江西省定南中学定南中学2024—2025学年上学期10月教师专业考试数学试题

定南中学2024—2025学年第一学期第10月教师专业考试 数学学科试题（满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．设集合，，若，则集合（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的部分图象大致为（    ）． A． B．C． D． 5．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，且，则的大小关系（    ） A． B． C． D． 8．已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9．一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．曲线是双纽线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线的图象关于对称 B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 C．曲线经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点） D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 11．已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．函数的极小值点为 B． C．若函数有4个零点，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ． 13．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，过点的直线交的左支于两点.（为坐标原点），记点到直线的距离为，则 . 14．十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有 种．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15．记的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若外接圆的半径为2，求面积的最大值． 16．如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，平面，为上一点，且，连接、、. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 17．如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点. (1)当直线倾斜角为时，求直线的方程； (2)求证：的面积为定值. 18．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数. (3)在区间上有两个零点，求的范围? 19．对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”． (1)已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围． (2)是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． (3)已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由. 定南中学2024—2025学年第一学期第10月教师专业考试数学 参考答案 1．B 2．C 3．A【详解】因为，因为，所以. 4．D【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以B、C不符合题意； 又由当时，，所以， 所以A不符合题意，D符合题意.故选：D. 5．B【详解】， 若函数在上单调递增，则在上恒成立， 故在上恒成立，故. 故选：B 6．B【详解】如图正八面体，连接和交于点， 因为，， 所以，，又和为平面内相交直线， 所以平面，所以为正八面体的中心， 设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为，所以正八面体的棱长为， 所以， 则．故选：B． 7．D【详解】，当时，， 所以在单调递增， 因为，所以，即. 故选：D 8．C【详解】令，则． ①当时，若；若，由，得． 所以由可得或． 如图所示，满足的有无数个，方程只有一个解，不满足题意； ②当时，若，则；若，由，得． 所以由可得，当时，由，可得， 因为关于的方程有且仅有两个实数根，则方程在]上有且仅有一个实数根， 若且，故； 若且，不满足题意． 综上所述，实数的取值范围是， 故选：C． 9．ACD【详解】由题得，C选项正确. 根据条件概率得：，A选项正确. ，B选项错误. 对于D，，故D正确. 故选：ACD 10．BD【详解】对于A项，把代入得， 显然点不满足双纽线方程， 所以曲线的图象不关于对称，故A项错误； 对于B项，由可得， 所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，即都不超过3，故B项正确： 对于C项，令解得或，即曲线经过，，， 由题意可知，， 令，得， 令，得， 因此曲线只能经过3个整点，，，故C项错误； 对于D项，直线与曲线一定有公共点， 若直线与曲线只有一个交点， 所以，整理得，只有一个解， 即，解得，故D项正确． 故选：BD. 11．AC【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，且当趋近于0或时，趋近于， 可得函数的图象，如图所示： 对于选项A：可知函数的极小值点为，故A正确； 对于选项B：因为，且在内单调递增， 所以，故B错误； 对于选项C：令，可得， 可知函数有4个零点，即与有4个交点， 且的定义域为，且， 可知为偶函数，且当时， 原题意等价于当时，与有2个交点， 由题意可知：，故C正确； 对于选项D：设， 则， 可知在内单调递增，则， 即， 若，不妨设， 则， 且，且在内单调递增， 则，所以，故D错误； 故选：AC. 12． 【分析】由已知分别求出和，再根据平面向量数量积的运算律求解即可． 【详解】由得，， 因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为， 所以，即， 所以， 所以， 故答案为：． 13．【详解】令双曲线的半焦距为，由离心率为2，得， 取的中点，连接，由，得，则， 连接，由为的中点，得，，， 因此，即，整理得， 而，所以. 故答案为： 14．【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和， 人数组合是时，共有种情况， 其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种， 从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种； 人数组合是时，共有种情况， 其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种， 从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种， 所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种. 故答案为：. 15．(1) (2) 【详解】（1）由已知及正弦定理可得， 整理得， ， ． （2）外接圆的半径为2， ，得， 又， 当且仅当时，等号成立， ， 即面积的最大值为． 16．(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）因为平面，又平面， 所以.又，且， 所以平面.因为，所以平面. （2）作，垂足为.则.又， 所以四边形是平行四边形，又， 所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，， 所以. 由（1）知平面，所以.又， 所以.在中，. 在中，. 由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.     则，，，，，所以，，，，，设平面的法向量为， 由，得可取.   设平面的法向量为， 由，得，可取.     因此，，. 依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为. 17．(1)或 (2)证明见解析 【详解】（1）因为直线倾斜角为，直线为，因为椭圆， 直线与椭圆只有一个公共点，联立方程，得， ，所以直线为或 （2）因为直线与椭圆只有一个公共点，设直线为由，得 , 又因为直线与椭圆交于两点，得 所以，因为直线与轴交于点，所以 所以 . 18．(1)的单调减区间为：；单调增区间为：， (2)1个 (3) 【详解】（1）由题可得：， 令，解得：或， 令，解得：； 令，解得：或； 所以的单调减区间为：；单调增区间为：， （2）因为的单调减区间为：；单调增区间为：，， 由于，则在上无零点； 由于，则在上无零点； 由于，则在上存在唯一零点； 综上，函数在上存在唯一零点. （3）若在区间上有两个零点，则函数与在区间上有两个交点； 由(1)知，在上单调递增，上单调递减； ，，， 所以函数与在区间上有两个交点，则， 即在区间上有两个零点，则的范围为 19．(1) (2)不存在，理由见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）由题意得，且，解得，所以实数m的取值范围是． （2）不存在．理由：假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则， 由得． 由题意，得对均成立，即． 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾， 所以这样的等差数列不存在． （3）设数列的公比为q，则． 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项. 同理，中，为最小项. 由为“K数列”，只需，即． 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即． 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以或． 当时，，则． 令，则， 又， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“K数列”． 当时，，则． 因为，所以数列不是“K数列”． 综上所述，当时，，数列为“K数列”； 当时，，数列不是“K数列”． 答案第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$