天津市西青区杨柳青第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

2024一2025学年度第一学期高三年级第三次阶段性测试 数学学科（2024.11) 一，选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符 合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上， 1.设巢合A={1,3引，B={2-3x+m=0,若AnB={,则集合B=（) A.{L-2 B.{15} c.{红，0y D.{1,2 2已知，BeR,则rsi血a=oB"是a-B=受”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为() A.( 3-2 弱 cf倒= 34-2 D.f()- 4.下列说法中正确的是() A.具有线性相关关系的变量x,y,其线性回归方程为y=02x-m,若样本中心(m,3.2),则m=4: B.数据3,4,2,8,1,5,8,6的中位数为5： C.将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大： D.若甲、乙两组数据的相关系数分别为一0.91和0.89，则甲组数据的线性相关性更强， 5.已知函数f()=-x,若a=l0g,2,b=1ogs0.2,c=0.54,则（) A.f(b)<f(a)<f(c) B.f(c)<f(b)<f(a) C.f(b)<f(c)<f(a) D.f(a)<f(b)<f(c) 6.已知函数f(y=2si血(@rx+p)@>0k号的0最小正周期为元，将函数f)的图象向右平移艺个 6 单位得到函数g)的图象，且8+写引8行-则P的值为( B. c.君 0. 高三年级数学第1页共4页 7.已知直三棱柱ABC-4BC的6个顶点都在球O的表面上，若AB=AC=L,AA=4, ∠B4C=号。则球0的表面积为（) A.16π B.20π C.28π D.32元 8.已知数列{a},下列结论不正确的是（) A.若{a,}为等比数列，则数列gan}是等差数列B.若a=1,a=2a+1,则an=2”-1 C.若a=2,a1=an+n+1,则a0=211D.若{a}为等差数列，则数列{e}是等比数列 9双曲线r:女y 豆一京=1(>0,6>0)的左右焦点分别为R,R,过6的直线与其-支交于A,B 两点，点B在第四象限以F为圆心，T的实轴长为半径的圆与线段AR,BR分别交于M,N两 点，且IAM=3引BN LFB⊥FB,则T的渐近线方程是（) A.y=+6x C.y= 0.y=t 一x 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写到答题卡上，试题 中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分. 10复数在复平面内对应的点位于第】 象限 (x- 展开式的第四项的系数为 12.已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为 12 2331 且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则至少有一人命中的概率为 ；在三人中怡 有两人命中的前提下，甲命中的概率为一， 13.已知P(-2a,0),2(6,b)(a>0,b>0),动圆x-a}2+(心-)}=r2(>0)经过原点，且圆心在 直线x+2y=2上.当直线P2的斜率取最大值时，r= 高三年级数学第2页共4页 14.在平面四边形ABCD中，AB=25,AD=6,向量花在向登D上的投彬向量为AD, 2 则∠BAD= 若C=!D,点E为线段BD上的动点，则C元正的最小值为 [2cos2x,-π≤x≤0 15.己知函数f(x)= 16 x+ 6-8x>0,关于x的方程2f()+6-2a)f)-5a=0在-元，)上 有四个不同的解5,5，x,且名<名<名<x,若士名+-竖20恒成立，则实数k的取值 k XIXA 范围是 三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 16.(本小题满分14分) 已知△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2a-√5c)cosB=√3 bcosC (1)求角B的大小： (2)若c=√5，a+b=2,求△MBC的面积： (3)若b=√2a,求sin(2A+B) 17.(本小题满分15分) 如图，PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,ABIICD,POICD,AD=CD=DP=2PQ=2AB=2, 点E,F,M分别为AP,CD,B2的中点. (1)求证：EF∥平面CPM: (2)求平面QPM与平面CPM夹角的正弦值： (3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面2PM所成的角为二 求N到平面CPM的距离. 高三年级数学第3页共4页 18.(本小题满分15分) 如鼠。在平面直角经标系0中，圆C,三+茶=1a>0的离心常为 3，短轴长 是2. (1)求椭圆C的方程： (2)设椭圆C的下项点为D,过点D作两条互相垂直的直线，2， 这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M,N.设l的斜率为k S.16 （k≠0)，△DMN的面积为S,当网>g时，求k的取值范围。 19.(本小题满分15分) 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，满足a=1,a,+a=4,正项数列{b,}的前n项 和为Sn,且Sn=3”-1. (1)求数列{a}和{也}的通项公式： (2)在b,b2之间插入1个数C1,使，G1,b2成等差数列，在b2,b之间插入2个数C21, C22,使b2,C1,C2,b成等差数列，在bn,bn1之间插入n个数c1,Cn2，… Cm，使bn，Cn1'C2,,Cm，b成等差数列. ①求Ck: ②求G1+Cz1+Cn+C31+C32+C33+…tcnl+cn2+…+cm. 20.(本小题满分16分) 已知函数f)=-+x-ax(ee). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点（自，f()处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间： (3)若函数f(x)有两个极值点x,2(:<x),求证：4f(x)2f(:)s1+3n2. 高三年级数学第4页共4页 2024-2025学年第一学期高三年级第三次阶段性测试数学学科答案 一、选择题 1.D 2.B 3.A 4.D 5.c 6.C7.B 8.A 9.B 二、填空题 10.一 11.-160 13.22 9 3 140若@65 16.【小问1详解】 由正弦定理得： (2sinA-3sinC)cosB=sinBcosC, 2sinAcosB=3sinCcosB+sinBcosC=sin (B+C)=sinA, 显然sinM≠0则cosB=V5 又B∈(0，)，故B= 6 【小问2详解】 B=”,c=5, 6 由余弦定理可得c0sB=。+3-形。5 整理可得a2-b2+3=3a, 2×a×V32 又a+b=2,解得a=b=1, .Smc-acsinx1xx 2 2 24 【小问3详解】 1 由正弦定理得：sinB=V2sin4,则sinA=sinB :b=√2a,即>，则B>A,故A为锐角， :.sin24-2sindcos2x d 4 c0s2A=2c0s2A-1=2× sin(24+B)=sin2Acos+c0s24sin1+3 6 642428 17.【小问1详解】 连接EM,因为ABIICD,PQIICD,所以ABIIPQ,又因为AB=P2,所以PAB2为平行 四边形.由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM/IAB且EM=AB, 因为AB/ICD,CD=2AB,F为CD的中点，所以CF/IAB且CF=AB, 可得EM//CF且EM=CF,即四边形EFCM为平行四边形， 所以EF/IMC,又EFd平面MPC,CMc平面MPC, 所以EF/I平面MPC 【小问2详解】 因为PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,可以建立以D为原点，分别以 DADC,DP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系. 依题意可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(21,0),C(0,2,0), P(0,0,2),2(0,1,2),M(1,1,1. Pm=(1,-1),P0=(01,0),CM=1,-1,1P元=0,2，-2) 设元=(x,y,z)为平面PM0的法向量， 则 m·PM=0m「x+y-z=0 7P0=0 ，即 )60,不纺设：=1.可得示-40)。 设n2=(名，，)为平面MPC的法向量， 元P元=0∫2y-24=0 C丽=0名-%+名=0'不妨设名=l,可得历-(0,1，)， ·即 cosm,n2= 前宝是血低列=语 所以二面角2-PM-C的正弦值为 2 【小问3详解】 设0N=2C(0≤1≤1)，即=0C=(0,1,-22),则N(0,元+1,2-2) 从而DN=(0,元+1,2-21) 由(2)知平面PM0的法向量为元=(L,0,1), 血威外 2-2 由题意， ,即2a++2-2a-万 整理得3以2-102+3=0，解得元=亏或1=3. 因为0≤≤1所似-片，所以丽=C一心-C-号01-2斗 NCm21-反 则N到平面CPM的距离为d= 3V23 18. 【小问1详解】 设椭圆C的半焦距为C, 9=5 a2 (a=2 根据题意可得 2b=2 ·解得b=1 a2=b2+c2 c=5 所以椭圆C的方程为 +y2=1. 4 【小问2详解】 由(1)知，椭圆C的方程为+y=1,D0,- 所以直线：y=&-1(k≠0)，4：y=- 1, 设M(,),N(32,当)， x +y2=1 联立 4 ,消去y并整理得1+4)x2-8=0, y=a-1 8k 8k2 所以名=4所以男1中级 64k2 所以DM=V+O+)2= 64K=81k1+R, a+4ky+0+4y=1+4 2 +y2=1 联立 ，消去y并整理得(4+k)x2+8=0, 1 y=-x-1 -8k 8 所以名+4所以为十4山. 64k2. 64 所以DwV号+0+=4+ky4+T P 4+k2 1+k2 8-号awaw1-分器FR-格 21+4k2 1+4k2)(4+k2) 由网>，得2+>6 S、16 (1+4k2)(4+k>91 整理得4秋-2-14<0，得- 42<2, 又k2>0,所以0<k2<2 所以√互<k<0或0<k<√反 19.解：(1)设数列{a}的公差为d,由题意知，a,+3d+a+4d=a+8d, 所以1+3d+1+4d=1+8d,解得d=1,所以a,=1+(n-1)×1=n: 因为数列{b,}的前n项和为S。,且满足S。=3”-1. 所以当n=1时，b=3'-1=2, 当n22时，bn=S。-S1=3”-1-3+=2×3 验证，当n=1时，b=1,满足上式， 故b=2×3. (2)①在bn和b之间插入n个数ca1c2’,cm使b,C,C2',Cm,b1成等差 数列， 设公差为d,则日6-人2×3-2×34×3圆 “n+1n+1球n+1 所以c4=6+a,=2xg+k4x3二2张+1+×2X3 n+1n+1 ②设M,=ct+tc.=c+n-d 2 3+×2x3叫+nn-4x3 =n n+1 2 -=4nx3 n+1 则 Gu+ca+C++Cm+cn2++cm=cu+(ca+ca)++ (ca+C2t…+cn)=M1+M2+…+Mn, 设T=M1+M2+…+Mn, 所以T=4×3°+8×3+12×32+…+(4n-4)3-2+4n×3, 3江.=4×3+8×32+12×33+…+(4n-4)×31+4n×3”, 两式相减得，-2T。=4+4×3+4×32+…+4×3m-4n×3”=43°+3+32+33+…+3) -4nx3"=4x-3-4nx3=包-4nx3”-2, 1-3 所以T,=1+(2-1)×3". 20.已知函数f()=-2x+ar-l血x(a∈R) (1)当a=1时，求曲线y=∫(x)在点(1，f(国)处的切线方程， (2)求f(x)的单调区间： (3)若函数f(x)有两个极值点x,x(:<x),求证：4f(3)-2f(x)s1+32. 【小问1详解】 当a=1时，f内=-产+x-r>0). 所拟时刊=1分故切点坐标为引 又f)=-x+1-1,所以f)=-1,