精品解析：河南省开封市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

开封高中27届高一（上）期中测试试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知p：，那么命题p的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数定义域为，满足，且，若在上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（ ） A. 2千克/小时 B. 3千克/小时 C. 4千克/小时 D. 6千克/小时 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题：“，”的否定是“，” B. 函数（且）恒过定点 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若函数，则 10. 已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ） A. 直线是的对称轴 B. 是的对称中心 C. D. 不等式的解集为 11. 已知函数，有如下四个结论： ①函数在其定义域内单调递减；②函数的值域为；③函数的图象是中心对称图形；④方程有且只有一个实根. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 设函数的定义域为I，如果，都有，且，已知函数的最大值为2，则可以是___________． 13. 已知正数m，n满足，则的最小值是__________. 14. 已知函数若，则的取值范围为______. 四、解答题（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 分别求解下面两个问题. （1）化简求值：； （2）函数为偶函数，当时，，求：当时，的解析式. 16. 已知函数在区间上的最小值为1，最大值为10. （1）求，的值； （2）设，利用定义证明：函数在上是增函数. 17. 某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x（单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下表所示的关系. x … 30 40 45 50 … y … 60 30 15 0 … （1）根据表中提供的数据描出实数对的对应点，根据画出的点猜想y与x之间的函数关系，并写出一个函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为P（单位：元），根据上述关系，写出P关于x的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 18. 已知函数为偶函数. （1）求出a的值，并写出单调区间； （2）若存在使得不等式成立，求实数b的取值范围. 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数． （1）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； （2）若的两个不动点为，且，当时，求实数n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封高中27届高一（上）期中测试试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数与指数函数的单调性，可得答案. 【详解】函数、函数与函数在上单调递增， 函数在上单调递减. 故选：C. 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数在上单调递增，且，则， 由函数在上单调递增，且，则， 所以，即. 故选：A. 5. 已知p：，那么命题p的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，然后根据充分条件和必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】解得. 对于选项A，，反之不能推出，所以是命题p的一个充分不必要条件，故A错误； 对于选项B，，反之不能推出，所以是命题p的一个必要不充分条件，故B正确； 对于选项C，不能推出，反之也不能推出，所以是命题p的一个既不充分也不必要条件，故C错误； 对于选项D，是命题p的充要条件，故D错误. 故选：B 6. 设函数定义域为，满足，且，若在上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得函数的奇偶性与单调性，根据函数与与零的大小关系，可得答案. 【详解】由函数的定义域为，满足，即， 则函数是奇函数，且， 由函数在上单调递增，且， 则函数在上单调递增，且， 可得下表： 所以不等式的解集为. 故选：B. 7. 已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用指数函数与一次函数的单调性，分段讨论的单调性，从而得到，再由在上的单调性得处有，从而得到，由此得解. 【详解】因为在上单调递增， 当时，在上单调递增，所以； 当时，在上单调递增，所以，即； 同时，在处，，即，即， 因为，所以，即， 解得或（舍去）， 综上：，即. 故选：B. 8. 某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（ ） A. 2千克/小时 B. 3千克/小时 C. 4千克/小时 D. 6千克/小时 【答案】C 【解析】 【分析】生产100千克该产品获得的利润为，令，由换元法求二次函数最大值即可. 【详解】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为，， 令，，则，故当时，最大，此时. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题：“，”的否定是“，” B. 函数（且）恒过定点 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若函数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据抽象函数的定义域可判断C，根据配凑法可判断D. 【详解】A选项，“”的否定是“”，A错误； B选项，且，当时，，故函数（且）恒过定点，B正确； C选项，由得：，故函数的定义域为，C正确； D选项，，且， 故，D正确. 故选：BCD. 10. 已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ） A. 直线是的对称轴 B. 是的对称中心 C. D. 不等式的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可得图象的对称轴为直线，即可判断A，B；结合对称性可得在上单调递减，从而，即可判断C；由不等式结合的对称性及单调性，可得，解不等式即可判断D． 【详解】因为为偶函数，其图象关于轴对称，所以图象的对称轴为直线，故A正确，B错误； 又在上单调递增，所以在上单调递减，所以，故C错误； 由不等式结合的对称性及单调性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集为，故D正确， 故选：AD． 11. 已知函数，有如下四个结论： ①函数在其定义域内单调递减；②函数的值域为；③函数的图象是中心对称图形；④方程有且只有一个实根. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】CD 【解析】 【分析】对函数解析式进行变形，再根据解析式和函数的定义域分析函数单调性，根据单调性可求出值域；利用奇函数的定义判断函数的奇偶性，从而判断图象的对称性；最后通过构造函数的方式分析函数的零点，从而得出方程解的个数. 【详解】对于①，由题意得的定义域为， ，所以在上递增，①错误； 对于②，由于，则，，，， 所以的值域为，②错误； 对于③，由于， 所以是奇函数，图象关于原点对称，③正确； 对于④，由得，， 构造函数，则在上单调递增， 又当，此时；当，此时， 所以的图象与x轴只有一个交点， 即方程有且只有一个实根，④正确. 综上所述，正确结论的序号是③④. 故答案选：CD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 设函数的定义域为I，如果，都有，且，已知函数的最大值为2，则可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和最值写出符合题意的. 【详解】依题意可知是偶函数，且最大值为， 所以符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知正数m，n满足，则的最小值是__________. 【答案】4 【解析】 【分析】由可得，展开利用基本不等式即可求解. 【详解】由，可得，， 当且仅当，即，因为正数m，n，所以， 又因为，即时等号成立，的最小值是. 故答案为：. 14. 已知函数若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论，按分类解不等式． 【详解】对于函数 （i）当，则，解得，故此时不存在； （ii）当，则， 解得或，故此时的取值范围为； （iii）当，则，即，其中，不等式恒成立，故此时的取值范围为. 综上，的取值范围为. 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 分别求解下面两个问题. （1）化简求值：； （2）函数为偶函数，当时，，求：当时，的解析式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂的运算律，可得答案； （2）根据偶函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 , , . 【小问2详解】 当时，，则， 由函数为偶函数，则， 所以当时，. 16. 已知函数在区间上的最小值为1，最大值为10. （1）求，的值； （2）设，利用定义证明：函数在上是增函数. 【答案】（1） （2）证明：由(1)得，则， 设任意的，且，则， ， 因为，，， 所以，， 所以， 所以在上的增函数. 【解析】 【分析】(1)先求出函数的对称轴，结合开口方向，得到函数在区间的最大值和最小值，从而求出，的值； (2)由(1)得，再由函数单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 因为，二次函数对称轴为， 所以在上为减函数，在上为增函数， 从而得，解得； 【小问2详解】 略 17. 某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x（单位：元）与日销售量y（单位：件）之间有如下表所示的关系. x … 30 40 45 50 … y … 60 30 15 0 … （1）根据表中提供的数据描出实数对的对应点，根据画出的点猜想y与x之间的函数关系，并写出一个函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为P（单位：元），根据上述关系，写出P关于x的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【答案】（1） （2），销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润300元 【解析】 【分析】（1）猜想y与x是一次函数关系，设，代入数据计算得到答案. （2），根据二次函数的单调性得到最值. 【详解】（1）如图，猜想y与x是一次函数关系，设. 将代入得,解得. ∴y与x的一次函数解析式为. （2），当时，. ∴销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润300元. 【点睛】本题考查了求函数解析式，函数图像，函数的最值，意在考查学生对于函数知识的应用能力. 18. 已知函数为偶函数. （1）求出a的值，并写出单调区间； （2）若存在使得不等式成立，求实数b的取值范围. 【答案】（1）；在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义列出方程，根据方程恒成立求，由对勾函数性质写出单调区间； （2）化简不等式换元后转化为，，分别考虑二次不等式有解转化为或分离参数后转化为，利用，也可转化为，求函数的最大值即可. 【小问1详解】 因为，所以， 由偶函数知，解得； 即，由对勾函数知， 当时，即时函数单调递减，当时，即时函数递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由题意可得，即， 令，； 解一：，则在上有解，即. 若，即，此时，解得，∴； 若，即，此时，解得，此时无解； 综上，； 解二：由得，令，则. ，所以. 解三：由得，令，则， ，所以. 19. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数． （1）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； （2）若的两个不动点为，且，当时，求实数n的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据恒有两个不动点，转化为恒有两个不等实根，利用判别式求解即可； （2）由题意得，则，设，，，利用单调性求解即可． 【小问1详解】 因为恒有两个不动点，即恒有两个不等实根， 整理为， 所以且恒成立． 即对于任意恒成立． 令， 则，解得． 【小问2详解】 因为， 所以， 设，因为，所以， 则，， 设， 则， 因为，所以， 则，即， 所以得在上单调递增， 所以， 所以 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $