精品解析：江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校2024-2025学年上学期九年级数学期中测试卷

2024－2025学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校九上数学期中测试卷 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 甲、乙两人分别骑自行车和摩托车从A地到B地，两人所行驶的路程与时间的关系如图所示，下面的四个说法： 甲比乙早出发了3小时；乙比甲早到3小时；甲、乙的速度比是；乙出发2小时追上了甲． 其中正确的个数是　　 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，读懂题意，能够从函数图象中获取相关数据信息是解答本题的关键．根据函数图象中所提供的信息逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①由图中信息可知，乙是在甲出发3小时后出发的，所以结论①正确； ②由图中信息可知，甲是在乙到达终点3小时后到达的，所以结论②正确； ③由题中信息可得：，， 由此可得：，所以结论③错误； ④设乙出发小时追上甲， ∴， 解得：， ∴乙出发后1小时追上甲，所以结论④不成立． 综上所述，4个结论中正确的有2个． 故选：B． 2. 如果多项式是一个完全平方式，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，把多项式写成即可得出答案． 【详解】解：因为多项式是一个完全平方公式， 所以， 所以， 则． 故选：D． 3. 若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是（ ） A. B. 小于的任意实数 C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， 解之得m=±1． 又因为图象在第二，四象限， 所以2m-1＜0， 解得m＜，即m的值是-1． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义和性质，对于反比例函数（k≠0）．k＞0，反比例函数在一、三象限；k＜0，反比例函数在第二、四象限内． 4. 计算的结果是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据零指数幂的意义即可解答. 【详解】. 【点睛】本题主要考查了零指数幂的意义，记住任何非零数的零指数幂等于1是解答本题的关键. 5. 化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可. 【详解】 ∵a≥0， ∴原式=． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质、化简，关键在于根据已知推出a≥0． 6. 如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质．由四边形的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理知，只需添加条件是邻边相等． 【详解】解：∵四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴要使四边形是菱形，需添加或， 故选：C． 7. 若式子有意义，则的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数得出，然后解不等式即可． 【详解】解：式子有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 8. 在正方形中，是边上一点，若，且点与点不重合，则的长可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】且根据E为BC边上一点（E与点B不重合），可得当E与点C重合时AE最长，求出AC即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=3， AC=， 又∵E为BC边上一点，E与点B不重合， ∴当E与点C重合时AE最长， 则3＜AE≤， 故选B. 【点睛】本题考查全正方形的性质和勾股定理，求出当E与点C重合时AE最长是解题的关键. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 某校组织演讲比赛，从演讲主题、演讲内容、整体表现三个方面对选手进行评分．评分规则按主题占，内容占，整体表现占，计算加权平均数作为选手的比赛成绩．小强的各项成绩如表，他的比赛成绩为__分． 主题 内容 整体表现 85 92 90 【答案】90 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算可得． 【详解】解：根据题意，得小强的比赛成绩为， 故答案为90． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错． 10. 化简；÷（﹣1）=______． 【答案】- 【解析】 【分析】直接利用分式的混合运算法则即可得出. 【详解】原式， ， ， . 故答案为. 【点睛】此题主要考查了分式的化简，正确掌握运算法则是解题关键. 11. 如果关于x的方程bx2=2有实数解，那么b的取值范围是_____． 【答案】b＞0． 【解析】 【分析】先确定b≠0，则方程变形为x2＝，根据平方根的定义得到＞0时，方程有实数解，然后解关于b的不等式即可． 【详解】根据题意得b≠0， x2＝， 当＞0时，方程有实数解， 所以b＞0． 故答案为：b＞0． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2＝p或（nx＋m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 12. 某车间6名工人日加工零件数分别为6，10，8，10，5，8，则这组数据的中位数是_____________． 【答案】8． 【解析】 【分析】根据这组数据是从大到小排列的，求出最中间的两个数的平均数即可． 【详解】解：将数据从小到大重新排列为：5、6、8、8、10、10， 所以这组数据的中位数为=8． 故答案为8． 【点睛】本题考查中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）即可． 13. 在学校的社会实践活动中，一批学生协助搬运初一、二两个年级的图书，初一年级需要搬运的图书数量是初二年级需要搬运的图书数量的两倍．上午全部学生在初一年级搬运，下午一半的学生仍然留在初一年级（上下午的搬运时间相等）搬运，到放学时刚好把初一年级的图书搬运完．下午另一半的学生去初二年级搬运图书，到放学时还剩下一小部分未搬运，最后由三个学生再用一整天的时间刚好搬运完．如果这批学生每人每天搬运的效率是相同的，则这批学生共有人数为______． 【答案】 【解析】 【分析】设这批学生有人，每人每天的搬运效率为，根据“初一图书数量是初二的两倍”列方程求解即可． 【详解】解：设这批学生有人，每人每天的搬运效率为， 由题意得：， 解得，即这批学生共有人数为人． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 在正方形中，点是对角线上的两点，且满足，连接.试判断四边形的形状，并说明理由. 【答案】 四边形是菱形， 理由如下：连接交于点， 四边形为正方形， ， 又， ， 即， 与相互垂直平分， 四边形为菱形. 【解析】 【分析】根据正方形的性质，得到，由，得到，即可得到四边形为菱形. 【详解】略 【点睛】本题考查了正方形的性质，以及菱形的判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和菱形的判定进行解题. 15. 如图，将平行四边形的边延长至点，使，连接，，，交于点． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，，，，则． 又， ， 四边形为平行四边形， ． 在与中， ， ； （2）证明：由(1)知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB， 四边形为平行四边形， ，即， 又，， ， ， ，即， 平行四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形，易得四边形为平行四边形，然后由推出两三角形全等即可； （2）由，易证得，即可证得四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定以及三角形的外角性质等知识．注意证得四边形为平行四边形是关键． 16. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积． 【答案】（1） 证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； （2） 证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB． ∵AD为BC边上的中线， ∴DB=DC， ∴AF=CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC=90°，D是BC的中点， ∴AD=DC=BC， ∴四边形ADCF是菱形； （3）10． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论； （2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形； （3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接DF， ∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF=AB=5， ∵四边形ADCF是菱形， ∴S菱形ADCF=AC▪DF=×4×5=10． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用． 17. 阅读材料：分解因式：x2+2x-3 解：原式=x2+2x+1-4=（x+1）2-4 =（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1） 此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题： （1）分解因式x2-2x-3=_______；a2-4ab-5b2=_______； （2）无论m取何值，代数式m2+6m+13总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值； 【答案】（1）（x-3）（x+1）；（a+b）（a-5b）;（2）代数式m2+6m+13的最小值是4 【解析】 【分析】（1）二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方； （2）利用配方法将代数式m2+6m+13转化为完全平方与和的形，然后利用非负数的性质进行解答． 【详解】（1）x2-2x-3， =x2-2x+1-1-3， =（x-1）2-4， =（x-1+2）（x-1-2）， =（x-3）（x+1）； a2-4ab-5b2， =a2-4ab+4b2-4b2-5b2， =（a-2b）2-9b2， =（a-2b-3b）（a-2b+3b）， =（a+b）（a-5b）； 故答案为（x-3）（x+1）；（a+b）（a-5b）； （2）m2+6m+13=m2+6m+9+4=（m+3）2+4， 因为（m+3）2≥0， 所以代数式m2+6m+13的最小值是4． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 18. 某县为了了解2018年初中毕业生毕业后的去向，对部分九年级学生进行了抽样调查，就九年级学生的四种去向(A．读普通高中；B．读职业高中；C．直接进入社会就业；D．其他)进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图(如图①②)请问： （1）本次共调查了_ 名初中毕业生； （2）请计算出本次抽样调查中，读职业高中的人数和所占百分比，并将两幅统计图中不完整的部分补充完整； （3）若该县2018年九年级毕业生共有人，请估计该县今年九年级毕业生读职业高中的学生人数． 【答案】（1）100； （2）25%， 画图如下： （3）2500人． 【解析】 【分析】（1）用类别A的人数除以类别A所占的百分比即可求出总数， （2）先求出类别B所占的百分比，然后用总数乘以类别为B的人数所占的百分比求得类别B的人数，再画图即可， （3）用该县2018年初三毕业生总数乘以读普通高中的学生所占的百分比即可． 【详解】解：（1）本次共调查了60÷60%=100名初中毕业生； 故答案为：100； （2）类别为B的百分比为：1-60%-10%-5%=25% 类别B的人数是100×25%=25（人）． （3）10000×25%=2500人 ∴该县今年九年级毕业生读职业高中的学生人数为2500人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，，是反比例函数图像上的两点，过点作轴，过点作轴，交点为，连接，.若的面积为2，则的面积为______. 【答案】4 【解析】 【分析】设A（m，），B（n，），根据题意可得AP＝，且A点到y轴的距离为m，依据已知△AOP的面积为2，得到m和n的关系式n＝3m，计算△ABP面积＝AP×BP，即可得到结果． 【详解】解：设A（m，），B（n，）， 根据题意可得AP＝，且A点到y轴的距离为m， 则AP×m＝()×m＝2，整理得， 所以n＝3m，B点坐标可以表示为（3m，） △ABP面积＝AP×BP＝()×(3m−m)＝4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决此类型问题，一般设某个点坐标为（x，），然后用横纵坐标的绝对值表示线段的长度． 20. 若方程的两根是x1，x2，则的值为_____． 【答案】5 【解析】 【详解】解：根据题意得 所以 故答案为5． 21. 如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A、C作l的垂线，垂足分别为点E、F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为________． 【答案】 【解析】 【详解】∵在正方形ABCD中， ∴AB=BC， ∵AE⊥l，CF⊥l， ∴∠AEB=∠BFC=90°， ∴∠ABE+∠CBF=∠BCF+∠CBF=90°， ∴∠ABE=∠BCF， ∴△BFC≌△AEB， ∴CF＝BE， ∴． 22. 若，是方程的两个实数根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式求值即可得． 【详解】根据韦达定理可得：，， 则； 故答案为： 23. 在中，，，是角平分线，于M，于N，若，，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】延长交于G，延长交于H，证明，得到，，同理得到，，根据三角形中位线定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图所示，延长交于G，延长交于H， ∵，，， ∴由勾股定理得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 同理，，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线．利用全等证出三角形与三角形是等腰三角形是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（-3，-2）及点B（0，4）． (1)求此一次函数的解析式; (2)当y=-5时求x的值; (3)求此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积. 【答案】(1) y=2x+4;(2);（3）4. 【解析】 【详解】试题分析： （1）把点A、B的坐标代入列方程组求得的值即可求得一次函数的解析式； （2）把代入（1）中所求得的解析式中，解方程可求得对应的的值； （3）由解析式求得直线与轴的交点坐标，结合点B和原点就可求得直线与坐标轴围成的三角形的面积. 试题解析： （1）将A（-3，-2），B（0，4）分别代入y=kx+b得 ，解得： ， ∴一次函数的解析式为：y=2x+4. （2）在y=2x+4中，当y=-5时，2x+4=-5，解得x=-4.5； （3）设直线和x轴交于点C， ∵在y=2x+4中，当y=0时，2x+4=0，解得x=-2， ∴点C（-2，0）， ∴OC=2， 又∵OB=4， ∴S△OBC=OBOC=. 点睛：一次函数图象与坐标轴围成的三角形就是以图象与两坐标轴的交点和原点为顶点的直角三角形，因此只需由解析式求出图象与两坐标轴的交点坐标即可求此三角形的面积. 25. 已知一次函数y＝kx－4，当x＝2时，y＝－3. (1)求一次函数的表达式； (2)将该函数的图像向上平移6个单位长度，求平移后的图像与x轴交点的坐标． 【答案】（1）y＝x－4.（2）(－4，0)． 【解析】 【分析】（1）把点（2，-3）代入解析式即可求出k； （2）先得出函数图像向上平移6单位的函数关系式，再令y=0，即可求出与x轴交点的坐标. 【详解】解：(1)将x＝2，y＝－3代入y＝kx－4，得－3＝2k－4.∴k＝. ∴一次函数的表达式为y＝x－4. (2)将y＝x－4的图像向上平移6个单位长度得y＝x＋2. 当y＝0时，x＝－4. ∴平移后的图像与x轴交点的坐标为(－4，0)． 【点睛】此题主要考查一次函数的解析式的求法与在坐标轴方向上的平移. 26. 消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人中至少有一个给“好评”的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人中至少有一个给“好评”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】画树状图为： 共有9种等可能的结果数，两人中至少有一个给“好评”的结果数为5， 所以两人中至少有一个给“好评”的概率＝． 故选C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年江苏省南京市鼓楼区金陵汇文学校九上数学期中测试卷 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 甲、乙两人分别骑自行车和摩托车从A地到B地，两人所行驶的路程与时间的关系如图所示，下面的四个说法： 甲比乙早出发了3小时；乙比甲早到3小时；甲、乙的速度比是；乙出发2小时追上了甲． 其中正确的个数是　　 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如果多项式是一个完全平方式，那么的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是（ ） A. B. 小于的任意实数 C. D. 不能确定 4. 计算的结果是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 5. 化简的结果是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A. B. C. D. 7. 若式子有意义，则的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 8. 在正方形中，是边上一点，若，且点与点不重合，则的长可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 某校组织演讲比赛，从演讲主题、演讲内容、整体表现三个方面对选手进行评分．评分规则按主题占，内容占，整体表现占，计算加权平均数作为选手的比赛成绩．小强的各项成绩如表，他的比赛成绩为__分． 主题 内容 整体表现 85 92 90 10. 化简；÷（﹣1）=______． 11. 如果关于x的方程bx2=2有实数解，那么b的取值范围是_____． 12. 某车间6名工人日加工零件数分别为6，10，8，10，5，8，则这组数据的中位数是_____________． 13. 在学校的社会实践活动中，一批学生协助搬运初一、二两个年级的图书，初一年级需要搬运的图书数量是初二年级需要搬运的图书数量的两倍．上午全部学生在初一年级搬运，下午一半的学生仍然留在初一年级（上下午的搬运时间相等）搬运，到放学时刚好把初一年级的图书搬运完．下午另一半的学生去初二年级搬运图书，到放学时还剩下一小部分未搬运，最后由三个学生再用一整天的时间刚好搬运完．如果这批学生每人每天搬运的效率是相同的，则这批学生共有人数为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 在正方形中，点是对角线上的两点，且满足，连接.试判断四边形的形状，并说明理由. 15. 如图，将平行四边形的边延长至点，使，连接，，，交于点． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 16. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积． 17. 阅读材料：分解因式：x2+2x-3 解：原式=x2+2x+1-4=（x+1）2-4 =（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1） 此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题： （1）分解因式x2-2x-3=_______；a2-4ab-5b2=_______； （2）无论m取何值，代数式m2+6m+13总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值； 18. 某县为了了解2018年初中毕业生毕业后的去向，对部分九年级学生进行了抽样调查，就九年级学生的四种去向(A．读普通高中；B．读职业高中；C．直接进入社会就业；D．其他)进行数据统计，并绘制了两幅不完整的统计图(如图①②)请问： （1）本次共调查了_ 名初中毕业生； （2）请计算出本次抽样调查中，读职业高中的人数和所占百分比，并将两幅统计图中不完整的部分补充完整； （3）若该县2018年九年级毕业生共有人，请估计该县今年九年级毕业生读职业高中的学生人数． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，，是反比例函数图像上的两点，过点作轴，过点作轴，交点为，连接，.若的面积为2，则的面积为______. 20. 若方程的两根是x1，x2，则的值为_____． 21. 如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A、C作l的垂线，垂足分别为点E、F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为________． 22. 若，是方程的两个实数根，则_______． 23. 在中，，，是角平分线，于M，于N，若，，则_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（-3，-2）及点B（0，4）． (1)求此一次函数的解析式; (2)当y=-5时求x的值; (3)求此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积. 25. 已知一次函数y＝kx－4，当x＝2时，y＝－3. (1)求一次函数的表达式； (2)将该函数的图像向上平移6个单位长度，求平移后的图像与x轴交点的坐标． 26. 消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人中至少有一个给“好评”的概率为(　　) A. B. C. D. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $