江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

1 2024-2025 学年第一学期高二年级期中学情调研测试 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 直线 tan10x  的倾斜角为（ ） A.0° B. 10° C. 90° D. 不存在 【答案】C 2. 若直线3 4 3 0x y   与直线 6 1 0x my   平行，则它们之间的距离为（ ） A. 1 B. 1 2 C. 1 5 D. 2 5 【答案】B 3. 设 ,a b为实数，若直线 1ax by  与圆 2 2 1x y  相交，则点  ,P a b 与圆 2 2 1x y  的位置关系是 （ ） A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定 【答案】B 4. 如图，一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m 时，拱顶距离水面 4m ，当水面下降1m 后，桥 洞内水面宽为（ ） A. 4 3 m B. 4 5 m C. 8 3 m D. 8 5 m 【答案】D 5. 已知圆 4221  yxC： 和圆 0744 22 2  yxyxC： ，则两圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 6. 已知抛物线 2 4y x ，则抛物线上一点 P到直线 5 0x y   的最小距离为（ ） A. 2 2 B. 4 C. 5 2 2 D. 5 【答案】A 2 7．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另 一个焦点（如图）.已知椭圆 1 816 : 22  yxC ，O为坐标原点， l是点 )6,2(P 处的切线，过左焦点 1F 作 l的垂线，垂足为 M， 则 OM ( ) A. 2 2 B. 24 C. 4 D. 8 【答案】C 8.已知斜率为 15 5 的直线 l过双曲线 2 2: 1( 0)yC x m m    的左焦点 F ，且与C的左､右两支分别交于 ,A B两点，设O为坐标原点，P为 AB的中点，若 OFP△ 是以 FP为底边的等腰三角形，则双曲线 的离心率为（ ） A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 【答案】A 二、多选题：本大题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多 项符合要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 下列说法正确的有（ ） A．直线的斜率越大，倾斜角越大 B．直线 23  xy 在 y轴上的截距为 2 C．直线 013  yx 的斜率为 3 D．若直线 bkxy  经过第一、二、四象限，则点 ),( bk 在第二象限 【答案】BD 10. 已知椭圆 1C 和双曲线 2C 具有相同的焦点 )0,1(1 F ， )0,1(2F ，点 P是它们的一个公共点，且在 圆 122  yx 上，椭圆 1C 和双曲线 2C 的离心率分别为 1e ， 2e ，且 12 3ee  ，则下列说法正确的是 （ ） A． 3 6 1 e B．双曲线 2C 的方程为 122 22  yx 3 C． 21FPF 的面积为 2 1 D． 21FPF 的周长为 222  【答案】ABC 11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线 yxyxC 23222 ： 就是其中之一,其形状酷似数学 符号“∞”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A．曲线C与直线 xy  有 3 个公共点 B．曲线C与圆 522  yx 有 4 个公共点 C．曲线C所围成的图形的面积为： 32 3 8   D．若点 P在曲线C上，点 )2,0( Q ，线段PQ的长度可能为 4 【答案】ABD 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知椭圆 1 8 22  m yx 的焦点在 x轴上，离心率为 2 1 ，则实数m的值为 . 【答案】6 13. 过点 )2,0(P 作直线 l，使它被两条相交直线 022  yx 和 03  yx 所截得的线段，恰好 被点 P平分，则直线 l的方程为___________________. 【答案】 2 3 2  xy （或写为： 0632  yx ） 14. 若直线 03:  tyxm 上存在点Q，过点Q作圆 8)3(: 22  yxC 的两条切线，切点分别 为 FE, ，且  90EQF ，则实数 t的取值范围为___________________. 【答案】 ]5,11[ （或写为： 511  t ） 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题 13 分） 已知 ABC 的顶点 )02( ，A ， )34( ，B ， )22( ，C ． （1）求 AB边上的高所在直线的方程； （2）求经过点 B，且在 x轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线的方程． 【解】（1）记 AB边上的高为CD，由题知 2 1 ABk ，则 2CDk ，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 4 故，直线CD的方程为： )2(22  xy ，即 022  yx ， 所以， AB边上的高所在直线的方程为： 022  yx ； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分 ①当所求直线的截距为0 时，直线方程为： xy 4 3  ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8 分 ②当所求直线的截距不为0 时，设直线方程为： 1 2  a y a x ， 带入点 )34( ，B ，得 13 2 4  aa ，解得 5a ， 直线方程为 1 510  yx ，即 0102  yx ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12 分 综上所述，直线方程为： xy 4 3  或 0102  yx ． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈13 分 16.（本小题 15 分） 已知圆C的圆心 ),1( bC 在第一象限，半径为 5 ，且经过直线 023  yx 与直线 0623  yx 的交点． （1）求圆C的方程； （2）过点 )3,1( P 作圆C的切线，求切线的方程. 【解】（1）联立      0623 023 yx yx ，解得两直线的交点为 )0,2( ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 由 222 )5()0()21(  b 得 42 b ，又因为 0b ，所以 2b ，圆心为 )2,1( ，┈┈┈┈5分 圆C的方程为： 5)2()1( 22  yx ； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分 （2）①当切线的斜率不存在时，直线为： 1x ， 此时，圆心 )2,1( 到直线的距离 50 d ，舍去； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9 分 ②当切线的斜率存在时，设直线方程为： )1(3  xky ，即 03  kykx ， 此时，圆心 )2,1( 到直线的距离 5 1 5 1 32 22       kk kk d ， 解得 2k ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈14 分 切线方程为： 52  xy 或 12  xy ． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈15 分 5 17．（本小题 15 分） 已知抛物线 1C 的顶点在坐标原点，其焦点 F 与双曲线 2 2 2 13 xC y  ： 的上焦点重合， ,A B为抛物线 1C 上两点． （1）求抛物线 1C 的标准方程及其准线方程； （2）若 8 BFAF ，求线段 AB的中点到 x轴的距离． 【解】（1）由题知双曲线 2 2 2 13 xC y  ： 的上焦点为 )2,0( ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 故，设抛物线 1C 的标准方程为： )0(2 2  ppyx ， 则 4,2 2  pp ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 抛物线 1C 的标准方程为： yx 8 2  ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6 分 其准线方程为： 2y ； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分 （2）设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，线段 AB的中点记为 ),( 00 yxM ， 由 8 BFAF 得 822 21  yy ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12 分 即 421  yy ，所以 22 21 0    yyy ， 即线段 AB的中点到 x轴的距离为 2 ． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈15 分 18．（本小题 17 分） 已知 )02(1 ，F ， )02(2 ，F ，点 P满足 221  PFPF ，记点 P的轨迹为 E． （1）求轨迹 E的方程； （2）直线 l经过点 )0,5(A ，倾斜角为 45 ，与轨迹 E交于 DC， 两点（C在 DA, 之间），若 ADAC  ， R ，求的值； （3）已知点 )0,1(T ，过点 2F 作直线m与轨迹 E交于 NM， 两点，记直线 TNTM， 的斜率分别 为 21,kk ，试问： 21 kk  是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解】（1）由题知，点 P的轨迹为：以 )02(1 ，F ， )02(2 ，F 为焦点， 22 a 的双曲线， 设此双曲线方程为 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 6 易知      2 22 c a ，又由 3 222  acb 得       3 1 2 2 b a ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 即轨迹 E的方程为： 1 3 2 2  yx ； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 （2）直线 l的方程为： 5 xy ，联立       5 1 3 2 2 xy yx 得点 )3,2( C 和点 )12,7( D ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分 则 )3,3( AC ， )12,12( AD ， 由 ADAC  知 )12,12()3,3(   解得 4 1  ； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10 分 （3）法一： 由题知，直线m不可能与 x轴重合，设为： 2 nyx ， ),(),,( 2211 yxNyxM ， 联立       2 1 3 2 2 nyx yx 得 0912)13( 22  nyyn ， 013 2 n ， 03632)13(36144 222  nnn            13 9 13 12 221 221 n yy n nyy ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈13 分 9)(3)3)(3(11 2121 2 21 21 21 2 2 1 1 21         yynyyn yy nyny yy x y x ykk 9 13 )12(3 13 9 13 9 22 2 2       n nn n n n 1 9 9 )13(9369 9 222     nnn （定值） ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈17 分 法二：①当直线m的斜率不存在时，直线方程为： 2x ， 7 可得 )3,2(),3,2( NM ，得 121 kk ； ②当直线m的斜率存在时，设直线方程为： )2(  xky ， 联立       )2( 1 3 2 2 xky yx 得 0344)3( 2222  kxkxk 03 2  k ， )1(36)34)(3(416 2224  kkkk 0            3 34 3 4 2 2 21 2 2 21 k kxx k kxx ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈13 分 )1)(1( )2)(2( 11 21 21 2 2 2 1 1 21        xx xxk x y x ykk 1)( 4)(2 2121 2 21 2 21 2    xxxx kxxkxxk 3434 )3(442)34( 222 222222    kkk kkkkkk 1 9 9 2 2    k k 综上所述， 21 kk  为定值 1 ． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈17 分 19．（本小题 17 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的焦距为 2 ， 1F ， 2F 分别为其左右焦点，O为原点，且点 1 14( , ) 2 4 P 在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）经过左焦点 1F 的直线 l与椭圆C交于 A , B两点（异于左右顶点），M 为线段 AB的中点， ①若  90AOB ，求线段OM 的长度； ②求点 A到直线OM 的距离 d 的最小值． 【解】（1）法一： 由题知， 22 c ，即 11 22  bac ， ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 8 又由点 1 14( , ) 2 4 P 在椭圆C上知： 116 14 1 4 1 22  bb ，解得       1 2 2 2 b a ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 所以，椭圆C的标准方程为： 1 2 2 2  yx ； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 法二： 由题知， 22 c ，即 ，1c 两焦点分别为： )0,1(),0,1( 21 FF  ， 由椭圆的定义知 2222 21 )4 14() 2 11() 4 14() 2 11(2  PFPFa 4 ， 所以， 112,2 222  caba ， 所以，椭圆C的标准方程为： 1 2 2 2  yx ； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 （2）①由题意可知，直线 AB不与 y轴垂直，且经过点  1 1,0F  ， 所以可设直线 AB的方程为 1x my  ，并设  1 1,A x y ，  2 2,B x y 由 2 2 1, { 1 2 x my x y     得  2 22 2 1 0m y my    ． 易知判别式 )1(8 2  m ， 1 2 2 2 2 my y m    ， 1 2 2 1 2 y y m     ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6 分 因为 0OA OB    ，即 1 2 1 2 0x x y y  ， 即 1)()1()1)(1( 2121 2 2121  yymyymyymymy 2 22)1( 2 222    m mmm 0 2 21 2 2     m m ， 解得 2 1 2 m  ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分 法一： 由  1 2 1 2 2 42 2 x x m y y m        ，所以 AB的中点M 为 2 2 2 , 2 2 m m m       ， 即点 4 2, 5 5 M        ， 5 23 OM ； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11 分 9 法二： 2 122 2 11 2 2 2 2 21 2       m m m myymAB 5 26  所以， 5 23 2 1  ABOM ； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11 分 （3）法一： 由①可知 AB的中点M 为 2 2 2 , 2 2 m m m       ， 所以直线OM 的斜率为 2 m  ，所以直线OM 的方程为 2 0mx y  ． 设点A 到直线OP的距离为 d，因为点M 是弦 AB的中点，所以点 B到直线OP的距离也为 d， 则 1 1 2 2 2 2 2 2 4 mx y mx y d m      ． 因为点A ， B位于直线OP的异侧，所以   1 1 2 22 2 0mx y mx y   ． 所以 1 1 2 2 2 2 2 2 4 mx y mx y d m       2 1 2 2 2 4 m y y m     ． 又因为   2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 14 2 my y y y y y m        ， 所以  2 21 2 2 2 2 2 2 12 4 4 m y y md m m        ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈14 分 4 312 4 12 22 2      mm md 可知当 0m  时， 2 2 min d ，即点 A到直线OM 的距离 d 的最小值为 2 2 ．┈┈┈┈┈17 分 法二： 由 AOBAOM SS  2 知 2 1 1 1 2 )1(22 2 1 2 42 22 2 2 2         mm md m m 得 4 12 2 2    m md ，下同法一． 2024-2025学年第一学期高二年级期中学情调研测试 数学试题 (考试时问：120分钟武卷满分：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1,直线x=如10的倾斜角为( A.0° B.10 C.90° D.不存在 2.若直线3x+4y-3=0与直线6x+my-1=0平行，则它们之间的距离为() A.1 c 3.设a,b为实数，若直线ar+y=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a,b)与圆x2+y2=1的位置关系是 () A.在圆上 B.在圆外 C,在圆内 D,不能确定 4.如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面究16m时，拱顶距离水面4m,当水面下降1m后，桥 河内水而宽为() A.45m B.4√5m C.8v3m D.85m 5.已知圆Cx2+y2=4和圆C:x2+y2-4x-4y+7=0,则两圆的公切线条数为() A.1 B.2 C,3 D.4 6.已知抛物线y2=4x,则抛物线上一点P到直线x一y+5=0的最小距离为() A.2W5 B.4 c D.5 7椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另 切线 一个焦点（如图）.已知椭圆C:+上 =1,0为坐标原点， 168 1是点P(-2,√6)处的切线，过左焦点F作I的垂线，垂足为M, 则OM=( A.22 B.4w5 C.4 D.8 象已知解率为压的直线I过双曲线C:-二=1m>0)的左焦点F,且与C的左，右两支分别交于 5 A,B两点，设O为坐标原点，P为AB的中点，若△OFP是以FP为底边的等题三角形，则双曲线 的离心率为() A.2 B.5 C.3 D.5 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的有( A.直线的斜率越大，倾斜角越大 B.直线y=3x-2在y轴上的截距为-2 C.直线x-V5y+1=0的斜率为V3 D.若直线y=+b经过第一、二、四象限，则点(k,b)在第二象限 10.已知椭圆C,和双曲线C,具有相同的焦点F(-1,0),F(1,0),点P是它们的一个公共点，且在 圆x2+y2=1上，椭圆C和双曲线C,的离心率分别为%，e2,且品=V3,则下列说法正确的是 A,= B.双曲线C,的方程为2x2-2y2=1 3 C△PF5的面积为2 D.△PFE的周长为2V2+2 11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线C:x2+y2=23d-2就是其中之一，其形状酷似数学 符号“∞”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是( A.曲线C与直线y=x有3个公共点 B.曲线C与圆x2+y2=5有4个公共点 C.曲线C所围成的图形的面积为：8红-25 3 D.若点P在曲线C上，点Q(0,-2),线段PQ的长度可能为4 12.已知树圆￡+上=1的焦点在x轴上，离心率为，则实数m的值为 8 m 13.过点P0,2)作直线1，使它被两条相交直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段，恰好被点 P平分，则直线/的方程为 14.若直线m:x+√5y+1=0上存在点Q,过点Q作圆C:(x-3)2+y2=8的两条切线，切点分别 为E,F,且∠EQF=90,则实数1的取值范围为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) 已知△ABC的顶点A(-2,0),B(4,3),C(2,-2). (I)求AB边上的高所在直线的方程： (2)求经过点B,且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线的方程， 16.(本小题15分) 已知圆C的圆心C1,b)在第一象限，半径为V5,且经过直线x+3y-2=0与直线3x-2y-6=0 的交点 (1)求圆C的方程： (2)过点P(L,-3)作圆C的切线，求切线的方程。 17.(本小题15分) 已知抛物线C的顶点在坐标原点，其焦点F与双曲线C:y广_号=1的上焦点重合，AB为抛物线 G上两点. (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程： (2)若4F+BF=8,求线段AB的中点到x轴的距离. 己知F(-2,0),F(2,0),点P满足PF-PF=2,记点P的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程： (2)直线I经过点A(5,0),倾斜角为45°，与轨迹E交于C,D两点(C在A,D之间)，若 AC=1AD,1∈R,求入的值： (3)已知点T(-1,0),过点F,作直线m与轨迹E交于M,N两点，记直线TM,TW的斜率分别 为k,k,试问：kk2是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由， 19.(本小题17分) 已知所C若茶 >>0)的焦距为2，E,下分别为其左右焦点，0为原点，且点 在椭圆C上 (1)求椭圆C的标准方程： (2)经过左焦点F的直线I与椭圆C交于A,B两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点， ①若∠AOB=90,求线段OM的长度： ②求点A到直线OM的距离d的最小值