精品解析：福建省三明第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

三明一中2024-2025学年上学期半期考 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线性质求解即可. 【详解】由得抛物线的标准方程为， 所以其准线方程为. 故选：C 2. 已知直线l1：与l2：平行，则l1与l2的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，结合两平行线之间的距离公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 又，所以，且两直线之间的距离为 . 故选：D 3. 若方程表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用圆的标准方程即可求解 【详解】方程表示圆， 则， 解得，即的取值范围为. 故选：A. 4. 在四棱柱中，设，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 ， 故选：C 5. 已知椭圆经过点，当变动时，截得直线的最大弦长为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出和，代入椭圆方程即可. 【详解】由题意可得，，所以，所以椭圆方程为. 故选：A 6. 已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设点在准线上的射影为，如图， 则根据抛物线的定义可知， 求的最小值，即求的最小值， 显然当，，三点共线时取得最小值， 此时点的横坐标为，则，解得，即. 故选：D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将变形为，再根据其几何意义数形结合转化为直线上动点到直线同侧两定点的距离之和，然后利用对称转化为异侧两点之间距离最短可求最小值. 【详解】设点为直线上动点， 由， 则其几何意义为与的距离和与的距离之和， 设点， 则点关于直线的对称点为点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 8. 已知双曲线是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点.则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与渐近线的距离得到圆心到直线的距离为，再根据圆与双曲线C的右支没有公共点，由求解. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 因为点是直线上任意一点， 又直线与直线的距离为： ， 即圆心到直线的距离为：, 因为圆与双曲线C的右支没有公共点， 所以，即，又, 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B 【点睛】本题考查求解双曲线离心率的范围，对学生的理解与转化能力要求较高，难度较难.涉及到和双曲线某一支的交点个数问题，注意借助双曲线的渐近线进行分析.解题的关键在于将问题转化为渐近线与直线的距离大于等于圆的半径. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线在x轴上的截距为1 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据截距的定义和直线的平行，垂直逐项判断； 【详解】选项A：令，代入直线，解得：，选项正确； 选项B：令，代入直线，解得：，选项错误； 选项C：直线的法向量分别为，，因为，所以直线的法向量也平行，即：，解得：或，当时，重合，舍去，故选项错误； 选项D：，所以直线的法向量也垂直，即，解得：，选项正确； 故选：AD 10. 在正方体中，则（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 二面角的余弦值为 D. 如果，那么点到平面的距离为 【答案】AB 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，验证是否成立即可判断A；求出面的一个法向量以及，从而由线面角的正弦公式即可判断B；分别求出两平面的法向量，利用向量夹角公式即可判断C；点到平面的距离为，由此即可判断D. 【详解】如图所示： 设正方体的边长为1，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因为，所以，所以直线与直线所成角为，A正确； 设面的一个法向量为，， 则，即， 不妨令，得，即取， 又因为， 设直线与平面所成角为，则，B正确； 设平面的一个法向量为，， 则，即， 不妨令，得，即取， 又面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则，C错误； 因为面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为，D错误. 故选：AB. 11. 已知椭圆的左右焦点分别为，左右顶点分别为，点是椭圆上的一个动点（异于两点），且直线的斜率均存在，则（ ） A. 当的最大角为时，椭圆的离心率为 B. 当时，的面积为 C. 直线的斜率之积一定大于直线的斜率之积 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由顶点与角的关系直接判断即可；对于B，利用等体积法求得，从而得解；对于C，直接求出，，利用作差法即可判断；对于D，直接求出，从而得以判断. 【详解】对于A，当取最大时，顶点为上下顶点， 此时，故A正确； 对于B，当时， 由，得， 所以的面积为，又， 所以点的纵坐标为，则的面积为，故B正确； 对于C，设，又， 则，， 所以， 而与的大小不定，故上式正负不定，故C错误； 对于D，因为， 所以，又， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题B选项解决的关键是利用椭圆的定义与勾股定理求得，从而利用面积相等得到，由此得解. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与圆相内切，则实数a的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，由两圆内切的条件，列方程求实数a的值. 【详解】圆，化成标准方程为， 圆心坐标为半径， 圆，圆心坐标为半径， 由两圆相内切，则圆心距，解得. 故答案为：. 13. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线运算得解. 【详解】由，得，解得， 又，得，解得， 所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且. 故答案为：. 14. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设，若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出点的坐标，再联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出点坐标，根据，结合椭圆离心率与的关系求解. 【详解】设， 因为垂直于轴，所以代入椭圆方程， 得，所以， 设， 联立，消去整理得，， 所以，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形ABC的顶点坐标为． （1）求过点C且与边AB平行的直线方程； （2）求AB边上的高所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线的斜率公式可得，再由点斜式方程代入计算，即可求解. （2）由题意可得AB边上的高所在的直线斜率，再由点斜式方程代入计算，即可求解. 【小问1详解】 因为，由直线点斜式方程可得， 化简可得. 【小问2详解】 由（1）可知，，则AB边上的高所在的直线斜率为， 由直线的点斜式方程可得， 化简可得. 16. 已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，． （1）求实数的值； （2）当时，求过点并与圆相切的直线方程． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆的半径以及直线与圆相交所得的弦长求解出圆心到直线的距离，由此列出关于的方程即可求解出结果； （2）分别考虑直线的斜率存在与不存在两种情况，直线斜率不存在时直接求解，直线斜率存在时利用圆心到直线的距离等于半径进行求解. 【小问1详解】 因为圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 所以，所以， 所以或. 【小问2详解】 因为，所以， 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到的距离为，所以与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 所以，所以直线方程为， 所以过点并与圆相切的直线方程为或. 17. 已知，分别是双曲线的左、右顶点，是上异于，的一点，直线，的斜率分别为，且. （1）求双曲线的方程； （2）已知过点的直线，交的左，右两支于，两点（异于，），求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的基本量关系，设根据求解即可； （2）设直线的方程为，，，再根据直线与双曲线左右两支相交，所以，利用韦达定理求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，，因为，所以 设，则，所以， 又， 所以 所以双曲线的方程为 【小问2详解】 由题意知直线的方程为，，. 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：， 所以或 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点. （1）证明：∥平面； （2）若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见详解 （2）（i），（ii）存在点，. 【解析】 【分析】（1）取中点，可证四边形是平行四边形，可得，得证； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，（ii）假设存在点到平面的距离为，利用点到面距离的向量法求解即可. 【小问1详解】 如图，取中点，连接，， 因为是中点，所以，， 又，， ，， 所以四边形是平行四边形， ， 又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 ，，又，， ，则， 又平面平面，平面平面， 平面， ，又， 所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， （i）设平面的一个法向量为，则 ，即，令，可得，， ， 又平面的一个法向量为， ， 所以二面角的余弦值为. （ii）假设线段上存在点，使得点到平面的距离为， 设，，， ， 由（i）知平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 则，解得或， 又，所以， 即存在点到平面的距离为，且. 19. “曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，.如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“曲线”与轴的交点，为线段的中点. （1）若等边三角形的重心坐标为，求“曲线”的方程； （2）设是“曲线”的半椭圆上任意的一点.求证：当取得最小值时，在点或处； （3）作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，求线段中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形重心坐标求得坐标，知道的值，由椭圆基本性质得出的值，从而得出曲线方程； （2）设动点坐标，由题意列出线段得等量关系，由二次函数的性质得到最小值点即得证； （3）设出动直线，分别表示出两点坐标，由中点坐标公式得到中点坐标，由坐标的特征找到关系式，从而得出轨迹方程. 【小问1详解】 解：因为等边的重心坐标为， . 在半椭圆中， 由， ， 解得， 因此“曲线”的方程为. 【小问2详解】 证明：设，则，. ，开口向下， 对称轴为：， 当或时， 取得最小值时，即点或处. 【小问3详解】 由题可知，直线的斜率，则设直线， 设在上， 当时，. 设在半椭圆上， 当时，. 的中点为, 即线段中点的轨迹方程为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三明一中2024-2025学年上学期半期考 高二数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线l1：与l2：平行，则l1与l2的距离为（ ） A B. C. D. 3. 若方程表示圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 四棱柱中，设，，，，，则（ ） A. B. C D. 5. 已知椭圆经过点，当变动时，截得直线的最大弦长为，则的方程为（ ） A. B. C D. 6. 已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点.则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线在x轴上的截距为1 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 若，则或 D. 若，则 10. 在正方体中，则（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 二面角的余弦值为 D. 如果，那么点到平面的距离为 11. 已知椭圆的左右焦点分别为，左右顶点分别为，点是椭圆上的一个动点（异于两点），且直线的斜率均存在，则（ ） A. 当的最大角为时，椭圆的离心率为 B. 当时，的面积为 C. 直线的斜率之积一定大于直线的斜率之积 D. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆与圆相内切，则实数a的值为__________． 13. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设，若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形ABC的顶点坐标为． （1）求过点C且与边AB平行的直线方程； （2）求AB边上的高所在的直线方程． 16. 已知圆：，直线：，与圆相交于，两点，． （1）求实数的值； （2）当时，求过点并与圆相切直线方程． 17. 已知，分别是双曲线的左、右顶点，是上异于，的一点，直线，的斜率分别为，且. （1）求双曲线的方程； （2）已知过点的直线，交的左，右两支于，两点（异于，），求的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱的中点. （1）证明：∥平面； （2）若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. “曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，.如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“曲线”与轴的交点，为线段的中点. （1）若等边三角形的重心坐标为，求“曲线”的方程； （2）设是“曲线”的半椭圆上任意的一点.求证：当取得最小值时，在点或处； （3）作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，求线段中点的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$