8.9抛物线专项训练模拟练习-2025届高三数学一轮专题复习

2025高考数学一轮复习-8.9-抛物线-专项训练模拟练习 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．设抛物线y＝x2上一点P到x轴的距离是1，则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A．3 B．4 C．7 D．13 2．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，点M在抛物线上，且|MF|＝3，FM的延长线交y轴于点N，若M为线段FN的中点，则p＝( ) A．2 B．2 C．4 D．6 3．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则△ABF的面积为( ) A．1 B．2 C．4 D． 4．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上一个动点，A(－1,3)，则|PA|＋|PF|的最小值为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 5．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝( ) A．2 B．2 C．3 D．3 6．抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线x＝2交C于P，Q两点，C的准线交x轴于点R，若PR⊥QR，则C的方程为( ) A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝12x 7．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于点A，B，线段AB的中点M的横坐标为4，则AB长为( ) A．10 B．8 C．5 D．4 8．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为B，C的准线与y轴交于点A，P是C上的动点，则的最大值为( ) A. B． C．2 D．2 二、多选题 9．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线C交于A、B两点，则下列说法正确的是( ) A．若F(1,0)，则l：x＝－ B．若F(1,0)，则弦AB最短长度为4 C．存在以AB为直径的圆与l相交 D．若直线AB：y＝，且A点在x轴的上方，则＝3 10．已知抛物线C：y＝ax2的顶点为O，准线为y＝－，焦点为F，过F作直线l交抛物线于M，N两点(M在N的左边)，则( ) A．a＝ B．若直线l经过点(－1,0)，则|MN|＝ C．线段|MN|的最小值为2 D．若＝3，则直线l的斜率为 11．过抛物线C：y2＝4x的焦点F作两条互相垂直的直线l1和l2，设直线l1交抛物线C于A，B两点，直线l2交抛物线C于D，E两点，则|AB|＋|DE|可能的取值为( ) A．18 B．16 C．14 D．12 三、填空题 12．已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为　　. 13．过抛物线C：x2＝4y的焦点F的直线l与C交于A、B两点，且＝4，O为坐标原点，则△OAB的面积为　　　. 14．已知直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝8y交于A，B两个不同的点，P为AB的中点，F为C的焦点，直线l与y轴交于点Q，则·的取值范围是 　　　　　　. 四、解答题 15．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若＝3，求|AB|. 【B级　能力提升】 1．设P为抛物线C：y2＝4x上的动点，A(2,4)关于P的对称点为B，记P到直线x＝－1，x＝－3的距离分别为d1，d2，则d1＋d2＋|AB|的最小值为( ) A．2＋2 B．2＋2 C.＋2 D．＋＋2 2．经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，作斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，若＝λ，则λ＝( ) A. B．或3 C.或2 D．3 3.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，点P在C上，直线2x－y－4＝0与坐标轴交于A，B两点，若△ABP面积的最小值为1，则p＝( ) A．1 B． C．1或 D．或 4．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，过点(2,0)的直线交C于P、Q两点，线段PQ的中点为M，则直线MF的斜率的最大值为( ) A. B． C． D．1 5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆：＋y2＝1的右焦点重合． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)记P(4,0)，若抛物线C上存在两点B，D，使△PBD为以P为顶点的等腰三角形，求直线BD的斜率的取值范围． 参考答案 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．( B )[解析]　因为x2＝12y，则准线方程为y＝－3，依题意，点P到该抛物线焦点的距离等于点P到其准线y＝－3的距离，即3＋1＝4.故选B. 2．( C )[解析]　设抛物线的准线为l，作MB⊥l于B交y轴于A.由题意知3＝|MF|＝|MB|＝＋＝.∴p＝4.故选C. 3．( B )[解析]　由题意得，F(1,0)，则|AF|＝|BF|＝2，即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1，由对称性不妨设A(1,2)，所以S△ABF＝|BF|·|yA|＝2，故选B. 4．( B )[解析]　由题意可知抛物线x2＝4y的焦点坐标为F(0,1)，准线l的方程为y＝－1，过P作PQ⊥l于Q，由抛物线定义可知|PF|＝|PQ|，所以|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|，则当A，P，Q共线时|PQ|＋|PA|取得最小值，所以|PF|＋|PA|最小值为3－(－1)＝4.故选B. 5．( B )[解析]　由题意得，F(1,0)，则|AF|＝|BF|＝2，即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1，不妨设点A在x轴上方，代入得，A(1,2)，所以|AB|＝＝2.故选B. 6．( C )[解析]　由题可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则准线方程为x＝－，当x＝2时，可得y＝±2，可得P(2,2)，Q(2，－2)，又R，PR⊥QR，所以·＝－1，即2＝4p，解得p＝4，所以C的方程为y2＝8x.故选C. 7．( A )[解析]　设AB中点为C，则xC＝4，过A，B，C分别作准线x＝－1的垂线，垂足分别为M，N，D，因为C为AB中点，则易知CD为梯形AMNB的中位线，而|CD|＝xC＋1＝5，所以|AM|＋|BN|＝2|CD|＝10.根据抛物线定义可知|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝10.故选A. 8．( B )[解析]　作PN⊥准线(图略)，则|PN|＝|BP|，sin∠PAN＝＝.当取最大值时，sin∠PAN取得最小值，当且仅当PA与抛物线相切于点P时，等号成立．当PA与抛物线相切时，设直线PA的方程为y＝kx－1，代入x2＝4y，可得x2－4kx＋4＝0.由Δ＝16k2－16＝0，解得k＝±1.不妨设点P在第一象限，则P(2,1)，|PN|＝2，|PA|＝＝2，sin∠PAN＝，所以的最大值为.故选B. 二、多选题 9．( BD )[解析]　若F(1,0)，则＝1⇒p＝2，故l：x＝－＝－1，故A错误；若F(1,0)，则＝1⇒p＝2，则抛物线方程为y2＝4x，设过点F(1,0)的直线方程为x＝ky＋1，联立其与抛物线的方程可得y2－4ky－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝16k2＋16>0，y1＋y2＝4k，故|AB|＝x1＋x2＋p＝k(y1＋y2)＋4＝4k2＋4≥4，故当k＝0时，此时弦AB最短长度为4，故B正确；设AM⊥l于M，BN⊥l于N，Q为AB中点，HQ⊥l于H，易知|QH|＝(|AM|＋|BN|)＝(|AF|＋|BF|)＝，故以AB为直径的圆与l相切，故C错误；(或AB的中点为E，设过点F的直线方程为x＝ky＋，联立其与抛物线的方程可得y2－2pky－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝4p2k2＋4p2>0，y1＋y2＝2pk，因为E，故E，则点E到准线l：x＝－的距离为pk2＋p，而＝＝＝＝pk2＋p，故以AB为直径的圆与l相切，故C错误)联立AB：y＝与抛物线方程可得3x2－5px＋＝0，解得x＝，或x＝，由于A点在x轴的上方，所以xA＝，xB＝，故A，B，又F，则＝(－p，－p)，＝，所以＝3，D正确，故选BD. 10．( ACD )[解析]　抛物线的标准方程为x2＝y，准线为y＝－，则a>0,2p＝，＝，∴y＝－＝－＝－，解得a＝，故A正确；又F，过F作直线l交抛物线于M，N两点，显然l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋，联立整理得x2－2kx－1＝0，Δ＝4k2＋4>0恒成立，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2k，x1x2＝－1，|MN|＝＝＝2(k2＋1)；B选项，若直线l经过点(－1,0)，则k＝，|MN|＝，故B错误；C选项，当k＝0时，|MN|的最小值为2，故C正确；D选项，∵＝3，∴－3x1＝x2，又x1x2＝－1，x1<0，x2>0，解得x1＝－，又因为x1＋x2＝2k，所以k＝，故D正确．故选ACD. 11．( AB )[解析]　解法一：由题意可知直线l1，l2的斜率均存在且均不为0.因为抛物线C的焦点为F(1,0)，所以不妨设l1的斜率为k，则l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)．由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2＋.由抛物线的定义，知|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋.同理可得|DE|＝4＋4k2，所以|AB|＋|DE|＝8＋4≥8＋8＝16，当且仅当＝k2，即k＝±1时，等号成立，所以|AB|＋|DE|∈[16，＋∞)，故选AB. 解法二：由图形对称性易知当kAB＝1时，|AB|＋|DE|取得最小值，且无最大值．此时AB：x－y－1＝0.由得x2－6x＋1＝0.从而x1＋x2＝6，∴|AB|min＝8.∴|AB|＋|DE|∈[16，＋∞)．故选AB. 三、填空题 12．[解析]　由题意可得：()2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－，点A到C的准线的距离为1－＝. 13．[解析]　易知，抛物线C的焦点为F(0,1)，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不合乎题意， 所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，设点A(x1，y1)、B(x2，y2)， 联立可得x2－4kx－4＝0， 则Δ＝16k2＋16>0， 故x1＋x2＝4k，① x1x2＝－4，② 又＝4， 即(－x1,1－y1)＝4(x2，y2－1)， 即x1＝－4x2，③ 由①②③得k＝，∴x1＋x2＝3. ∴S△OAB＝|OF||x1－x2| ＝＝. 14．[解析]　由x2＝8y可知：F(0,2)， 因为直线y＝kx－2在纵轴的截距为－2， 所以点Q的坐标为(0，－2)， 由⇒x2－8kx＋16＝0， 因为直线l：y＝kx－2与抛物线C：x2＝8y交于A，B两个不同的点， 所以Δ＝(－8k)2－4×16>0⇒k2>1， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝8k，x1x2＝16， 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝8k2－4，所以P(4k,4k2－2)， ·＝(0,4)·(4k,4k2)＝16k2>16， 所以·的取值范围是(16，＋∞)． 四、解答题 15．[解析]　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝. 由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－. 从而－＝，得t＝－.所以l的方程为y＝x－. (2)由＝3可得y1＝－3y2. 由可得y2－2y＋2t＝0. 所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3. 代入C的方程得x1＝3，x2＝.故|AB|＝. 【B级　能力提升】 1．( A )[解析]　由题意知d2＝d1＋2，因为A(2,4)关于P的对称点为B，所以|PA|＝|PB|，所以d1＋d2＋|AB|＝2d1＋2＋2|PA|＝2(d1＋|PA|)＋2＝2(|PF|＋|PA|)＋2≥2|AF|＋2＝2＋2，所以当P在线段AF上时，d1＋d2＋|AB|取得最小值，且最小值为2＋2. 2．( C )[解析]　由题意可知F，∴直线l的方程为y＝2， 由可得4x2－5px＋p2＝0，解得x＝p或x＝，∴λ＝＝＝2，或者λ＝＝＝.故选C. 3.( B )[解析]　由题可得⇒x2－4px＋8p＝0无解，否则若直线和抛物线有交点Q时，当P→Q时，△ABP面积将趋近0，故Δ＝16p2－32p<0，解得0<p<2.由图可知，当P恰好为斜率为2的直线和抛物线的切点时，△ABP的面积最小．令y′＝x＝2⇒P(2p,2p)，不妨A(2,0)，B(0，－4)，则|AB|＝＝2，又(S△ABP)min＝1⇒点P到直线AB的距离为，则＝，解得p＝.故选B. 4．( A )[解析]　易知抛物线C的焦点为F，设点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，若直线PQ与x轴重合，则直线PQ与抛物线C只有一个公共点，不合乎题意，设直线PQ的方程为x＝my＋2，联立可得y2－2my－4＝0，Δ＝4m2＋16>0，由韦达定理可得y1＋y2＝2m，则＝m·＋2＝m2＋2，故点M(m2＋2，m)，kMF＝，若直线MF的斜率取最大值，则m>0，所以，kMF＝＝≤＝，当且仅当m＝(m>0)时，即当m＝时，等号成立，故直线MF斜率的最大值为.故选A. 5．[解析]　(1)由椭圆方程可得其右焦点为(1,0)， ∵抛物线与椭圆右焦点重合，∴＝1，即p＝2， 故抛物线C的方程为y2＝4x，准线为x＝－1. (2)设直线BD的方程为y＝kx＋m， 联立直线与抛物线方程可得 k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0， 则Δ＝(2km－4)2－4k2m2>0，可得km<1， 设B(x1，y1)，D(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝， 设BD的中点为M(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝， ∵△PBD为以P为顶点的等腰三角形，则PM⊥BD， 则kPM＝＝＝－，整理可得km＝2－2k2， ∵km<1，则2－2k2<1，解得k<－或k>， 故直线BD的斜率的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$