 常用逻辑用语 1．下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．∃x∈R，1＋sin x<0 B．每个等腰三角形都有内切圆 C．∀x∈R，x2＋2x≥－1 D．存在一个正整数，它既是偶数又是质数 2．若命题p：∃x∈R，>0，则¬p表述准确的是(　　) A．∃x∈R，≤0 B．∀x∈R，≤0 C．∃x∈R，≥0或x＝－2 D．∀x∈R，≤0或x＝－2 3．(2024·武汉模拟)“a≤”是“方程x2＋3x＋a＝0(x∈R)有正实数根”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(多选题)(2024·深圳模拟)使“≥1成立”的一个充分不必要条件是(　　) A．0<x<1 B．0<x<2 C．x<2 D．0<x≤2 5．(新情境)荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”，此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．(2024·菏泽模拟)已知空间向量a＝(λ，1，－2)，b＝(λ，1，1)，则“λ＝1”是“a⊥b”的________条件． 7．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题”的一组有序数对(a，b)为________. 8．“不等式ax2＋2ax－1<0恒成立”的一个充分不必要条件是(　　) A．－1≤a<0 B．a≤0 C．－1<a≤0 D．－1<a<0 9．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 10．集合A＝，B＝{x||x－b|<a}．若“a＝1”是“A∩B＝∅”的充分条件，则实数b的取值范围是________. 11．若“不等式|x|<a”的一个充分条件为“－2<x<0”，则实数a的最小值是________. 12．已知命题p：∀x∈[1，2]，x2＋1≥a，命题q：∃x∈[－1，1]，使得2x＋a－1>0成立．若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为________. 答案解析 1、D　解析：B与C均为全称量词命题，A与D均为存在量词命题，故B，C错误；因为∀x∈R，1＋sin x≥0，则“∃x∈R，1＋sin x<0”是假命题，故A错误；正整数2既是偶数又是质数，则“存在一个正整数，它既是偶数又是质数”是真命题，故D正确．故选D． 2、D　解析：全称量词和存在量词命题的否定，分两步走，换符号、否结论．存在量词命题的否定为全称量词命题，故排除AC选项．其中>0可解得x>－2，因为x>－2的否定应是x≤－2，故D项正确．故选D． 3、B　解析：由方程x2＋3x＋a＝0有正实数根，则等价于函数f (x)＝x2＋3x＋a有正零点．又因为二次函数f (x)的对称轴为直线x＝－<0，则函数f (x)只能存在一正一负的两个零点，则解得a<0.又(－∞，0)⊆，故“a≤”是“方程x2＋3x＋a＝0(x∈R)有正实数根”的必要不充分条件．故选B． 4、AB　解析：由≥1，得≥0，解不等式得0<x≤2，结合选项知使“≥1成立”的一个充分不必要条件是“0<x<1”或“0<x<2”．故选AB． 5、B　解析：荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件． 6、充分不必要　解析：当λ＝1时，a＝(1，1，－2)，b＝(1，1，1)，a·b＝1＋1－2＝0，可得a⊥b，即充分性成立；若a⊥b，则a·b＝λ2＋1－2＝0，解得λ＝±1，据此可得必要性不成立．综上可知，λ＝1是a⊥b的充分不必要条件． 7、(答案不唯一)　解析：答案不唯一，如都符合题意． 8、D　解析：当a＝0时，－1<0恒成立；当a≠0时，则解得－1<a<0.综上所述，不等式ax2＋2ax－1<0恒成立时，－1<a≤0.所以选项中“不等式ax2＋2ax－1<0恒成立”的一个充分不必要条件是“－1<a<0”．故选D． 9、 B　解析：甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cos β，所以由甲不能推出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推出甲，所以甲是乙的必要不充分条件．故选B． 10、(－2，2)　解析：A＝(－1，1)，当a＝1时，B＝(b－1，b＋1)．因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，且A∩B＝∅时，有b＋1≤－1或b－1≥1，解得b≤－2或b≥2，所以当A∩B≠∅时，－2<b<2. 11、2　解析：由不等式|x|<a，当a≤0时，不等式|x|<a的解集为空集，显然不成立；当a>0时，不等式|x|<a，可得－a<x<a，要使得“不等式|x|<a”的一个充分条件为“－2<x<0”，则满足{x|－2<x<0}⊆{x|－a<x<a}，所以－2≥－a，即a≥2，故实数a的最小值是2. 12、(－∞，－1]　解析：命题p：∀x∈[1，2]，x2＋1≥a，若p是真命题，则a≤(x2＋1)min＝2；命题q：∃x∈[－1，1]，使得2x＋a－1>0成立，若q为真命题，则a>(1－2x)min＝1－2＝－1，所以命题q是假命题时，a≤－1.综上所述，实数a的取值范围为a≤－1，即a∈(－∞，－1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$