精品解析：北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练2数学试题

北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练2数学试题 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则t＝（ ） A. 3 B. －3 C. 1 D. －1 2. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）. A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 已知向量，单位向量满足，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，且平面平面，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在下列条件中，使点与点，，一定共面的是（ ） A. B. C. D. 7. 在斜三棱柱中，，分别为侧棱，上的点，且知，过，，的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为______． 12. 如图：矩形的长为，宽为，是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则四边形的周长为_________. 13. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 14. 已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为的等边三角形，，，为底面圆周上三点，空间一动点，满足，则的最小值为______． 15. 半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则正确的是_______________________________ ①⊥平面； ②该二十四等边体的体积为； ③该二十四等边体外接球的表面积为； ④与平面所成角的正弦值为. 三、解答题 16. 如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上靠近点A的三等分点，点E在线段上． （1）求圆柱的表面积与体积； （2）求三棱锥的体积； （3）若D是的中点，求的最小值． 17. 如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题.条件①：；条件②：；条件③：平面. （1）求证：为的中点； （2）求点到平面的距离. （3）求直线与平面所成角的大小； 18. 如图，在四棱锥中，平面，且，为的外心，，. （1）求证：平面； （2）若点在线段（不含端点）上运动，设平面面，当直线与平面所成角取最大值时，求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练2数学试题 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则t＝（ ） A. 3 B. －3 C. 1 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】由得到与垂直，进而得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以与垂直， 故，解得. 故选：B． 2. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】确定两个向量是否垂直即可． 【详解】选项A，； 选项B，； 选项C，； 选项D，，D可能满足直线与平面平行． 故选：D． 3. 已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）. A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面的基本性质判断A、B、C，由线面垂直、面面平行的性质判断D即可. 【详解】A：，，则或，错误； B：，，则或，错误； C：，，则相交或平行，错误； D：，，则，又，故，正确. 故选：D 4. 已知向量，单位向量满足，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的模平方得向量积的值，再利用向量夹角公式求解 【详解】因为，所以.又， 所以，即，所以，则. 所以.又，所以. 故选：C. 5. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，且平面平面，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】如图所示： 满足，而相交，故不充分； 满足则，但异面，故不必要， 故选：D 6. 在下列条件中，使点与点，，一定共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共面向量定理，利用三个向量表示向量，其系数和为，则可得四点共面． 【详解】D选项中，，结合共面定理的推论，且ABD三个选项的系数和不为，所以不共面． C选项可化为：即，系数和为． 故选：C． 7. 在斜三棱柱中，，分别为侧棱，上的点，且知，过，，的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知中三棱柱的侧棱和上各有一动点，满足，可得四边形与四边形的面积相等，等于侧面的面积的一半，根据等底同高的棱锥体积相等，可将四棱锥的体积转化三棱锥的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的，求出四棱锥的体积，进而得到答案. 【详解】设三棱柱的体积为 侧棱和上各有一动点，满足， 四边形与四边形的面积相等. 故四棱锥的体积等于三棱锥的体积等于. 则四棱锥的体积等于. 故过，，三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为 故选：. 8. 在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线夹角的定义结合余弦定理运算求解. 【详解】连接，设正四面体的棱长为2， 因为分别为的中点，则//， 所以异面直线，所成角为（或其补角）， 在中，则， 由余弦定理可得， 所以异面直线，所成角的余弦值为. 故选：A. 9. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，根据条件求得点的坐标，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则 所以平面的一个法向量为 因为平面，则 设，则，所以 解得，所以，即 故选:C. 10. 如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P的轨迹结合函数求最值即可. 【详解】 依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设， 所以， 即，所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B 二、填空题 11. 空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点关于坐标平面对称的特征求解作答. 【详解】点关于平面的对称点的坐标为. 故答案为： 12. 如图：矩形的长为，宽为，是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则四边形的周长为_________. 【答案】20 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原出原图并求出相关线段的长度，进而求周长. 【详解】由斜二测画法知：与轴平行或重合的线段其长度不变、与横轴平行的性质不变； 与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与轴平行的性质不变. 还原出原图形如图所示的平行四边形， 其中cm，cm， cm，所以原图形的周长为cm. 故答案为：20 13. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据已知条件及向量的线性运算的坐标表示，再利用向量的数量积的坐标运算及向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以，， 因为向量与的夹角为锐角， 所以，解得， 当时，，解得， 所以实数的取值范围为且. 故答案为：且. 14. 已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）的轴截面是边长为的等边三角形，，，为底面圆周上三点，空间一动点，满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理可判断，，共面，又平面，所以. 【详解】因为， 所以，， 所以，，共面， 又，，为底面圆周上三点，所以点为平面上一点， 由已知平面， 所以， 又圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，所以， 所以的最小值为， 故答案为：. 15. 半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则正确的是_______________________________ ①⊥平面； ②该二十四等边体的体积为； ③该二十四等边体外接球的表面积为； ④与平面所成角的正弦值为. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】将几何体补成正方体，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断①④的正误，计算出该几何体的体积，可判断②的正误；求出球体的半径，利用球体的表面积公式可判断③的正误. 【详解】将几何体补成正方体， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系. 对于①，，，，， ，，则，A错； 对于②，该二十四等边体是在正方体上截去个全等的三棱锥而成， 且三棱锥的底面是腰长为的等腰直角三角形，三棱锥的高为， 故该二十四等边体的体积为，②对； 对于③，易知正方体的中心为该二十四等边体外接球的球心， 且该球的半径为， 因此，该二十四等边体外接球的表面积为，③对； 对于④，易知平面的一个法向量为，，，， ， 故与平面所成角的正弦值为，④对. 故答案为：②③④. 三、解答题 16. 如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上靠近点A的三等分点，点E在线段上． （1）求圆柱的表面积与体积； （2）求三棱锥的体积； （3）若D是的中点，求的最小值． 【答案】（1）表面积，体积 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合圆柱的表面积和体积公式，即可求解； （2）根据题意，得到为直角三角形，且，结合棱锥的体积公式，即可求解； （3）将平面绕旋转到和平面共面，得到点在的延长线上，设为点，当三点共线时，取最小值，结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 圆柱的底面直径，故半径，且高， 可得圆柱的表面积为， 圆柱的体积为． 【小问2详解】 因为点是圆柱底面圆周上靠近点的三等分点，且， 而为直角三角形， 从而，得，， 所以． 【小问3详解】 解：将平面绕旋转到和平面共面，此时点在的延长线上， 设为点，可得， 即当三点共线时，取最小值， 由题意，， 所以， 故的最小值为． 17. 如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题.条件①：；条件②：；条件③：平面. （1）求证：为的中点； （2）求点到平面的距离. （3）求直线与平面所成角的大小； 【答案】（1）选择条件②或③，证明如下： 选条件②，，连接，在正方体中， 由平面，平面，得， 又，， 则， 而平面，于是，又为的中点， 所以为的中点. 选择条件③：平面，连接，平面， 平面平面，则，而为的中点， 所以为的中点． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）分别选条件①②③，结合线面平行位置关系的判定定理和性质定理，即可得证. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，再利用点到平面距离的向量求法求解. （3）求出向量，再利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 选条件①，，由正方体的对称性，知点可为上的任意一点，不唯一. 选条件②，证明略； 选择条件③：证明略； 【小问2详解】 在正方体中，直线两两互相垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 由（2）知，平面的法向量，， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的大小为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，且，为的外心，，. （1）求证：平面； （2）若点在线段（不含端点）上运动，设平面面，当直线与平面所成角取最大值时，求二面角的正弦值. 【答案】（1）如图下所示，连接， 因为为的外心，所以， 又因为，所以， 所以， 所以均为等边三角形，所以， 所以四边形为菱形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，通过长度以及角度关系证明出，结合线面平行的判定定理即可完成证明； （2）记，先根据条件证明出，然后建立合适空间直角坐标系，用向量法确定出直线与平面所成角取最大值时的位置，最后再通过向量法先求二面角的余弦值，则二面角的正弦值可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面面，平面，所以， 如下图所示，以为坐标原点，以过点平行方向为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以， 则， 所以， 因为点在线段（不含端点）上运动，设， 所以， 设平面的一个法向量为， 因为，所以， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 当且仅当，即时取等号，即此时为中点， 所以，， 设平面的一个法向量为， 因为，所以， 令，则，所以， 所以， 设二面角的平面角为， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $