精品解析：河北省石家庄二中西学校区2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

2024级高一年级应知必会检测第一期 数学试卷 时间90分钟 满分150分 一、单选题（共12小题，每题5分） 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若集合，且，则（ ） A. 10或13 B. 13 C. 4或7 D. 7 4. 高中学生运动会，某班54名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有14人，参加径赛的有21人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 5. 已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知集合A，，若A不是的子集，则下列命题中正确的是（ ） A. 对任意的，都有 B. 对任意的，都有 C. 存在，满足，且 D. 存在，满足，且 7. 已知集合，若，则实数a的取值所组成的集合是（ ） A. B. C. 0， D. 0， 8. “”成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 9. 已知均为的子集，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 设全集,集合，（ ） A. B. C. D. 11. a，b中至少有一个不为零的充要条件是（ ） A. ab＝0 B. ab>0 C. a2＋b2＝0 D. a2＋b2>0 12. 若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A. 31 B. 7 C. 3 D. 1 二、多选题（共5小题，每题6分，部分对得部分分，全对得满分，有错选不得分） 13. 若以集合A中的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是（ ） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 矩形 14. 已知“若p则q”为真命题，则下列说法正确的是（ ） A. p是q的充分条件 B. p是q的非必要条件 C. p的必要条件是q D. q是p的非充分条件 15. 要使二次三项式在整数范围内可因式分解，，那么t的可能数值为（ ） A. B. 5 C. 8 D. 9 16. 已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（ ） A. p是q的充分条件 B. p是s的必要条件 C. r是q的必要不充分条件 D. s是q的充要条件 17. 设全集为R，在下列条件中，满足的充要条件的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共4小题，每题5分） 18. 设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是___________． 19. 若关于的方程的两根互为相反数，则的值为________ 20. 设，则集合___________． 21. 把分解因式的结果是___________. 四、解答题（共4小题，每题10分） 22. 已知集合． （1）若，写出集合A的所有子集； （2）若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 23. 已知，． （1）求和； （2）定义且，求和． 24. 已知的三条边为，求证：是等边三角形的充要条件是． 25. 已知或． （1）若，求a的取值范围； （2）若，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一年级应知必会检测第一期 数学试卷 时间90分钟 满分150分 一、单选题（共12小题，每题5分） 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据自然数集、整数集、有理数集、空集的定义判断各选项中元素与集合的关系. 【详解】对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为不是有理数，所以，故B正确； 对于C.，因为0是自然数，所以，故C错误； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：B. 2. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，得，即，充分性成立， 由，则，即，必要性成立， 所以“”是“”的充要条件 故选：C 3. 若集合，且，则（ ） A. 10或13 B. 13 C. 4或7 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系计算即可. 【详解】当，即时，，此时与4重复，则. 当，即时，. 故选：B 4. 高中学生运动会，某班54名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有14人，参加径赛的有21人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】参加田赛的有14人，参加径赛的有21人，总共有35人，而参加比赛的人数为27人，则多出来的人数为田赛和径赛都参加的人数. 【详解】54名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的有27名学生， 参加田赛的有14人，参加径赛的有21人， 则田赛和径赛都参加的学生人数为人, 故选：B 5. 已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定阴影部分为，再结合交集补集运算即可求解. 【详解】阴影部分为：, ， 所以. 故选：B 6. 已知集合A，，若A不是的子集，则下列命题中正确的是（ ） A. 对任意的，都有 B. 对任意的，都有 C. 存在，满足，且 D. 存在，满足，且 【答案】C 【解析】 【分析】根据子集关系结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【详解】对于选项A、B：例如，满足A不是的子集， 但，故A错误；，故B错误； 对于选项C：对任意的，都有，则， 若A不是的子集，则存在，满足，且，故C正确； 对于选项D：例如，满足A不是的子集， 但不存在，满足，且，故D错误； 故选：C. 7. 已知集合，若，则实数a的取值所组成的集合是（ ） A. B. C. 0， D. 0， 【答案】D 【解析】 【分析】等价于，分、两种情况讨论，从而可得答案. 【详解】. 当时，为空集，满足条件. 当时，或，解得或. 综上可得，实数a的取值所组成的集合是2，. 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，空集的定义，以及并集与子集的定义，属于基础题. 8. “”成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据必要不充分条件定义判断即可. 【详解】由得， 所以是选项中对应集合的真子集， 结合选项可知，D符合. 故选：D 9. 已知均为的子集，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn图，结合Venn图即可确定集合的运算结果. 【详解】解法一：,，据此可得. 故选：B. 解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R， 矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合， 矩形区域CDFG表示集合N，满足， 结合图形可得：. 故选：B. 10. 设全集,集合，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 11. a，b中至少有一个不为零的充要条件是（ ） A. ab＝0 B. ab>0 C. a2＋b2＝0 D. a2＋b2>0 【答案】D 【解析】 【分析】，ab＝0是非充分非必要条件；是a，b中至少有一个不为零的充分非必要条件；，是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件；,是a，b中至少有一个不为零的充要条件.即得解. 【详解】，ab＝0是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件； ab>0是a，b中至少有一个不为零的充分非必要条件； ，a2＋b2＝0是a，b中至少有一个不为零的非充分非必要条件； ，a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.所以a2＋b2>0是a，b中至少有一个不为零的充要条件. 故选：D 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12. 若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A. 31 B. 7 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件确定构成伙伴关系的元素，利用集合关系进行判断即可 【详解】若，则， 若，则， 若，则， 则为伙伴关系集合， 共7个 故选：B 二、多选题（共5小题，每题6分，部分对得部分分，全对得满分，有错选不得分） 13. 若以集合A中的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是（ ） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 矩形 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用集合的性质进行判断即可. 【详解】因为集合中的元素具有互异性， 所以， 所以可以构成四边都不相等的梯形，但是不可能构成平行四边形，菱形和矩形. 故选：BCD 14. 已知“若p则q”为真命题，则下列说法正确的是（ ） A. p是q的充分条件 B. p是q的非必要条件 C. p的必要条件是q D. q是p的非充分条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据命题为真得，根据充分条件和必要条件的定义判断各项 【详解】因为“若p则q”为真命题， 所以，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件，故A、C对； q能否推出p无法判断，所以B、D错； 故选：AC 15. 要使二次三项式在整数范围内可因式分解，，那么t的可能数值为（ ） A. B. 5 C. 8 D. 9 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意设得，从而得到，再利用为正整数，即可求出结果. 【详解】设， 因为在整数范围内可因式分解， 所以， 因为，所以都是负整数， 当或时，； 当或时，； 当时，. 故选：BCD 16. 已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（ ） A. p是q的充分条件 B. p是s的必要条件 C. r是q的必要不充分条件 D. s是q的充要条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，结合间的推出关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件， 可得， 对于A中，由，所以是的充分条件，所以A正确； 对于B中，由，所以是的充分条件，所以B不正确； 对于C中，由，所以是的充要条件，所以C不正确； 对于D中，由，所以是的充要条件，所以D正确. 故选：AD. 17. 设全集为R，在下列条件中，满足的充要条件的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据集合的运算性质及集合间的关系逐项判断即可. 【详解】因为时，，不满足题意，故A错误； 若，显然只有时成立，不满足题意，故B错误； 若，则，同时若时，，满足题意，故C正确； 当时，则，同时，则满足题意，故D正确， 故选：CD. 三、填空题（共4小题，每题5分） 18. 设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围. 【详解】因为p是q的必要条件， 所以， 所以， 则实数m的取值范围是， 故答案为： 19. 若关于的方程的两根互为相反数，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理求出参数的值，再代入检验即可. 【详解】解：设方程的两根分别为、， 依题意，解得或， 当时方程即，方程无实数根，故舍去； 当时方程即，解得，符合题意； 故答案为： 20. 设，则集合___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用韦恩图表示各个集合中的元素，分析即得解 【详解】 由题意，画出韦恩图如图所示，结合， ，故， 故答案为： 21. 把分解因式的结果是___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先提取，然后按十字相乘法和平方差公式进行二次因式分解 【详解】 故答案为： 四、解答题（共4小题，每题10分） 22. 已知集合． （1）若，写出集合A的所有子集； （2）若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】（1） （2）0或 【解析】 【分析】（1）求出集合A，进而求出其子集即得. （2）按a的值是否为0，分类求解即得. 【小问1详解】 若，则， 所以集合A的所有子集是：， 【小问2详解】 当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 23. 已知，． （1）求和； （2）定义且，求和． 【答案】（1） （2）；． 【解析】 【分析】（1）结合集合的交集和并集的运算，即可求解． （2）由定义运算，即可求解． 【小问1详解】 因为集合，集合， 再由集合交集与并集的运算，可得． 【小问2详解】 由（1），， 又由且，可得且， 根据定义，可得 ． 24. 已知的三条边为，求证：是等边三角形的充要条件是． 【答案】证明： （必要性） ∵，∴ ∴ （充分性） ∵，∴ ∴ 即，∴，得证． 【解析】 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【详解】略． 25. 已知或． （1）若，求a的取值范围； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据可得两集合端点的大小关系，解不等式即可； （2）先讨论的情况，再研究时，利用两集合端点值的关系进行求解． 【小问1详解】 因为，所以， 解得 【小问2详解】 因为， 当时，， 当时，或， 解得或， 综上或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $