精品解析：江苏省泰州市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024~2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线斜率与倾斜角关系计算即可. 【详解】由题意可知该直线的斜率为，所以其倾斜角为. 故选：B 2. 圆不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】把圆的方程化为标准方程，得出圆心和半径，作出图形，可得出结论． 【详解】圆化为(， 表示圆心为，半径为5的圆，如图所示： 所以，圆不经过第三象限． 故选：C． 3. 双曲线的一个焦点是，则（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】化双曲线方程为标准形式，再由半径焦距求出. 【详解】由双曲线的一个焦点是，得，方程为， 则，解得. 故选：D 4. 直线与圆交于、两点，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离及弦长即可求出三角形面积. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 则，所以的面积为. 故选：C 5. 已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦半径公式求点的坐标，即可求解. 【详解】设，，，得， 所以点到轴的距离为. 故选：B. 6. 点在直线上运动，，，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点，再求出线段长即可. 【详解】点，都在直线的下方， 点关于直线的对称点， 于是， 当且仅当点是线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是5. 故选：C 7. 已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的一点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，利用斜率的坐标公式，结合点在椭圆上求出，进而求出离心率. 【分析】依题意，，， 设点，则，即， 依题意，， 因此，所以椭圆的离心率. 故选：A. 8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆：上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（ ） A. 1或3 B. 2 C. 5 D. 1或5 【答案】D 【解析】 【分析】设出动点的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点的轨迹方程，由点是圆上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得的值． 【详解】解：设，由，得， 整理得，又点是圆上有且仅有的一点， 所以两圆相切， 圆的圆心坐标为，半径为2，圆的圆心坐标为，半径为， 两圆的圆心距为3， 当两圆外切时，，得， 当两圆内切时，，得． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过点并且倾斜角为的直线方程为 B. 直线与直线之间的距离为 C. 直线在轴上的截距为 D. 将直线绕原点逆时针旋转，所得到的直线为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据斜率不存在的直线方程的形式，以及平行线间的距离公式，直线的截距公式， 以及倾斜角和斜率的关系，即可判断选项. 【详解】A.过点并且倾斜角为的直线方程为，故A正确； B. 直线与直线之间的距离，故B错误； C. 直线，时，，所以直线在轴上的截距为，故C正确； D. 直线过原点，且倾斜角为，直线绕原点逆时针旋转，旋转后直线的倾斜角为， 也过原点，得到的直线方程为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知圆，直线.则以下几个结论正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 点到直线的距离的最大值是 D. 直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先变形直线求定点，将代入圆的方程，求圆与轴的交点，即可判断B，结合定点，利用点到直线的距离公式，以及弦长公式，即可判断CD. 【详解】A.直线，不管为何值，满足方程，即可直线恒过定点，故A正确； B.当时，，解得：，，所以圆被轴截得的弦长为，故B正确； C.圆心到直线的距离的最大值是圆心与定点的距离，故C错误； D.设直线的定点，当点为弦的中点时，此时弦长最短，即，，所以直线的斜率为2，所以直线的方程为，即，故D正确. 故选：ABD 11. 《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，下列说法正确的是（ ） A. 动点的轨迹方程为： B. 的最大值为16 C. 点为动点的轨迹上的任意一点，，，则的面积为 D. 直线与动点的轨迹交于两点，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】首先利用轨迹法求点的轨迹方程，再利用椭圆的性质和定义，以及基本不等式，即可判断选项. 【详解】设，则，化简为，故A正确； B.由A可知，，的最大值为，故B错误； C.由椭圆方程可知，点是椭圆的左焦点，则， 即，， ，所以，则，故C错误； D.四边形是平行四边形，即， , 当，即时，等号成立， 所以则的最小值为，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线垂直，代入公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，解得：. 故答案为： 13. 已知圆和圆，则两圆的公共弦的弦长为_______. 【答案】 【解析】 【分析】求出公共弦所在的直线方程，再利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，即圆与圆相交，其公共弦所在直线的方程为， 点到直线的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程是_____，点是抛物线上的动点，设点，当取得最小值时，_______. 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据给定的抛物线方程求出求出准线方程；设，利用抛物线定义建立函数关系，借助基本不等式求解即得. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为； 设，则， 当且仅当时取等号，此时. 故答案为：；2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高. （1）求所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解. （2）由（1）求出直线的斜率，进而求出直线方程. 【小问1详解】 由，边的中点，得点，又点， 则直线的斜率，直线的方程为，即， 所以所在直线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，直线的斜率， 所以高所在直线的方程为，即. 16. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）若圆与直线交于、两点，_____，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为； 条件②：； 条件③：. 【答案】（1） （2） 选条件①，或； 选条件②，或； 选条件③，或. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，求圆的圆心和半径，即可求解； （2）不管选择哪个条件，都可以根据圆心到直线的距离，求解的值. 【小问1详解】 设圆心，半径为， 则，解得：， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 若选条件①，则劣弧所对的圆心角为，所以圆心到直线的距离为， 即，解得：或； 若选条件②，，，所以圆心到的距离为， 即，所以或； 若选条件③，，则圆心到的距离为， 即，所以或. 17. 已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线方程，利用待定系数法求出方程. （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，借助中点坐标求解. 【小问1详解】 由双曲线与双曲线有相同的渐近线，设双曲线的方程为， 而点在双曲线上，因此，方程为， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去得， 由线段的中点为，得，解得， 此时方程为，，因此， 所以直线的方程为，即. 18. 已知表示圆的方程. （1）求实数的取值范围； （2）当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程； （3）为圆上任意一点，已知点，在（2）的条件下，求的最小值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程表示圆，列出不等式，从而可的答案； （2）圆C的面积最大时，即半径最大，根据二次函数的性质求得的值，再分切线的斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解； （3）设，，设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方，根据圆的性质求出的最小值，即可得解． 【小问1详解】 圆的方程， 可化为， ∵该方程表示圆，∴，解得， ∴实数m的取值范围为． 【小问2详解】 圆的半径， ∴当时，圆C的半径最大，即圆C的面积取得最大值， 此时圆的方程为，圆心，半径， 当切线斜率不存在时，其方程为，符合题意； 当切线斜率存在时，设其方程为，即， ∵圆心到切线的距离等于半径， ∴，解得， ∴切线方程，即， 综上，切线的方程为或. 【小问3详解】 设，又，，， 则， 设，则表示圆上的点与点的距离的平方， ∵，则点在圆外， 所以， 则 ∴的最小值为． 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角的大小是（ ） A. B. C. D. 2. 圆不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 双曲线的一个焦点是，则（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 4. 直线与圆交于、两点，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 点在直线上运动，，，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的一点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆：上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（ ） A. 1或3 B. 2 C. 5 D. 1或5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过点并且倾斜角为的直线方程为 B. 直线与直线之间的距离为 C. 直线在轴上的截距为 D. 将直线绕原点逆时针旋转，所得到的直线为 10. 已知圆，直线.则以下几个结论正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 点到直线的距离的最大值是 D. 直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为 11. 《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，下列说法正确的是（ ） A. 动点的轨迹方程为： B. 的最大值为16 C. 点为动点的轨迹上的任意一点，，，则的面积为 D. 直线与动点的轨迹交于两点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，若，则______. 13. 已知圆和圆，则两圆的公共弦的弦长为_______. 14. 已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程是_____，点是抛物线上的动点，设点，当取得最小值时，_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高. （1）求所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程. 16. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）若圆与直线交于、两点，_____，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为； 条件②：； 条件③：. 17. 已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程. 18. 已知表示圆的方程. （1）求实数的取值范围； （2）当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程； （3）为圆上任意一点，已知点，在（2）的条件下，求的最小值. 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $